《高等數(shù)學(xué)空間解析幾何與向量代數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)空間解析幾何與向量代數(shù)（128頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)第1頁/共127頁表示法表示法:向量的向量的模模 :向量的大小向量的大小,向量向量:(又稱又稱矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量稱為向量的量稱為向量向徑向徑 (矢徑矢徑):自由自由向量向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位單位向量向量: 模為模為 1 的向量的向量,零向零向量量: 模為模為 0 的向量的向量,有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,第2頁/共127頁若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相

2、等,記作記作 ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的的負(fù)向量負(fù)向量,因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量兩向量共線共線 .若若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此則稱此 k 個向量個向量共面共面 .記作記作a ;規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;記作記作第3頁/共127頁1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平

3、行四邊形法則平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 . .第4頁/共127頁第5頁/共127頁三角不等式三角不等式第6頁/共127頁 是一個數(shù)是一個數(shù) ,規(guī)定規(guī)定 :可見可見 與與 a 的乘積是一個新向量的乘積是一個新向量, 記作記作總之總之:運(yùn)算律運(yùn)算律 : 結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律因此因此第7頁/共127頁設(shè)設(shè) a 為非零向量為非零向量 , 則則( 為唯一實(shí)數(shù)為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取取 且且再證數(shù)再證數(shù) 的唯一性的唯一性 .則則ab設(shè)設(shè) ab取正號取正號, 反向時取負(fù)號反向時取負(fù)號, a , b

4、同向時同向時則則 b 與與 a 同向同向,設(shè)又有設(shè)又有 b a ,第8頁/共127頁“ ”則則已知已知 b a ,b0a , b 同向同向ab a , b 反向反向第9頁/共127頁x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念第10頁/共127頁xyozxoy面面yoz面面zox面面 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 卦限卦限( (八個八個) )第11頁/共127頁空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系11特殊點(diǎn)的表示特殊

5、點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxMxyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C第12頁/共127頁設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 則則沿三個坐標(biāo)軸方向的沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,任意向量任意向量 r ，都可以找到一點(diǎn)，都可以找到一點(diǎn)M，使得使得 r = OM，稱其為點(diǎn)，稱其為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的的向徑向徑。第13頁/共127頁設(shè)設(shè)

6、則則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:第14頁/共127頁1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有則有由勾股定理得由勾股定理得因因得兩點(diǎn)間的距離公式得兩點(diǎn)間的距離公式:對兩點(diǎn)對兩點(diǎn)與與第15頁/共127頁設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 任取空間一點(diǎn)任取空間一點(diǎn) O ,稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 的夾角的夾角. 類似可定義向量與軸類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 , , 為其為其方向角方向角.方向角的余弦稱為其方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作記作第16頁/共127頁方向余弦的性質(zhì)方向余弦的性

7、質(zhì):第17頁/共127頁和和的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:計(jì)算向量計(jì)算向量第18頁/共127頁作作 業(yè)業(yè) P13習(xí)題習(xí)題8-11，4，5，15 第19頁/共127頁第20頁/共127頁 cos|sFW 啟示啟示:實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個結(jié)果是一個數(shù)量數(shù)量定義定義第21頁/共127頁 記作記作故故第22頁/共127頁1、關(guān)于數(shù)量積的說明、關(guān)于數(shù)量積的說明0)2( baba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba 2|)1(aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa

8、證證證證 ,2 ,2 第23頁/共127頁2、數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：、數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1) 交換律交換律：abba (2) 分配律分配律：cbcacba )(3) 若若 為常數(shù)：為常數(shù)： )()()(bababa 若若 、 為常數(shù)：為常數(shù)： )()()(baba 第24頁/共127頁,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjii3、數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式、數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第25頁/共127頁 cos|baba ,|cosbaba 由此得兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

9、由此得兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式可知兩向量垂直的充要條件為可知兩向量垂直的充要條件為第26頁/共127頁解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 第27頁/共127頁證：證： 因?yàn)橐驗(yàn)閏acbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(所以所以第28頁/共127頁|FOQM sin|FOP 實(shí)例實(shí)例LPQO 第29頁/共127頁定義定義向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”。第30頁/共127

10、頁1、關(guān)于向量積的說明：、關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin 0, 或或)(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 第31頁/共127頁2、向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：、向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)：).()()(bababa 第32頁/共127頁,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik

11、, ikj ,kij . jki , ijk 3、向量積的坐標(biāo)表達(dá)式、向量積的坐標(biāo)表達(dá)式第33頁/共127頁向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba/zzyyxxbababa 由上式可推出：由上式可推出：第34頁/共127頁補(bǔ)充補(bǔ)充abbac 第35頁/共127頁解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj第36頁/共127頁作作 業(yè)業(yè) P23習(xí)題習(xí)題8-21(1)、(3)，3，4，9 第37頁/共127頁第38頁/共127頁xyzo如果一如果一非零非零向量垂直于一向量垂直于一平面，這向量就叫做該平平面，這向量

12、就叫做該平面的面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有0000( ,),(,),nA B CMxyz00,M M n 第39頁/共127頁0)()()(000 zzCyyBxxA平面的平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程平面上的點(diǎn)都滿足上方程，平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程其中其中法向量法向量),(CBAn 已知已知點(diǎn)點(diǎn)0000(,),M Mxxyyzz 第40頁/共127頁解解),6, 4, 3(AB),1, 3, 2(AC

13、取取ACABn ),1, 9,14(所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx第41頁/共127頁),1 , 1, 1 (1n),12, 2, 3(2n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(, 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解第42頁/共127頁由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量).,(CBAn 第43頁/共127頁, 0)1( D平面通

14、過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；平面平行于平面平行于 軸；軸；, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.平面一般方程平面一般方程 的的幾種特殊情況幾種特殊情況：第44頁/共127頁設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解第45頁/共127頁設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 D

15、CzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解第46頁/共127頁,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得平面的平面的截距式方程截距式方程第47頁/共127頁設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得611161cba （向量平行的（向量平行的充要條件充要條件）解解第48頁/共127頁,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,

16、61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為第49頁/共127頁定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 第50頁/共127頁按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面的特殊位置關(guān)系：兩平面的特殊位置關(guān)系：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 21nn 21nn/第51頁/

17、共127頁例例4 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 第52頁/共127頁)2(),1 , 1, 2(1n),2, 2, 4(2n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1(

18、MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.第53頁/共127頁 ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PN解解1010Pr,oonjPPPPn 10010101(,),PPxxyyzz 第54頁/共127頁222222222,oABCnABCABCABC 1010ProonjPPPPn 010101222222222000111222()()()()(),A xxB yyC zzABCABCABCAxByCzAxByCzABC第55頁/共127頁0111 DCzByAx)(1 P點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式000222|.AxByCzdABC00010222Pr,onAxBy

19、CzDj PPABC 第56頁/共127頁1. 平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）2. 兩平面的夾角兩平面的夾角.3. 點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）第57頁/共127頁作作 業(yè)業(yè) P29習(xí)題習(xí)題8-3 4 做書上做書上1，3，5，6 ，9第58頁/共127頁第59頁/共127頁xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 002222

20、1111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程第60頁/共127頁xyzo方向向量：方向向量：如果一非零向量平行于一條如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這已知直線，這個向量稱為這條直線的條直線的方向向量方向向量L),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/0000( , , ),(,),sm n pM Mxxyy zz 第61頁/共127頁pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦稱為直線的稱為直線的

21、方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程第62頁/共127頁例例 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1 (第63頁/共127頁因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程tztytx324112(4, 1,3),snn 第64頁/共127頁解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為取取所求直線方程所求直線方程.4403

22、22 zyx(2,0,4),sBA 第65頁/共127頁定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角.（銳角銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式第66頁/共127頁兩直線的特殊位置關(guān)系：兩直線的特殊位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L, 021 ss,21ss 例如，例如，21LL 即即1(1,4,0),s 2(0

23、,0,1),s 第67頁/共127頁解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取.153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程( , , ),sm n p12( 4,3, 1),snn 第68頁/共127頁解解先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx第69頁/共127頁代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向

24、向量為MN所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx213312 624(2,1,3)(,),777777MN 6(2,1, 4),7 第70頁/共127頁定義定義直線和它在平面上的直線和它在平面上的投影直線投影直線的夾的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx 2),(ns 2),(ns 0.2 ( , ,),sm n p( , ,),nA B C第71頁/共127頁222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的特殊直線與平面的特殊位置關(guān)系位置關(guān)系： L)1( L)2

25、(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 .pCnBmA ns/ns第72頁/共127頁解解222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角(1, 1,2),(2, 1,2),ns第73頁/共127頁1. 空間直線的一般方程空間直線的一般方程.2. 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.3. 兩直線的夾角兩直線的夾角.4. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的特殊位置關(guān)系）（注意兩直線的特殊位置關(guān)系）（注意直線與平面的特殊位置關(guān)系）（注意直線與平面的特殊位置關(guān)系）第7

26、4頁/共127頁作作 業(yè)業(yè) P36習(xí)題習(xí)題8-41，2，8第75頁/共127頁第76頁/共127頁水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：第77頁/共127頁解解RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時方程為2222Rzyx 1、球面方程、球面方程第78

27、頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第79頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第80頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的

28、曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第81頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第82頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第83頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義

29、定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第84頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第85頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。

30、這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第86頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第87頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第88頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上

31、的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第89頁/共127頁2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的 軸軸第90頁/共127頁xozy), 0(111zyMM),(zyxM設(shè)設(shè)1(1) zz |122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的旋轉(zhuǎn)過程中的特征特征：如圖如圖將將 代入代入2211,zzyxy 0),(11 zyfd0),(22 zy

32、xf得方程得方程第91頁/共127頁 . 0,22 zxyf第92頁/共127頁xozy解解 cotyz ), 0(111zyM),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 第93頁/共127頁例例3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面第94頁/共127頁122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面第95頁/共127頁定義定義3、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:

33、平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL第96頁/共127頁定義定義3、柱面、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:第97頁/共127頁從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12

34、222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸pzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸第98頁/共127頁12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸ozyMx第99頁/共127頁22xpy 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸xozy第100頁/共127頁22221yxab雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸xozy第101頁/共127頁 (1)橢球面：橢球面： ozyx1222222 czbyax4、二次曲面、二次曲面 (三元二次方程三元二次方程)0( cba，第102頁/共127頁（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面2222xyzabxyzo第103頁/共127頁2222x

35、yzab(3)雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）xzoy第104頁/共127頁 xyoz(4)單葉單葉雙曲面圖形雙曲面圖形1222222 czbyax)0( cba，第105頁/共127頁(5)雙葉雙葉雙曲面圖形雙曲面圖形xyoz2222221xyzabc)0( cba，第106頁/共127頁Oxyz(6) 二次錐面二次錐面0222222 czbyax)0( cba，第107頁/共127頁1. 曲面方程的概念曲面方程的概念2. 旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.3. 柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線). 0),( zyxF4. 二次曲面二次曲面第108頁/共127頁作作

36、 業(yè)業(yè) P45習(xí)題習(xí)題8-51，8(1)、(3)，10(1)、(2)第109頁/共127頁第110頁/共127頁 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程特點(diǎn)特點(diǎn): 曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程.xozy1S2S空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.第111頁/共127頁例例1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 632122zxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，632 zx表示平面，表示

37、平面， 632122zxyx交線為橢圓交線為橢圓.第112頁/共127頁 )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程第113頁/共127頁 動點(diǎn)從動點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到時間，運(yùn)動到M點(diǎn)點(diǎn) Atax cos tay sin vtz 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo第114頁/共127頁則螺旋線的參數(shù)方程可以化為則螺旋線的參數(shù)方程可以化為 bzayaxsincos vbt ,令令螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高

38、度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 第115頁/共127頁 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量 z 后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征：特征：第116頁/共127頁類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,面上的面上的投影曲線投影曲線, 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面

39、上的投影曲線投影曲線第117頁/共127頁如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面第118頁/共127頁例例 3 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解(1) 消去變量消去變量 z 后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx第119頁/共127頁所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz(3) 同理在同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz(2) 因?yàn)榍€在平面因?yàn)榍€在平面 上，上，21 z第

40、120頁/共127頁.,)(34, 42222面上的投影求它在錐面所圍成和由上半球面設(shè)一個立體例xoyyxzyxz解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去第121頁/共127頁面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy . 0, 122zyx第122頁/共127頁截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,第123頁/共127頁,0042522 yxxzzx.00222 xzyzy,004522 zxxyyx第124頁/共127頁空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT第125頁/共127頁作作 業(yè)業(yè) P51習(xí)題習(xí)題8-61、2做書上，做書上，4、5第126頁/共127頁感謝您的觀看。感謝您的觀看。第127頁/共127頁