第八節(jié)機(jī)械能守恒定律1知道什么是機(jī)械能，知道物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化。2能夠根據(jù)動能定理、重力做功與重力勢能變化間的關(guān)系，推導(dǎo)出機(jī)械能守恒定律。3會根據(jù)機(jī)械能守恒的條件判斷機(jī)械能是否守恒，能運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問題。1.動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化(1)重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化：只有重力做功時(shí)，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能減少，動能增加，物體的重力勢能轉(zhuǎn)化成了動能；若重力對物體做負(fù)功，則物體的重力勢能增加，動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能。(2)彈性勢能與動能的轉(zhuǎn)化：只有彈簧彈力做功時(shí)，若彈力對物體做正功，則彈簧的彈性勢能減少，物體的動能增加，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體的動能；若彈力對物體做負(fù)功，則彈簧的彈性勢能增加，物體的動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能。(3)機(jī)械能：重力勢能、彈性勢能和動能的統(tǒng)稱，表達(dá)式為EEkEp。通過重力或彈力做功，機(jī)械能可以從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。2機(jī)械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。(2)機(jī)械能守恒的條件：只有重力或彈力做功。(3)表達(dá)式：Ek2Ep2Ek1Ep1，即E2E1。判一判(1)合力為零，物體的機(jī)械能一定守恒。()(2)合力做功為零，物體的機(jī)械能一定守恒。()(3)只有重力做功，物體的機(jī)械能一定守恒。()提示：(1)×(2)×合力為零或合力做功為零，物體的機(jī)械能都不一定守恒，如物體沿斜面勻速下滑時(shí)，物體的機(jī)械能減少。(3)機(jī)械能守恒的條件是只有重力或彈力做功。課堂任務(wù)機(jī)械能守恒定律如圖所示，質(zhì)量為m的物體從光滑曲面頂端靜止下滑，經(jīng)過A、B兩個位置。認(rèn)真參與“師生互動”?；顒?：以地面為參考平面，圖中物體在A、B點(diǎn)的動能、勢能、機(jī)械能各是什么？ 提示：A點(diǎn)：動能Ek1mv，勢能Ep1mgh1，機(jī)械能E1Ek1Ep1mvmgh1。B點(diǎn)：動能Ek2mv，勢能Ep2mgh2，機(jī)械能E2Ek2Ep2mvmgh2。活動2：物體從A運(yùn)動到B的過程中，能量怎么轉(zhuǎn)化？猜想守恒量是什么？提示：物體從A運(yùn)動到B的過程中，重力勢能減少，動能增加，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能。我們可以猜想，這個守恒量是機(jī)械能?；顒?：圖中物體從A運(yùn)動到B的過程中，哪些力對物體做功？總功是多少？提示：物體從A運(yùn)動到B的過程中物體受重力和支持力，但只有重力做功，其值為WGmg(h1h2)，則總功為mg(h1h2)?；顒?：討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1)機(jī)械能守恒定律的推導(dǎo)圖中物體從A運(yùn)動到B的過程中：合外力的總功就是重力做的功，即W總mg(h1h2)動能的變化量：EEk2Ek1mvmv根據(jù)動能定理W總E，再整理得到：mvmgh2mvmgh1即末狀態(tài)的機(jī)械能和初狀態(tài)的機(jī)械能相等：E2E1。(2)機(jī)械能守恒的幾種常見情況例1如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是()A甲圖中，火箭升空的過程中，若勻速升空機(jī)械能守恒，若加速升空機(jī)械能不守恒B乙圖中物體勻速運(yùn)動，機(jī)械能守恒C丙圖中小球做加速運(yùn)動，機(jī)械能守恒D丁圖中，輕彈簧將A、B兩小車彈開，兩小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，兩小車和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒(1)機(jī)械能守恒的條件是什么？提示：系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功。(2)多個物體組成的系統(tǒng)什么情況下機(jī)械能守恒？提示：多個物體組成的系統(tǒng)如果只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能沒有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪?，只是一部分機(jī)械能增大另一部分減小，總機(jī)械能仍是守恒的。規(guī)范解答題圖甲中無論火箭勻速上升還是加速上升，都有推力做正功，機(jī)械能增加，A錯誤；題圖乙中物體沿斜面勻速上升，動能不變，重力勢能增加，機(jī)械能增加，B錯誤；題圖丙中，小球沿粗糙斜面加速滾下過程中，除了重力做功，還有摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能減少，C錯誤；題圖丁中，彈簧的彈力做功，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為兩小車的動能，兩小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能增加，而兩小車與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，D正確。完美答案D判斷機(jī)械能是否守恒應(yīng)注意的問題(1)合力為零是物體處于平衡狀態(tài)的條件。物體受到的合力為零時(shí)，它一定處于勻速直線運(yùn)動狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，但它的機(jī)械能不一定守恒。(2)合力做功為零是物體動能不變的條件。合力對物體不做功，它的動能一定不變，但它的機(jī)械能不一定守恒。(3)只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功是機(jī)械能守恒的條件。只有重力對物體做功時(shí)，物體的機(jī)械能一定守恒；只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒，但系統(tǒng)內(nèi)單個物體的機(jī)械能不一定守恒。(多選)下列關(guān)于各圖中機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是()A甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機(jī)械能守恒B乙圖中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑時(shí)，物體B機(jī)械能守恒C丙圖中，不計(jì)任何阻力時(shí)A加速下落、B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D丁圖中，越來越大，小球慢慢升高，小球的機(jī)械能仍然守恒答案BC解析甲圖中只有重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A將彈簧壓縮的過程中，彈簧的彈性勢能增大，物體A機(jī)械能減小，所以物體A機(jī)械能不守恒，A錯誤；乙圖中物體B除受重力外，還受彈力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三個力做功代數(shù)和為零，機(jī)械能守恒，B正確；丙圖中繩子張力對A做負(fù)功，對B做正功，兩功代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C正確；丁圖中小球的動能增加，重力勢能也增加，故機(jī)械能增加，機(jī)械能不守恒(拉力對小球做正功)，D錯誤。課堂任務(wù)機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”?；顒?：讓小球從斜軌道由靜止自由滾下，當(dāng)h2R時(shí)小球能過圓軌道的最高點(diǎn)嗎？提示：假設(shè)能過最高點(diǎn)，以支撐面為零勢能面，小球的初始位置動能為零，重力勢能Ep12mgR，而在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)Ep22mgR，由圓周運(yùn)動的知識可知小球能過圓軌道的最高點(diǎn)的速度大于零，即動能大于零，那么小球運(yùn)動到最高點(diǎn)機(jī)械能增加了，違背了機(jī)械能守恒定律(整個過程只有重力做功)。所以小球不能過圓軌道的最高點(diǎn)?；顒?：小球自由滾下的初始高度只要大于2R，小球就能過圓軌道的最高點(diǎn)嗎？提示：小球過最高點(diǎn)時(shí)有最小速度，即過最高點(diǎn)時(shí)有最小動能，而整個過程機(jī)械能守恒，那么小球的初始位置對應(yīng)著一個最小的機(jī)械能，也就是小球的初始位置必須不低于某一高度，小球才能過圓軌道的最高點(diǎn)，而這一高度h0>2R，只有hh0時(shí)，小球才能過圓軌道最高點(diǎn)?；顒?：小球從斜軌道上h至少為多大的位置自由滾下才能通過圓軌道的最高點(diǎn)？提示：(1)小球過最高點(diǎn)需滿足向心力不小于重力，即mmg，由此得出最高點(diǎn)的動能至少是mgR。(2)以支撐面為零勢能面，小球的初始機(jī)械能E1Ep1mgh，小球在圓軌道的最高點(diǎn)的重力勢能Ep22mgR，動能至少是mgR，所以機(jī)械能至少為E22mgRmgR。(3)整個過程機(jī)械能守恒，E1E2，即mgh2mgRmgR，解得hR?；顒?：活動3的解法還可以再簡單些嗎？提示：可以。我們知道小球過圓軌道的最高點(diǎn)一定有動能，而整個過程機(jī)械能守恒，小球增加的動能一定是由重力勢能轉(zhuǎn)化而來的。用mgh來表示減少的重力勢能，根據(jù)活動3可知小球過最高點(diǎn)的動能最小值是mgR，則mgRmgh，可得hR，即小球初始位置高度至少為h2RRR?；顒?：討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1)機(jī)械能守恒定律常用的三種表達(dá)式第一種方法，必須選擇零勢能面才可以解題。第二種方法的好處是不用選擇零勢能面，勢能的變化與零勢能面的選取無關(guān)。第三種方法是對多個物體總機(jī)械能守恒而言的，一般涉及兩個物體。(2)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的步驟對研究對象(某個物體或多個物體)進(jìn)行正確的受力分析，判斷各個力是否做功，并分析是否滿足機(jī)械能守恒的條件。若機(jī)械能守恒，選擇合適的表達(dá)式列出方程，或再輔以其他方程進(jìn)行求解。例2如圖，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)。一小球在外力作用下從A點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去外力。已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點(diǎn)C，重力加速度為g。求：(1)小球在C點(diǎn)的速度的大??；(2)小球在AB段運(yùn)動的加速度的大小；(3)小球從D點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)所用的時(shí)間。(1)小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點(diǎn)C意味著什么？提示：小球在最高點(diǎn)C的向心力等于重力，可以求解其速度和動能。(2)整個運(yùn)動過程中哪些過程機(jī)械能是守恒的？提示：小球在AB段運(yùn)動的過程是機(jī)械能增加的過程。從B點(diǎn)開始一直運(yùn)動到A點(diǎn)的過程只有重力做功，機(jī)械能守恒。(3)小球從D點(diǎn)到A點(diǎn)做什么運(yùn)動？提示：小球在D點(diǎn)速度沿切線方向，即豎直向下，所以小球從D點(diǎn)到A點(diǎn)做豎直向下的加速度為重力加速度的勻加速直線運(yùn)動。規(guī)范解答選AB所在平面為參考平面。(1)小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點(diǎn)C，則有：mgm，解得vC。(2)設(shè)小球在AB段運(yùn)動的加速度為a，則由運(yùn)動學(xué)公式得v2aR從B到C，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，則有：mvmg·2Rmv聯(lián)立可得vB，ag。(3)設(shè)小球過D點(diǎn)的速度為vD，從C到D，小球的機(jī)械能守恒：mv2mgRmvmgR，解得vD設(shè)小球回到A點(diǎn)時(shí)的速度為vA，從B到A，由機(jī)械能守恒定律得mvmv所以vAvB從D到A的時(shí)間為t() 。完美答案(1)(2)g(3)() 1利用機(jī)械能守恒定律可從下面三個角度列方程(1)守恒觀點(diǎn)：E1E2(需要選零勢能參考平面)。(2)轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)：EkEp(不用選零勢能參考平面)。(3)轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)：EAEB(不用選零勢能參考平面)。2機(jī)械能守恒定律往往和圓周運(yùn)動、平拋運(yùn)動相結(jié)合(1)與圓周運(yùn)動結(jié)合：臨界情況；F向m。(2)與平拋運(yùn)動結(jié)合：以平拋運(yùn)動初速度為橋梁，將平拋運(yùn)動公式與機(jī)械能守恒定律表達(dá)式聯(lián)系起來。如圖所示，豎直平面內(nèi)的圓弧形光滑管道內(nèi)徑略大于小球直徑，管道中心到圓心距離為R，A點(diǎn)與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)在O的正下方，小球自A點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)時(shí)進(jìn)入管道，當(dāng)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，求：(1)釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度；(2)落點(diǎn)C與A的水平距離。答案(1)3R(2)(21)R解析(1)設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為v1，因?yàn)榈竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，所以有9mgmgm以B點(diǎn)所在平面為零勢能面，從釋放點(diǎn)到B點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得mg(hR)mv由此可解得h3R。(2)設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v2，落點(diǎn)C與A的水平距離為x從B點(diǎn)到C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得mvmvmg·2R由平拋運(yùn)動規(guī)律得Rgt2，Rxv2t由此可解得x(21)R。例3如圖所示，一根很長的、不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面；b球質(zhì)量為3m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊。不計(jì)空氣阻力，從靜止開始釋放b后，a可能到達(dá)的最大高度為()Ah B1.5h C2h D2.5h(1)在b球下降、a球上升的過程中，每一個球的機(jī)械能都守恒嗎？a、b球組成的系統(tǒng)呢？提示：由于a、b間繩的拉力對a做正功，對b做負(fù)功，所以a球的機(jī)械能增加，b球的機(jī)械能減少，a、b球的機(jī)械能都不守恒。但拉力對a做的功與對b做的功的代數(shù)和為0，故a、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)從開始到b球落地前瞬間怎么利用機(jī)械能守恒列式？提示：這個過程a、b球獲得的動能，是由這個系統(tǒng)的勢能轉(zhuǎn)化而來的，可以利用EkEp列式。規(guī)范解答在b球落地前，a、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且a、b兩球速度大小相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知EkEp，即(m3m)v23mghmgh，解得v，b球落地時(shí)，a球高度為h，之后a球以v為初速度做豎直上拋運(yùn)動，在這個過程中機(jī)械能守恒，mv2mgh，h，所以a球可能到達(dá)的最大高度為1.5h，B正確。完美答案B多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的分析技巧(1)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。(2)當(dāng)研究對象為兩個物體時(shí)：若兩個物體的勢能都在減小(或增加)，或動能都在增加(或減小)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式EkEp來求解；若A物體的機(jī)械能增加(或減小)，B物體的機(jī)械能減小(或增加)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式EAEB來求解。(多選)如圖所示，在傾角30°的光滑固定斜面上，放有兩個質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球之間用一根長L0.2 m的輕桿相連，小球B距水平地面的高度h0.1 m。兩球從靜止開始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10 m/s2。則下列說法中正確的是()A下滑的整個過程中A球機(jī)械能守恒B下滑的整個過程中兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C兩球在光滑水平面上運(yùn)動時(shí)的速度大小為2 m/sD下滑的整個過程中B球機(jī)械能的增加量為 J答案BD解析當(dāng)B球到達(dá)水平地面上時(shí)，桿對A球做負(fù)功，A球機(jī)械能不守恒，A錯誤；下滑的整個過程中，對A、B組成的系統(tǒng)只有重力做功(桿的彈力對A、B做功的代數(shù)和為0)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B正確；由機(jī)械能守恒定律知，mBghmAg(Lsin30°h)(mAmB)v2，解得v m/s，C錯誤；EBmBv2mBgh J，D正確。課堂任務(wù)利用機(jī)械能守恒定律和動能定理解題的比較仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”?；顒?：對于小球從高度h處斜拋到落地的過程，為了找到幾個物理量間的關(guān)系，圖中兩人的爭論誰正確？提示：圖中兩人的說法均正確，只是思考的角度不同而已。(1)從拋出到落地，重力做功mgh，動能增加mv2mv，由動能定理可知mghmv2mv。(2)從拋出到落地，重力勢能減少mgh，動能增加mv2mv，由機(jī)械能守恒定律可知mghmv2mv?；顒?：兩種解法在解題時(shí)要注意什么問題？提示：對于單個物體，如果機(jī)械能守恒，兩種方法都可以用；如果機(jī)械能不守恒，就只能用動能定理或別的方法去解。換句話說就是凡是用機(jī)械能守恒定律能解決的問題動能定理都可以解決，用動能定理能解決的問題機(jī)械能守恒定律不一定能解決。如果多個物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有時(shí)用動能定理就顯得費(fèi)力一些，比如例3。活動3：討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1)機(jī)械能守恒定律和動能定理的比較(2)機(jī)械能守恒定律和動能定理的選擇：對單個物體只受重力作用時(shí)，動能定理和機(jī)械能守恒定律表達(dá)式并沒有區(qū)別；對兩個物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律較方便；對有摩擦力或其他力做功的情況只能用動能定理來解題。例4為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L2.0 m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與半徑為R0.2 m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的。其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示。一個質(zhì)量m1 kg的小物塊以初速度v05.0 m/s從A點(diǎn)沿傾斜軌道滑下，小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度vC4.0 m/s。取g10 m/s2，sin37°0.6，cos37°0.8。(1)求小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對圓軌道壓力的大?。?2)求小物塊從A到B運(yùn)動過程中摩擦力所做的功；(3)為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓軌道的半徑應(yīng)滿足什么條件？(1)此處跟課堂任務(wù)2所討論的情景有什么不同？提示：課堂任務(wù)2中與AB部分對應(yīng)的傾斜軌道是光滑的，這里是不光滑的。(2)整個運(yùn)動過程哪些部分有摩擦，哪些部分沒有，其解法有什么不同？提示：整個軌道除AB段以外都是光滑的。所以只要包含有AB段的就用動能定理求解，其余光滑部分可以用機(jī)械能守恒定律求解。規(guī)范解答(1)設(shè)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)受到圓軌道的支持力大小為FN，根據(jù)牛頓第二定律有，F(xiàn)Nmgm，解得FN90 N。根據(jù)牛頓第三定律，小物塊對圓軌道壓力的大小為90 N。(2)由于水平軌道BC光滑，無摩擦力做功，所以可將研究小物塊從A到B的運(yùn)動過程轉(zhuǎn)化為研究從A到C的過程。物塊從A到C的過程中，根據(jù)動能定理有：mgLsin37°Wfmvmv解得Wf16.5 J。(3)設(shè)小物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v，根據(jù)牛頓第二定律有：FNmgm，且FN0以C點(diǎn)所在水平面為零勢能面，小物塊從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mvmv2mg·2R，聯(lián)立得R，解得R0.32 m。完美答案(1)90 N(2)16.5 J(3)R0.32 m(1)小物塊從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，既可以用機(jī)械能守恒定律解題，也可以用動能定理解題。(2)對于有除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力之外的力(如摩擦力等)做功的情況要用動能定理解題。如圖所示，輕繩連接A、B兩物體，A物體懸在空中距地面H高處，B物體放在水平面上。若A物體質(zhì)量是B物體質(zhì)量的2倍，不計(jì)一切摩擦。由靜止釋放A物體，以地面為零勢能參考面。當(dāng)A的動能與其重力勢能相等時(shí)，A距地面的高度是()A.H B.H C.H D.H答案B解析設(shè)A的動能與重力勢能相等時(shí)，A距地面高度為h，對A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：mAg(Hh)mAv2mBv2又由題意得：mAghmAv2且mA2mB由式聯(lián)立解得：hH，故B正確。課堂任務(wù)與彈簧有關(guān)的機(jī)械能守恒問題仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”?；顒?：放手前小球受到哪些力？處于什么狀態(tài)？提示：放手前小球受重力、彈簧彈力和手的支持力，處于平衡狀態(tài)?；顒?：放手后小球運(yùn)動狀態(tài)會有什么變化？提示：放手后，小球不再受支持力，平衡狀態(tài)被破壞，開始向下做加速運(yùn)動。此后的運(yùn)動一直受重力和彈力，重力不變，彈力會隨彈簧長度的變化而變化，小球做豎直方向的往復(fù)變速直線運(yùn)動?；顒?：小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒嗎？小球和彈簧組成的系統(tǒng)呢？提示：小球在運(yùn)動過程中除了重力做功之外，彈簧的彈力也對小球做功，所以小球的機(jī)械能不守恒。但小球和彈簧組成的系統(tǒng)在整個運(yùn)動過程中只有重力和彈簧彈力做功，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能是守恒的，小球的重力勢能、小球的動能和彈簧的彈性勢能三者之和始終是不變的。活動4：小球向下運(yùn)動過程中，小球動能與彈簧彈性勢能之和如何變化？提示：小球的動能與彈簧的彈性勢能之和本沒什么特色，但是其再加上小球的重力勢能就是系統(tǒng)的機(jī)械能。小球的重力勢能在小球向下運(yùn)動過程中是一直減小的，故小球的動能與彈簧彈性勢能之和會一直增大。活動5：討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1)輕質(zhì)彈簧：輕質(zhì)彈簧是不考慮質(zhì)量的，所以無動能和重力勢能之說，只存在彈性勢能。(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒彈簧的彈力做功涉及能量的轉(zhuǎn)化，一是彈性勢能發(fā)生變化，二是與它構(gòu)成系統(tǒng)的其他物體的能量也會發(fā)生變化。如果這個系統(tǒng)內(nèi)只有彈力做功，機(jī)械能是保持不變的，也就是課本中的只有重力或彈力做功的系統(tǒng)機(jī)械能守恒中的“彈力做功”。由此可見，彈性勢能也是彈簧和系統(tǒng)所共同具有的。一個系統(tǒng)內(nèi)如果既有重力做功也有彈力做功，機(jī)械能是守恒的，此時(shí)是三種能量在相互轉(zhuǎn)化，即重力勢能、動能、彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，是機(jī)械能內(nèi)部的轉(zhuǎn)化。(3)彈性勢能求解：對于同一個彈簧，伸長和壓縮相同的長度時(shí)彈性勢能是相同的。彈性勢能一般不要求用公式直接求，但如有必要仍然可以用公式Epkl2進(jìn)行討論或計(jì)算，并且熟記公式可迅速判斷彈性勢能的大小及彈性勢能的變化。例5(多選)重10 N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點(diǎn)由靜止下滑，到b點(diǎn)接觸到一個輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點(diǎn)開始彈回，返回b點(diǎn)離開彈簧，最后又回到a點(diǎn)，已知ab1 m，bc0.2 m，那么在整個過程中，下列選項(xiàng)正確的是()A滑塊動能的最大值是6 JB彈簧彈性勢能的最大值是6 JC從c到b彈簧的彈力對滑塊做的功是6 JD整個過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒(1)滑塊何時(shí)速度最大？提示：滑塊在重力作用下加速，接觸彈簧后受到彈力，彈力比較小時(shí)滑塊還做加速運(yùn)動，當(dāng)彈簧彈力等于重力沿斜面的分力時(shí)速度達(dá)到最大。(2)在最低點(diǎn)c和最高點(diǎn)a以及b點(diǎn)滑塊和彈簧的能量各有什么特點(diǎn)？提示：在最低點(diǎn)c滑塊機(jī)械能最小，彈簧的機(jī)械能(彈性勢能)最大，在最高點(diǎn)a和b點(diǎn)滑塊的機(jī)械能最大，彈簧無彈性勢能，此時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能等于滑塊的重力勢能加動能。規(guī)范解答滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)，在整個運(yùn)動過程中，只發(fā)生動能、重力勢能和彈性勢能之間的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，D正確；以c點(diǎn)做重力勢能零點(diǎn)，a、c點(diǎn)動能為零，整個系統(tǒng)的機(jī)械能等于a點(diǎn)的重力勢能或c點(diǎn)的彈性勢能?；瑝K從a到c，重力勢能減小了mg··sin30°6 J，全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，B正確；從c到b彈簧恢復(fù)原長，通過彈簧的彈力對滑塊做功，將6 J的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為滑塊的機(jī)械能，C正確；當(dāng)重力沿斜面的分力等于彈簧彈力時(shí)動能最大，此時(shí)還有重力勢能和彈性勢能，總機(jī)械能只有6 J，所以動能不能達(dá)到6 J，A錯誤。完美答案BCD(1)利用機(jī)械能守恒定律分析問題時(shí)，一定要注意守恒條件的應(yīng)用，靈活選取研究對象。本題中單獨(dú)看滑塊和彈簧，機(jī)械能并不守恒，但它們所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)在物體與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，往往會討論物體和彈簧的機(jī)械能是如何變化，掌握一個總體原則：整個系統(tǒng)的動能、重力勢能、彈性勢能之和是一個常量，彈簧形變量增大彈性勢能增大，重物的高度增大重力勢能增大，反之減小。如圖所示，輕彈簧一端與墻相連處于自然狀態(tài)，質(zhì)量為4 kg的木塊沿光滑的水平面以5 m/s的速度運(yùn)動并開始擠壓彈簧，求：(1)彈簧的最大彈性勢能；(2)木塊被彈回速度增大到3 m/s時(shí)彈簧的彈性勢能。答案(1)50 J(2)32 J解析(1)木塊壓縮彈簧的過程中，木塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，彈性勢能最大時(shí)，對應(yīng)木塊的動能為零，故有：Epmmv×4×52 J50 J。(2)由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：mvEp1mv，即×4×52 JEp1×4×32 J，解得Ep132 J。A組：合格性水平訓(xùn)練1(機(jī)械能的理解)一個物體在運(yùn)動的過程中所受的合力為零，則這個過程中()A機(jī)械能一定不變B物體的動能保持不變，而勢能一定變化C若物體的勢能變化，機(jī)械能一定變化D若物體的勢能變化，機(jī)械能不一定變化答案C解析由于物體在運(yùn)動的過程中所受的合力為零，即物體做勻速直線運(yùn)動，物體的動能不變，勢能有可能變化，當(dāng)物體的勢能變化時(shí)機(jī)械能一定變化，C正確，A、B、D錯誤。2(機(jī)械能守恒的判斷)下列運(yùn)動的物體，機(jī)械能守恒的是()A物體沿斜面勻速下滑B物體從高處以0.9g的加速度豎直下落C物體沿光滑曲面滑下D拉著一個物體沿光滑的斜面勻速上升答案C解析物體沿斜面勻速下滑時(shí)，動能不變，重力勢能減小，所以機(jī)械能減小，機(jī)械能不守恒；物體以0.9g的加速度豎直下落時(shí)，除重力外，其他力的合力向上，大小為0.1mg，這個合力在物體下落時(shí)對物體做負(fù)功，物體機(jī)械能減少，機(jī)械能不守恒；物體沿光滑曲面滑下時(shí)，只有重力做功，機(jī)械能守恒；拉著物體沿光滑斜面勻速上升時(shí)，拉力對物體做正功，物體機(jī)械能增加，機(jī)械能不守恒。綜上，機(jī)械能守恒的是C項(xiàng)。3(機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用)以相同大小的初速度v0將物體從同一水平面分別豎直上拋、斜上拋、沿光滑斜面(足夠長)上滑，如圖所示，三種情況達(dá)到的最大高度分別為h1、h2和h3，不計(jì)空氣阻力(斜上拋物體在最高點(diǎn)的速度方向水平)，則()Ah1h2>h3 Bh1h2<h3Ch1h3<h2 Dh1h3>h2答案D解析豎直上拋物體和沿斜面運(yùn)動的物體，上升到最高點(diǎn)時(shí)，速度均為0，由機(jī)械能守恒得mghmv，所以h1h3h，斜上拋物體在最高點(diǎn)速度不為零，設(shè)為v1，則mgh2mvmv，所以h2h1h3，故D正確。4(含彈簧類機(jī)械能守恒問題)如圖所示，在高1.5 m的光滑平臺上有一個質(zhì)量為2 kg的小球被一細(xì)線拴在墻上，小球與墻之間有一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧。當(dāng)燒斷細(xì)線時(shí)，小球被彈出，小球落地時(shí)的速度方向與水平方向成60°角，則彈簧被壓縮時(shí)具有的彈性勢能為(g取10 m/s2)()A10 J B15 J C20 J D25 J答案A解析由2ghv0得：vy，即vy m/s，落地時(shí)，tan 60°，可得：v0 m/s，彈簧與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，在小球被彈出的過程中，由機(jī)械能守恒定律得Epmv，可求得：Ep10 J，故A正確。5(含彈簧類機(jī)械能守恒問題)如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，并且處于原長狀態(tài)，現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)彈簧的長度變?yōu)?L(未超過彈性限度)，則在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中()A圓環(huán)的機(jī)械能守恒B彈簧彈性勢能變化了mgLC圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)，所受合力為零D圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變答案B解析圓環(huán)在下滑過程中機(jī)械能減少，彈簧彈性勢能增加，而圓環(huán)與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A、D錯誤；圓環(huán)下滑到最低點(diǎn)時(shí)速度為零，但是加速度不為零，即合力不為零，C錯誤；圓環(huán)下降高度hL，所以圓環(huán)重力勢能減少了mgL，由機(jī)械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能增加了mgL，B正確。6(多物體機(jī)械能守恒)(多選)如圖所示，在兩個質(zhì)量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根長為L的輕桿連接，兩小球可繞穿過桿中心O的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)讓輕桿處于水平位置，然后無初速度釋放，重球b下落，輕球a上升，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，在桿轉(zhuǎn)至豎直的過程中()Ab球的重力勢能減少，動能增加Ba球的重力勢能增加，動能增加Ca球和b球的總機(jī)械能守恒Da球和b球的總機(jī)械能不守恒答案ABC解析a、b兩球組成的系統(tǒng)中，只存在動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，C正確、D錯誤；其中a球的動能和重力勢能均增加，機(jī)械能增加，輕桿對a球做正功；b球的重力勢能減少，動能增加，機(jī)械能減少，輕桿對b球做負(fù)功，A、B正確。7(多物體機(jī)械能守恒)(多選)如圖所示，a、b兩物塊質(zhì)量分別為m、3m，用不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側(cè)。開始時(shí)，a、b兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后由靜止釋放，直至a、b物塊間高度差為h，不計(jì)滑輪質(zhì)量和一切摩擦，重力加速度為g。在此過程中，下列說法正確的是()A物塊a的機(jī)械能守恒B物塊b的機(jī)械能減少了mghC物塊b機(jī)械能的減少量等于物塊a機(jī)械能的增加量D物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案CD解析釋放b后物塊a加速上升，動能和重力勢能均增加，故機(jī)械能增加，A錯誤。對物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)，只有重力和繩拉力做功，由于繩的拉力對a做的功與b克服繩的拉力做的功相等，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，D正確。物塊a、b構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有3mg·mg·mv2·3mv2，解得v；物塊b動能增加量為(3m)v2mgh，重力勢能減少mgh，故機(jī)械能減少mghmghmgh，B錯誤。a、b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故物塊b機(jī)械能的減少量等于物塊a機(jī)械能的增加量，C正確。8(綜合)某游樂場過山車簡化為如圖所示模型，光滑的過山車軌道位于豎直平面內(nèi)，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，可視為質(zhì)點(diǎn)的過山車從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動。(1)若要求過山車能通過圓形軌道最高點(diǎn)，則過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度至少要多少？(2)考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度不得超過多少？答案(1)2.5R(2)3R解析(1)設(shè)過山車總質(zhì)量為M，從高度h1處開始下滑，恰能以速度v1通過圓形軌道最高點(diǎn)。在圓形軌道最高點(diǎn)有：MgM運(yùn)動過程機(jī)械能守恒：Mgh12MgRMv由式得：h12.5R，即高度至少為2.5R。(2)設(shè)從高度h2處開始下滑，游客質(zhì)量為m，過圓周最低點(diǎn)時(shí)速度為v2，游客受到的支持力是N7mg。最低點(diǎn)：Nmgm運(yùn)動過程機(jī)械能守恒：mgh2mv由式得：h23R，即高度不得超過3R。B組：等級性水平訓(xùn)練9(綜合)(多選)如圖所示，A、B、C、D四圖中的小球以及小球所在的左側(cè)斜面完全相同，現(xiàn)從同一高度h處由靜止釋放小球，使之進(jìn)入右側(cè)不同的軌道：除去底部一小圓弧，A圖中的軌道是一段斜面，高度大于h；B圖中的軌道與A圖中軌道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C圖中的軌道是一個內(nèi)徑略大于小球直徑的管道，其上部為直管，下部為圓弧形且與斜面相連，管的高度大于h；D圖中的軌道是個半圓形軌道，其直徑等于h。如果不計(jì)任何摩擦阻力和拐彎處的能量損失，小球進(jìn)入右側(cè)軌道后能到達(dá)h高度的是()答案AC解析小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，A、C圖中小球不能脫離軌道，在最高點(diǎn)速度為零，因而可以達(dá)到h高度。但B、D圖中小球都會脫離軌道而做斜拋運(yùn)動，在最高點(diǎn)具有水平速度，所以在最高點(diǎn)的重力勢能要小于mgh(以最低點(diǎn)為零勢能點(diǎn))，即最高點(diǎn)的高度要小于h。故A、C正確。10(綜合)如圖所示，從光滑的圓弧槽的最高點(diǎn)由靜止滑下的小物塊，滑出槽口時(shí)速度沿水平方向，槽口與一個半球頂點(diǎn)相切，半球底面在水平面內(nèi)，若要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圓弧軌道的半徑為R1，半球的半徑為R2，則R1與R2的關(guān)系為()AR1R2 BR1R2CR1 DR1答案D解析小物塊沿光滑的圓弧槽下滑的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有mgR1mv2，要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平拋運(yùn)動，則mgm，聯(lián)立解得R1，故D正確。11(綜合)如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動。已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為N1，在最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為N2。重力加速度大小為g，則N1N2的值為()A3mg B4mg C5mg D6mg答案D解析設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為v1，在最高點(diǎn)速度為v2，根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律，在最低點(diǎn)有N1mgm，在最高點(diǎn)有N2mgm，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg·2Rmvmv，聯(lián)立以上三式可以得到：N1N26mg，故D正確。12(綜合)如圖所示，“蝸?！睜钴壍繭AB豎直固定在水平地面上，與地面在B處平滑連接。其中“蝸牛”狀軌道由內(nèi)壁光滑的半圓軌道OA和AB平滑連接而成，半圓軌道OA的半徑R10.6 m，半圓軌道AB的半徑 R21.2 m，水平地面BC長為xBC11 m，C處是一個開口較大的深坑，一質(zhì)量m0.1 kg的小球從O點(diǎn)沿切線方向以某一初速度進(jìn)入軌道OA后，沿OAB軌道運(yùn)動至水平地面，已知小球與水平地面間的動摩擦因數(shù)0.4，g取10 m/s2。(1)為使小球不脫離OAB軌道，小球在O點(diǎn)的初速度至少為多大？(2)若小球在O點(diǎn)的初速度v6 m/s，求小球在B點(diǎn)對半圓軌道的壓力大??；(3)若使小球能落入深坑C，則小球在O點(diǎn)的初速度至少為多大？答案(1)6 m/s(2)6 N(3)8 m/s解析(1)小球通過最高點(diǎn)A的臨界條件是mgm解得小球過A點(diǎn)的最小速度vA2 m/s設(shè)O點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，小球由O到A過程由機(jī)械能守恒定律得mg·2R1mvmv解得v06 m/s。(2)設(shè)B點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，小球由O到B過程機(jī)械能守恒，則mgR2mv2mv解得vB2 m/s在B點(diǎn)由牛頓第二定律得FNmgm解得FN6 N由牛頓第三定律得軌道受到的壓力FNFN6 N。(3)設(shè)小球恰能落入深坑C，即vC0時(shí)初速度最小，小球由O到C過程由動能定理得mgR2mgxBC0mv2解得v8 m/s>v06 m/s，則假設(shè)成立，小球在O點(diǎn)的速度至少為8 m/s。- 22 -