專題14 數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用考題一常用的數(shù)學(xué)知識(shí)1.羅列物理中常用數(shù)學(xué)方法，熟悉其內(nèi)容及其變形.2.熟悉數(shù)學(xué)在物理題中應(yīng)用的特點(diǎn).3.理解物理公式或圖象所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問題，防止單純從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，將物理公式“純數(shù)學(xué)化”的傾向.例1如圖1所示，AB是豎直平面內(nèi)圓心為O、半徑為R的圓上水平方向的直徑，AC是圓上的一條弦.該圓處在某一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線與圓平面平行，將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球從圓周上A點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方向不同時(shí)，小球會(huì)經(jīng)過圓周上的不同點(diǎn)，若到達(dá)C點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大，已知BAC30°，重力加速度為g，則電場(chǎng)強(qiáng)度E的最小值為()圖1A. B.C. D.解析小球到達(dá)C點(diǎn)動(dòng)能最大，說明C點(diǎn)是重力場(chǎng)和電場(chǎng)形成的復(fù)合場(chǎng)中的等效最低點(diǎn)，即重力和電場(chǎng)力的合力沿OC方向，對(duì)小球受力分析，如圖所示，利用矢量三角形可知：當(dāng)電場(chǎng)力垂直于OC時(shí)，電場(chǎng)力最小，F(xiàn)minmgsin 30°mg，即Emin，A正確.故選A.答案A變式訓(xùn)練1.如圖2所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出)，四個(gè)環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時(shí)間依次為t1、t2、t3、t4.下列關(guān)系不正確的是()圖2A.t1>t2 B.t1t3C.t2t4 D.t2<t4答案C解析以O(shè)A為直徑畫圓建立等時(shí)圓模型，小滑環(huán)受重力和支持力，由牛頓第二定律得：agcos (為桿與豎直方向的夾角)由圖中的直角三角形可知，小滑環(huán)的位移x2Rcos 由xat2，得：t22，t與無關(guān)，可知從圓上最高點(diǎn)沿任意一條弦滑到底端所用時(shí)間相同，故沿OA和OC滑到底端的時(shí)間相同，即t1t3，OB不是一條完整的弦，時(shí)間最短，即t1t2，OD長度超過一條弦，時(shí)間最長，即t2t4.故A、B、D正確，C不正確，因本題選不正確的，故選C.2.如圖3所示，穿在一根光滑固定桿上的小球A、B通過一條跨過定滑輪的細(xì)繩連接，桿與水平面成角，不計(jì)所有摩擦，當(dāng)兩球靜止時(shí)，OA繩與桿的夾角為，OB繩沿豎直方向，則下列說法正確的是()圖3A.A可能受到2個(gè)力的作用B.B可能受到3個(gè)力的作用C.A、B的質(zhì)量之比為tan 1D.A、B的質(zhì)量之比為1tan 答案D解析對(duì)A球受力分析可知，A受到重力、繩子的拉力以及桿對(duì)A球的彈力，三個(gè)力的合力為零，故A錯(cuò)誤；對(duì)B球受力分析可知，B受到重力、繩子的拉力，兩個(gè)力合力為零，桿對(duì)B球沒有彈力，否則B不能平衡，故B錯(cuò)誤；分別對(duì)A、B兩球受力分析，運(yùn)用合成法，如圖，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，得：FTmBg根據(jù)正弦定理得：因定滑輪不改變力的大小，故繩子對(duì)A的拉力等于對(duì)B的拉力，得mAmB1tan ，故C錯(cuò)誤，D正確，故選D.3.如圖4所示，將兩個(gè)質(zhì)量均為m，帶電荷量分別為q、q的小球a、b，用兩細(xì)線相連并懸掛于O點(diǎn)，置于沿水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，且Eqmg，用力F拉小球a，使整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，且兩條細(xì)線在一條直線上，則F的大小可能為()圖4A.3mg B.mgC.mg D.mg答案A解析先分析b的平衡：由于Eqmg，所以兩線與豎直方向夾角為45°.再分析整體平衡：兩電場(chǎng)力抵消，轉(zhuǎn)變成典型的三力平衡問題，畫矢量三角形如圖所示，F(xiàn)的最小值Fmin2mgsin 45°mg，則應(yīng)滿足Fmg，故A正確.4.物理學(xué)中有些問題的結(jié)論不一定必須通過計(jì)算才能驗(yàn)證，有時(shí)只需要通過一定的分析就可以判斷結(jié)論是否正確.如圖5所示為兩個(gè)彼此平行且共軸的半徑分別為R1和R2的圓環(huán)，兩圓環(huán)上的電荷量均為q(q>0)，而且電荷均勻分布.兩圓環(huán)的圓心O1和O2相距為2a，連線的中點(diǎn)為O，軸線上的A點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)與O點(diǎn)相距為r(r<a).試分析判斷下列關(guān)于A點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小E的表達(dá)式(式中k為靜電力常量)正確的是()圖5A.EC.E答案D解析令R1R20，A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度不為0，排除A、B.或令ra，E的結(jié)果應(yīng)該只與R1有關(guān)，與R2無關(guān)，排除A、B；當(dāng)ra時(shí)，A點(diǎn)位于圓心O2處，帶電圓環(huán)O2由于對(duì)稱性在A點(diǎn)的電場(chǎng)為0，根據(jù)微元法可以求得此時(shí)的總電場(chǎng)強(qiáng)度為EE1，將ra代入C、D選項(xiàng)可以排除C選項(xiàng).故選D.考題二數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用1.結(jié)合實(shí)際問題，將客觀事物的狀態(tài)關(guān)系和變化過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和求解，求得結(jié)果后再用圖象或函數(shù)關(guān)系把它表示出來.2.一般程序?qū)忣}過程分析建立模型應(yīng)用數(shù)學(xué)思想或方法求解并驗(yàn)證.3.弄清物理公式的運(yùn)用條件和應(yīng)用范圍；注意數(shù)學(xué)的解與物理解的統(tǒng)一.例2如圖6甲所示，木板與水平地面間的夾角可以隨意改變，當(dāng)30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑.若讓該小物塊從木板的底端以大小恒定的速度v0沿木板向上運(yùn)動(dòng)(如圖乙)，隨著的改變，小物塊沿木板滑行的距離s將發(fā)生變化，重力加速度為g.圖6(1)求小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；(2)當(dāng)角滿足什么條件時(shí)，小物塊沿木板上滑的距離最小，并求出此最小值.解析(1)由題知，當(dāng)30°時(shí)，對(duì)物塊受力分析得：mgsin FNFNmgcos 聯(lián)立得：tan tan 30°.(2)小物塊向上運(yùn)動(dòng)，則有：mgsin mgcos ma物塊的位移為x：v2axx令：tan ，當(dāng)90°時(shí)，x最小 此時(shí)有：60°有：xmin.答案(1)(2)60°變式訓(xùn)練5.如圖7所示，在“十”字交叉互通的兩條水平直行道路上，分別有甲、乙兩輛汽車運(yùn)動(dòng)，以“十”字中心為原點(diǎn)，沿直道建立xOy坐標(biāo)系.在t0時(shí)刻，甲車坐標(biāo)為(1,0)，以速度v0k m/s沿x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙車沿y方向運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)為(0，y)，y與時(shí)間t的關(guān)系為y m，關(guān)系式中k>0，問：圖7(1)當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，甲、乙兩車間的距離有最小值，最小值為多大？(2)當(dāng)k為何值時(shí)，甲車運(yùn)動(dòng)到O處，與乙車的距離和t0時(shí)刻的距離相同？答案(1)0<k<1 m(2)解析(1)t時(shí)刻兩車坐標(biāo)：甲車：x(1kt) m，乙車：y mt時(shí)刻兩車相距s m當(dāng)t s時(shí)，甲、乙兩車間的距離有最小值.最小值為smin m，其中k滿足0<k<1.(2)當(dāng)t0時(shí)，甲車坐標(biāo)為(1,0)，乙車坐標(biāo)為(0,1)，此時(shí)兩車距離s0 m.當(dāng)甲車運(yùn)動(dòng)到O處時(shí)，kt1 m，乙車y m m兩式聯(lián)立解得：k.6.一小球從h045 m高處自由下落，著地后又彈起，然后又下落，每與地面相碰一次，速度大小就變化為原來的k倍.若k，求小球從下落直至停止運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.(g取10 m/s2，碰撞時(shí)間忽略不計(jì))答案9 s解析由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式將小球每碰一次后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的通項(xiàng)公式求出，然后再累加求和.小球從h0處落到地面時(shí)的速度：v0，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t0 第一次碰地后小球反彈的速度：v1kv0k小球再次與地面碰撞之前做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這一過程球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t12k則第n次碰地后，小球的運(yùn)動(dòng)速度的通項(xiàng)公式為：vnkn運(yùn)動(dòng)時(shí)間：tn2kn所以，小球從下落到停止運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：tt0t1tn 2k2kn 2 (kk2kn).上式括號(hào)中是一個(gè)無窮等比遞減數(shù)列，由無窮等比遞減數(shù)列求和公式，并代入數(shù)據(jù)得t9 s.7.一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度地釋放，如圖8所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？圖8答案當(dāng)細(xì)繩與豎直方向的夾角余弦值為cos 時(shí)，重力的瞬時(shí)功率取得最大值解析如圖所示，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成角的C時(shí)，重力的功率：Pmgvcos mgvsin 小球從水平位置到圖中C位置時(shí)，由機(jī)械能守恒有mgLcos mv2解得：Pmg令ycos sin2因?yàn)閥cos sin2 又因?yàn)?cos2sin2sin22(sin2cos2)2(定值).所以當(dāng)且僅當(dāng)2cos2sin2時(shí)，y有最大值由2cos21cos2得cos 即：當(dāng)cos 時(shí)，功率P有最大值.專題規(guī)范練1.(多選)AOC是光滑的直角金屬導(dǎo)軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根金屬直棒，靠立在導(dǎo)軌上(開始時(shí)b離O點(diǎn)很近)，如圖1所示.它從靜止開始在重力作用下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中a端始終在AO上，b端始終在OC上，直到ab完全落在OC上，整個(gè)裝置放在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，則ab棒在運(yùn)動(dòng)過程中()圖1A.感應(yīng)電流方向始終是baB.感應(yīng)電流方向先是ba，后變?yōu)閍bC.所受磁場(chǎng)力方向垂直于ab向上D.所受磁場(chǎng)力方向先垂直于ab向下，后垂直于ab向上答案BD解析初始，ab與直角金屬導(dǎo)軌圍成的三角形面積趨于0，末狀態(tài)ab與直角金屬導(dǎo)軌圍成的三角形面積也趨于0，所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，閉合回路的面積先增大后減小.根據(jù)楞次定律的增反減同，判斷電流方向先是逆時(shí)針后是順時(shí)針，選項(xiàng)A錯(cuò)，B對(duì).根據(jù)左手定則判斷安培力可得安培力先垂直于ab向下，后垂直于ab向上，選項(xiàng)C錯(cuò)，D對(duì).故選B、D.2.如圖2所示，斜面上固定有一與斜面垂直的擋板，另有一截面為圓的光滑柱狀物體甲放置于斜面上，半徑與甲相同的光滑球乙被夾在甲與擋板之間，沒有與斜面接觸而處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)在從球心O1處對(duì)甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向緩慢向下移動(dòng).設(shè)乙對(duì)擋板的壓力大小為F1，甲對(duì)斜面的壓力大小為F2，甲對(duì)乙的彈力大小為F3.在此過程中()圖2A.F1逐漸增大，F(xiàn)2逐漸增大，F(xiàn)3逐漸增大B.F1逐漸減小，F(xiàn)2保持不變，F(xiàn)3逐漸減小C.F1保持不變，F(xiàn)2逐漸增大，F(xiàn)3先增大后減小D.F1逐漸減小，F(xiàn)2保持不變，F(xiàn)3先減小后增大答案B解析先對(duì)物體乙受力分析，受重力、擋板的支持力F1和甲對(duì)乙的彈力F3，如圖甲所示；甲沿斜面方向向下移動(dòng)，逐漸變小，F(xiàn)1的方向不變，整個(gè)過程中乙物體保持動(dòng)態(tài)平衡，故F1與F3的合力始終與重力等大反向，由平行四邊形定則知F3、F1均逐漸減小，根據(jù)牛頓第三定律，乙對(duì)擋板的壓力F1逐漸減??；再對(duì)甲與乙整體受力分析，受重力、斜面的支持力F2、擋板的支持力F1和推力F，如圖乙所示；根據(jù)平衡條件有，F(xiàn)2(Mm)gcos ，保持不變；由牛頓第三定律知甲對(duì)斜面的壓力F2不變，選項(xiàng)B正確.故選B.3.如圖3所示，A、B為地球的兩個(gè)軌道共面的人造衛(wèi)星，運(yùn)行方向相同，A、B衛(wèi)星的軌道半徑分別為rA和rB，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星距離達(dá)到最近，已知衛(wèi)星A的運(yùn)行周期為T.從該時(shí)刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間為()圖3A. B.C. D.答案C解析設(shè)兩衛(wèi)星至少經(jīng)過時(shí)間t距離最遠(yuǎn)，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)相差半周，則，又因?yàn)樾l(wèi)星環(huán)繞周期T2 ，解得t，C正確.故選C.4.圖4為某制藥廠自動(dòng)生產(chǎn)流水線的一部分裝置示意圖，傳送帶與水平面的夾角為，O為漏斗.要使藥片從漏斗中出來后經(jīng)光滑滑槽滑到傳送帶上，設(shè)滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為，則為多大時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短()圖4A. B.2C. D.答案C解析如圖所示，藥片沿滑槽下滑的加速度agcos ，設(shè)O到傳送帶的距離為H，則有OPat2gt2cos t2令Tcos()cos cos()cos()cos cos(2)當(dāng)2時(shí)，Tmax(cos 1)可見，時(shí)，t有最小值.故選C.5.在同一水平面內(nèi)有兩個(gè)圍繞各自固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤A、B，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖5所示，在A盤上距圓心48 cm處固定一個(gè)小球P，在B盤上距圓心16 cm處固定一個(gè)小球Q.已知P、Q轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小都為4 m/s.當(dāng)P、Q相距最近時(shí)開始計(jì)時(shí)，則每隔一定時(shí)間兩球相距最遠(yuǎn)，這個(gè)時(shí)間的最小值應(yīng)為()圖5A.0.08 s B.0.12 sC.0.24 s D.0.48 s答案B解析兩球相距最遠(yuǎn)時(shí)，在相同的時(shí)間內(nèi)，P、Q轉(zhuǎn)過的角度分別為PPt(2n1)(n0,1,2,3，)，QQt(2m1) (m0,1,2,3，)，由于Q3P，當(dāng)兩球第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)，n0，解得m1，故t，而P，解得t0.12 s，選項(xiàng)B正確.故選B.6.如圖6所示，一根長為L的輕桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球A，輕桿靠在一個(gè)質(zhì)量為M、高為h的物塊上.若物塊與地面間摩擦不計(jì)，則當(dāng)物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)至桿與水平方向夾角為時(shí)，小球A的線速度大小為()圖6A. B.C. D.答案B解析根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，接觸點(diǎn)B的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，可將B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度沿垂直于桿和沿桿的方向分解成v2和v1，如圖所示，其中v2vBsin vsin ，即為B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，v1vBcos ，為B點(diǎn)沿桿運(yùn)動(dòng)的速度.當(dāng)桿與水平方向夾角為時(shí)，OB；A、B兩點(diǎn)都圍繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且在同一桿上，故角速度相同，由于B點(diǎn)的線速度為v2vsin OB，所以，所以A的線速度vAL，故選項(xiàng)B正確.故選B.7.(多選)如圖7所示，直角三角形abc是圓O的內(nèi)接三角形，a30°，b90°，c60°.勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)線與圓所在平面平行，已知a、b、c三點(diǎn)電勢(shì)為aU、b0、cU.下面說法正確的是()圖7A.圓上最高點(diǎn)的電勢(shì)等于UB.圓上最高點(diǎn)的電勢(shì)等于UC.勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于D.勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于答案BD解析ac中點(diǎn)O的電勢(shì)O0，所以O(shè)、b兩點(diǎn)是等勢(shì)點(diǎn)，則直線bO是勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線，與直線bO垂直的直線就是電場(chǎng)線，圓周上M點(diǎn)電勢(shì)最高，如圖所示.過c點(diǎn)作等勢(shì)線，與電場(chǎng)線交于d點(diǎn)，則dcU，設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系知O、d間的距離OdRcos 30°R，所以電場(chǎng)強(qiáng)度E，D正確.M點(diǎn)的電勢(shì)MERU，B正確.故選B、D.8.(多選)如圖8所示，固定于豎直面內(nèi)的粗糙斜桿，與水平方向夾角為30°，質(zhì)量為m的小球套在桿上，在大小不變的拉力F作用下，小球沿桿由底端勻速運(yùn)動(dòng)到頂端.已知小球與斜桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則關(guān)于拉力F的大小和F的做功情況，下列說法正確的是()圖8A.當(dāng)30°時(shí)，拉力F最小B.當(dāng)30°時(shí)，拉力F做功最小C.當(dāng)60°時(shí)，拉力F最小D.當(dāng)60°時(shí)，拉力F做功最小答案AD解析由題中選項(xiàng)可知要使F最小，則應(yīng)有Fsin <mgcos 30°，故根據(jù)平衡條件有Fcos mgsin 30°(mgcos 30°Fsin )，解得：F，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)30°時(shí)，拉力F最小，A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)60°時(shí)，F(xiàn)mg，因?yàn)闆]有摩擦力，拉力做功最小，Wminmgh，所以B錯(cuò)誤，D正確.故選A、D.9.如圖9所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限區(qū)域中，有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為Ekv0.在第二象限有一半徑為Rb的圓形區(qū)域磁場(chǎng)，圓形磁場(chǎng)的圓心O1坐標(biāo)為(b，b)，與坐標(biāo)軸分別相切于P點(diǎn)和N點(diǎn)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.在x3b處垂直于x軸放置一平面熒光屏，與x軸交點(diǎn)為Q.大量的電子以相同的速率在紙面內(nèi)從P點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，電子的速度方向在與x軸正方向成角的范圍內(nèi)，其中沿y軸正方向的電子經(jīng)過磁場(chǎng)到達(dá)N點(diǎn)，速度與x軸正方向成角的電子經(jīng)過磁場(chǎng)到達(dá)M點(diǎn)且M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1.5b).忽略電子間的相互作用力，不計(jì)電子的重力，電子的比荷為.求：圖9(1)圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(2)角的大??；(3)電子打到熒光屏上距Q點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離.答案(1)k(2)120°(3)b解析(1)由于速度沿y軸正方向的電子經(jīng)過N點(diǎn)，因而電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rb而ev0Bm聯(lián)立解得Bk(2)速度與x軸正方向成角的電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O，電子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置為P，連接PO1PO可知該四邊形為菱形，如圖甲，由于PO1豎直，因而半徑PO也為豎直方向，電子離開磁場(chǎng)時(shí)速度一定沿x軸正方向由圖可知bsin(90°)b1.5b解得120°.(3)由(2)可知，所有的電子以平行于x軸正方向的速度進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，豎直方向位移為y，水平位移為x水平方向xv0t豎直方向yat2eEmavyat聯(lián)立解得x設(shè)電子最終打在光屏的最遠(yuǎn)點(diǎn)距Q點(diǎn)為H，如圖乙所示，電子射出電場(chǎng)時(shí)的夾角為有tan 有H(3bx)tan (3)· 當(dāng)3，即yb時(shí)，H有最大值.由于b<1.5b，所以Hmaxb.15