2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)11,二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過(guò)關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),11,二次,函數(shù),幾何,綜合,應(yīng)用,補(bǔ)缺 回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中《二次函數(shù)》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對(duì)比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過(guò)熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國(guó)各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。 1.幾何圖形存在性問(wèn)題； 2.最值問(wèn)題（長(zhǎng)度、面積）； 3.證明定值問(wèn)題； 4.相似問(wèn)題 1．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）過(guò)點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，，連接．當(dāng)時(shí)，求的面積； （3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段． ①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 第1頁(yè)/共8頁(yè) ②點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 2．（2021·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是．拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)． （2）直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)． ①當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； ②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作直線l垂直于，直線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線上，且時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)． 第2頁(yè)/共8頁(yè) 3．（2021·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點(diǎn)為B． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上找一點(diǎn)P，使△ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 4．（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，項(xiàng)點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為． （1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為_________，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_________，拋物線的解析式為_________； （2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量：滿足時(shí)，函數(shù)y的最小值為，求m的值； （3）P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第3頁(yè)/共8頁(yè) 5．（2021·湖南湘西·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）連接，求直線的解析式； （3）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值； （4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 6．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接． （1）若，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)（在拋物線上）．點(diǎn)（在拋物線的對(duì)稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 第4頁(yè)/共8頁(yè) 7．（2021·山東棗莊·一模）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C（0，4），△ABO從點(diǎn)，開始沿射線AB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點(diǎn)A，B，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），平移時(shí)間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)M，連接ME． (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)tan∠EMF＝時(shí)，請(qǐng)求出t的值； (3)如圖2，點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，連接OM，NF，OM與NF相交于點(diǎn)P，當(dāng)NP＝FP時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值． 8．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）． (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式． (2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． ①求PE+EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 第5頁(yè)/共8頁(yè) 9．（2022·浙江·嘉興一中一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E． (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，當(dāng)S△PBC＝S△ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），． (1)求二次函數(shù)解析式； (2)如圖2，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點(diǎn)E，求PD+BE 第6頁(yè)/共8頁(yè) 的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在（2）的條件下，當(dāng)PD+BE取最大值時(shí)，連接PC，將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，，D′為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)． 11．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC，連接AC． (1)求該拋物線的解析式； (2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交直線AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AC交直線PE于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)作⊥x軸于點(diǎn)M．在平移過(guò)程中，是否存在以D、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第7頁(yè)/共8頁(yè) 第8頁(yè)/共8頁(yè) 回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中《二次函數(shù)》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對(duì)比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過(guò)熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國(guó)各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。 1.幾何圖形存在性問(wèn)題； 2.最值問(wèn)題（長(zhǎng)度、面積）； 3.證明定值問(wèn)題； 4.相似問(wèn)題 1．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）過(guò)點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，，連接．當(dāng)時(shí)，求的面積； （3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段． ①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 第1頁(yè)/共34頁(yè) ②點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或． 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)以及已知條件，將的坐標(biāo)代入即可求得的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式； （2）依題意根據(jù)（1）的解析式求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，據(jù)此求得，根據(jù)進(jìn)而求得的坐標(biāo)，根據(jù)即可求得的面積； （3）①過(guò)作軸，分點(diǎn)在軸上方和下方兩種情況討論，證明，設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式中即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)情形2，方法同情形1； ②分當(dāng)不平行于軸和軸兩種情況討論，當(dāng)當(dāng)不平行于軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明進(jìn)而可得的坐標(biāo)，當(dāng)軸時(shí)，結(jié)合已知條件即可求得的坐標(biāo)． 【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，解得 ， （2）由，令，解得， ，當(dāng)時(shí)， ，,則 ； （3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 由，令， 解得 第2頁(yè)/共34頁(yè) ， ， 將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段， ，， 設(shè)， 點(diǎn)在拋物線上， 解得（舍） 當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖， 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè) 同理可得 第3頁(yè)/共34頁(yè) 點(diǎn)在拋物線上， 解得（舍去）， 綜上所述，或； ②當(dāng)不平行于軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖， 平分，， ， , ， 當(dāng)不平行于軸時(shí)，重合， 第4頁(yè)/共34頁(yè) ， 當(dāng)軸時(shí)，如圖， 此時(shí) 則 綜上所述，當(dāng)平方時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，正切的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵． 2．（2021·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是．拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)． （2）直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)． ①當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； ②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作直線l垂直于，直線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線上，且時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)． 第5頁(yè)/共34頁(yè) 【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）（2，1）或；②或． 【分析】（1）將和代入利用系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后將一般式化為頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）①求出的面積，設(shè)利用求得； ②利用列出方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)聯(lián)立直線和的關(guān)系式，求出的坐標(biāo)，從而求得． 【詳解】解（1）由題意得，，，，． （2）①如圖1， 作于， ，， 直線， ，可設(shè)， 第6頁(yè)/共34頁(yè) ， ， ， 或． 或． ②如圖2， 設(shè)， 由得，， 化簡(jiǎn)，得， ，， ，，， 作于， ， ， ， 即：， ， ，， 第7頁(yè)/共34頁(yè) 設(shè)直線是：， ，解得 ， 由，解得 ， ， ， 綜上，的長(zhǎng)為或． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)及相似三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵將點(diǎn)的坐標(biāo)化成長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化成圖形的相似等知識(shí)． 3．（2021·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點(diǎn)為B． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上找一點(diǎn)P，使△ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合條件的點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為，，， 【分析】（1）把點(diǎn)A，C代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （2）先作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，然后連接AC'并延長(zhǎng)交拋物線與點(diǎn)P，根據(jù)對(duì)稱性可知P 第8頁(yè)/共34頁(yè) 為所求的點(diǎn)； （3）根據(jù)勾股定理先求出∠APC的正切值，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出關(guān)于m的方程，求出m，即可確定M的坐標(biāo)． 【詳解】解：（1）把點(diǎn)，代入，得到方程組：，解得， 拋物線的解析式為； （2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接并延長(zhǎng)與拋物線交與點(diǎn)，由圖形的對(duì)稱性可知為所求的點(diǎn)， 設(shè)直線的解析式為，由題意得：，解得：， 直線的解析式為， 將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得：解得（舍去）或，； （3）存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，由勾股定理得， 同理可求得，， ，， ， ， 第9頁(yè)/共34頁(yè) ，， 設(shè)點(diǎn)，則，解得或， 當(dāng)時(shí)，， ，， 當(dāng)，， ，， 存在符合條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為，，，． 【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是要會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，第二問(wèn)中三角形的內(nèi)角到三邊的距離是相等的，可考慮作關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，此方法比較簡(jiǎn)潔，當(dāng)題目中出現(xiàn)相等的角時(shí)，一般要考慮它們的三角函數(shù)值相等． 4．（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，項(xiàng)點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為． （1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為_________，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_________，拋物線的解析式為_________； （2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量：滿足時(shí)，函數(shù)y的最小值為，求m的值； （3）P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值為或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（2，2） 第10頁(yè)/共34頁(yè) 【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)B坐標(biāo)可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱軸可求出b的值，把點(diǎn)A或B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出C的值，通過(guò)配方可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）根據(jù)拋物線開口向上，分兩種情況討論求解即可； （3）設(shè)P（1，t），由為斜邊，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），且點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)， ∴A（1，0） 又x= ∴ 把A（1，0）代入得， ∴拋物線的解析式為 ∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-1） 故答案為：（1，0），（2，-1），； （2）∵拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大， ①當(dāng)，即時(shí)， 解得，（舍去）或 ②當(dāng)時(shí)，解得，或（舍去） 所以，m的值為或 （3）假設(shè)存在，設(shè)P（2，t） 當(dāng)時(shí)，如圖， 過(guò)點(diǎn)C作CG⊥PE于點(diǎn)G，則CG=2，PG=3-t 第11頁(yè)/共34頁(yè) ，∴ ，即 整理得， 解得，， 經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根且符合題意，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），（2，2） 綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（2，2） 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵． 5．（2021·湖南湘西·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）連接，求直線的解析式； （3）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值； （4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時(shí) 第12頁(yè)/共34頁(yè) 的最小值為；（4）存在，或． 【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可； （2）設(shè)直線的解析式為，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求解即可； （3）由題意易得點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長(zhǎng)，然后問(wèn)題可求解； （4）由題意可設(shè)點(diǎn)，然后可分①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可進(jìn)行求解． 【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得：， ∴拋物線的解析式為； （2）由（1）可得拋物線的解析式為， ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，∴， 設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：， ∴直線的解析式為； （3）由拋物線可得對(duì)稱軸為直線，由題意可得如圖所示： 連接BP、BC， ∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱， 第13頁(yè)/共34頁(yè) ∴， ∴， 要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長(zhǎng)，此時(shí)BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)， ∵， ∴， ∴的最小值為， ∵點(diǎn)P在直線BC上， ∴把代入得：， ∴； （4）存在，理由如下： 由題意可設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可分： ①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖所示： 連接MN，交AC于點(diǎn)D， ∵四邊形ANCM是平行四邊形， ∴點(diǎn)D為AC、MN的中點(diǎn)， ∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：，∴； ②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，同理可得：，即， 第14頁(yè)/共34頁(yè) 解得：，∴； ③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，同理可得： ，即，解得：，∴； ∴綜上所述：當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵． 6．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接． （1）若，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)（在拋物線上）．點(diǎn)（在拋物線的對(duì)稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，． 【分析】（1）由題意易得，則有，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可； （2）由（1）可得，，然后可求出線段BC的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)，則有，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行求解點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）由題意易得，拋物線的對(duì)稱軸為，則可得，點(diǎn) 第15頁(yè)/共34頁(yè) F的橫坐標(biāo)為，①當(dāng)以GB為矩形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)相似三角形可求解；②當(dāng)以GB為矩形的對(duì)邊時(shí)，最后分類求解即可． 【詳解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：， ∴拋物線解析式為； （2）由（1）可得拋物線解析式為，，， 設(shè)線段BC的解析式為，把點(diǎn)B、C代入得： ，解得：， ∴線段BC的解析式為， 過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，如圖所示： 設(shè)，則有， ∴， 設(shè)的面積為S，由鉛垂法可得△PCB的面積可以點(diǎn)B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有： ， ∴當(dāng)a=2時(shí)，S有最大值， 第16頁(yè)/共34頁(yè) ∴點(diǎn)； （3）存在，理由如下： 由題意可把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線得：，∴， 聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，解得：，∴， 由拋物線可得對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為， ①當(dāng)以GB為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示： ∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，即為，∴， 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，即， ∴，∴， ∵，且四邊形是矩形， ∴點(diǎn)E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即， 分別作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G、B作過(guò)點(diǎn)F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點(diǎn)M、N，如圖， ∴， ∵四邊形是矩形，∴， ∴， ∴，∴，∴， ∴， 第17頁(yè)/共34頁(yè) ∵，∴，∴，即， ∴，解得：（負(fù)根舍去），∴，； ②當(dāng)以GB為矩形的邊時(shí)，不存在以點(diǎn)E、F、G、B頂點(diǎn)的四邊形為矩形； 綜上所述：當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，． 【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵． 7．（2021·山東棗莊·一模）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C（0，4），△ABO從點(diǎn)，開始沿射線AB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點(diǎn)A，B，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），平移時(shí)間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)M，連接ME． (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)tan∠EMF＝時(shí)，請(qǐng)求出t的值； (3)如圖2，點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，連接OM，NF，OM與NF相交于點(diǎn)P，當(dāng)NP＝FP時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值． 【答案】(1)y= ；(2)或 ；(3) . 【分析】 （1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法即可求解； （2））設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m﹣4），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣），用含m的式子表示出DM的長(zhǎng)，求出DM＝1或7，分類討論即可求解； （3）連接OF，過(guò)點(diǎn)N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，證明四邊形OADF是平行四邊形，得到FG＝ 第18頁(yè)/共34頁(yè) OG＝t，利用SAS證明△PQN≌△PMF，得到NQ＝ME＝，證明△OQH∽△OMG，得到﹣＝2（），即可求解． 【詳解】(1)將y＝0代入y＝x﹣4，得x﹣4＝0，∴x＝4，∴B（4，0）， ∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，4）， ∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣； (2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m﹣4）， 則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣），∴DM＝（﹣）﹣（m﹣4）＝﹣， ∵△ABO平移得到△DEF，∴DF＝EF＝4， ∵tan∠EMF＝，∴MF＝3， 如圖3， 當(dāng)M位于EF上方時(shí)，MD＝DF+MF＝7，∴﹣＝7， ∴解得：m1＝，m2＝﹣（不合題意，舍去）， 如圖4，當(dāng)M位于EF下方時(shí)，MD＝DF﹣MF＝1， 第19頁(yè)/共34頁(yè) ∴﹣＝1，解得：m＝不合題意，舍去）或， ∵t＝＝m，∴t＝或， (3)連接OF，過(guò)點(diǎn)N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H， 將x＝0代入y＝x﹣4，解得：y＝﹣4，∴A（0，﹣4）， ∵B（4，0），∴OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°， 由平移知OA∥FD，OA＝FD，∴四邊形OADF是平行四邊形，∴OF＝AD＝ t，∠OFD＝∠OAD＝45°， ∵∠OGF＝90°， FG＝OG＝t，∴MF＝MG﹣FG＝， ∵NH∥MF，∴∠PQN＝∠PMF，∠PNQ＝∠PFM， ∵PN＝PF，∴△PQN≌△PMF（SAS），∴NQ＝MF＝ ， 第20頁(yè)/共34頁(yè) 由題意得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，∴N（，）， QH＝NH﹣NQ＝﹣＝， ∵QH∥MG，∴∠OQH＝∠OMG，∠OHQ＝∠OGM，∴△OQH∽△OMG， ∴＝ ，∴MG＝2QH，∴﹣＝2（）， 解得：t1＝，t2＝﹣（不符合題意，舍去）， ∴t＝． 【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 8．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）． (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式． (2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． ①求PE+EG的最大值； ②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①；②-1或 【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程組求出b、c即可； （2）①利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），從而得出EG，運(yùn)用二次函數(shù)求最值方法即可； 第21頁(yè)/共34頁(yè) ②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，直線EG與x軸交于點(diǎn)N．先證明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可． 【詳解】(1)∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0），C（0，﹣3），∴，解得：， ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3； (2)①當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0）， 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3， ∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°， 過(guò)點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K， ∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝＝EK＝OD， 設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+， 由題意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0， 當(dāng)m＝﹣時(shí)，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值為； ②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，記直線EG與x軸交于點(diǎn)N， ∵EK⊥y軸，PD⊥x軸，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN． ∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON， ∵y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴MF＝1， ∵∠KGF＝45°，∴GF＝＝MF＝， ∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG． 又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴＝， ∴DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m， 在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|， OD＝﹣m， 在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9， 第22頁(yè)/共34頁(yè) ∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式、線段和最短問(wèn)題、相似三角形，能夠靈活使用方程思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，常用勾股定理、相似比列方程． 9．（2022·浙江·嘉興一中一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E． (1)求拋物線的表達(dá)式； 第23頁(yè)/共34頁(yè) (2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，當(dāng)S△PBC＝S△ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11） 【分析】（1）直接將A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案； （2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案． 【詳解】(1)解：∵拋物線y＝x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0）， ∴，∴拋物線解析式為：； (2)解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，∴C（0，8），∴直線BC解析式為：y＝﹣x+8， ∵，∴ 14 過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F， 設(shè)，∴F（t，﹣t+8），∴，∴， 即 ，∴t1＝1，t2＝7， ∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）； (3)解：存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8），或（3，11）． ∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°， 第24頁(yè)/共34頁(yè) ∴△OBC為等腰直角三角形， 拋物線的對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3， 又∵點(diǎn)E在直線BC上，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴E（3，5）， 設(shè)， ①當(dāng)MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則， 解得或（舍去）， ∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，8）， ②當(dāng)ME＝EN，當(dāng)∠MEN＝90°時(shí)，則，解得：或（舍去）， ∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為； ③當(dāng)MN＝EN，∠MNE＝90°時(shí)，此時(shí)△MNE與△COB相似， 此時(shí)的點(diǎn)M與點(diǎn)E關(guān)于①的結(jié)果（3，8）對(duì)稱， 設(shè)M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，11）； 第25頁(yè)/共34頁(yè) 故在射線ED上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8）或或（3，11）． 【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線． 10．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），． (1)求二次函數(shù)解析式； (2)如圖2，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點(diǎn)E，求PD+BE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在（2）的條件下，當(dāng)PD+BE取最大值時(shí)，連接PC，將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，，D′為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)． 【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，PD+BE的最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，） (3)當(dāng)以點(diǎn)M，N，，D′為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）或（，）或（，）或（，）． 【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），然后利用待定系數(shù)法求解即可； 第26頁(yè)/共34頁(yè) （2）過(guò)P作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F，則四邊形PEBF為平行四邊形，從而得到PD+BE＝PD+PF，求出直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），則，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），得到，則，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可； （3）分三種情況①以MN為對(duì)角線時(shí)，如圖①，有，，，②以為對(duì)角線時(shí)，如圖②，有，，，③以為對(duì)角線時(shí)，如圖③，有，，，由此討論求解即可． 【詳解】(1)解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴OC＝3， ∵，∴OB＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）， 由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（6，0）設(shè)拋物線的解析式為， 將點(diǎn)C（0，3）代入解析式為，∴， ∴拋物線的解析式為； (2)解：過(guò)P作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F， ∵PE∥BC，∴四邊形PEBF為平行四邊形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF， 設(shè)直線BC的解析式為，則，解得：， ∴直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，）， ∴， ∵PF∥x軸，∴點(diǎn)F和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即， ∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）， ∴， ∴， 第27頁(yè)/共34頁(yè) ∴當(dāng)m＝3時(shí)，的最大值為， 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）； （3）由（2）中得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）， ∵△PCD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，C（0，3）， ∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（，﹣3）， ∵A（﹣2，0），C（0，3），∴ ∵拋物線沿射線CA方向平移，∴拋物線向左平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移了個(gè)單位長(zhǎng)度， ∴平移后拋物線的對(duì)稱軸為直線 設(shè)點(diǎn)M（1，y），N（m，n，C'（3，0），（，﹣3）， ①以MN為對(duì)角線時(shí)，如圖①， 有，，， ∴，解得：或， ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）； ②以MC'為對(duì)角線時(shí)，如圖②， 第28頁(yè)/共34頁(yè) 有，，， ∴，解得：，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）； ③以MD'為對(duì)角線時(shí)，如圖③， 有，，， ∴，解得：，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）； 綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)M，N，C′，D′為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）；或（，）或（，）． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合和一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及平移、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并會(huì)用含由未知數(shù)的式子表示函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)． 11．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC，連接AC． 第29頁(yè)/共34頁(yè) (1)求該拋物線的解析式； (2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交直線AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AC交直線PE于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)作⊥x軸于點(diǎn)M．在平移過(guò)程中，是否存在以D、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)；(2)P（﹣，﹣） (3)存在，（2，﹣）或（，）或（，） 【分析】（1）利用對(duì)稱軸為直線，可求得A（，0），再根據(jù)OB＝OC，可得C（0， ），再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案； （2）如圖1，設(shè)PE交x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用待定系數(shù)法可得：直線AC的解析式為，設(shè)P（t，），則E（t，），H（t，0），運(yùn)用勾股定理可得，利用∽，可求得，再利用，建立方程求解即可； （3）利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，設(shè)（m，），則M（m，0），可得出：，，，根據(jù)以D、D'、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分三種情況：或或，分別建立方程求解即可． 【詳解】(1)解：∵對(duì)稱軸為直線，與x軸交于A、B（，0）兩點(diǎn)， ∴A（，0），OB＝， ∵OB＝OC，∴C（0，）， 第30頁(yè)/共34頁(yè) 設(shè)拋物線為，將C（0，）代入， 得：，解得：， ∴， ∴該拋物線的解析式為； (2)解：如圖3，設(shè)PE交x軸于點(diǎn)H， 設(shè)直線AC的解析式為， ∵A（，0），C（0，），∴ ，解得： ， ∴直線AC的解析式為， 設(shè)P（t，），則E（t，），H（t，0）， ∴，EH＝， ∵，∴ ， ∵AF⊥AC，∴， ∵，∴∽，∴ ，即，∴， ∵，∴，∴ ， 解得：，（舍去），又， ∴P（，）； 第31頁(yè)/共34頁(yè) (3)解：存在以D、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形． 如圖2，∵點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，D'為拋物線的頂點(diǎn)， ∴， 設(shè)直線的解析式為，將D（，）代入，得：， 解得：，∴直線的解析式為， 設(shè)（m，），則M（m，0），∴， ，， ∵以D、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，∴或或， 當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）， ∴（，）； 當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）， ∴（，）； 當(dāng)時(shí)，， 解得：，（舍去）， ∴（，）； 第32頁(yè)/共34頁(yè) 綜上，的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）． 【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平移變換，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵． 第33頁(yè)/共34頁(yè) 第34頁(yè)/共34頁(yè)