第3講機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 一、單項(xiàng)選擇題1.(2018南通八校聯(lián)考)太陽(yáng)神車由四腳的支架吊著一個(gè)巨大的擺錘擺動(dòng),游客被固定在擺下方的大圓盤A上,如圖所示。擺錘的擺動(dòng)幅度每邊可達(dá)120°。6臺(tái)大功率的異步驅(qū)動(dòng)電機(jī)同時(shí)啟動(dòng),為游客創(chuàng)造4.3g的加速度,最高可飛躍至15層樓高的高空。如果不考慮圓盤A的自轉(zhuǎn),根據(jù)以上信息,以下說(shuō)法中正確的是()A.當(dāng)擺錘擺至最高點(diǎn)的瞬間,游客受力平衡B.當(dāng)擺錘擺至最高點(diǎn)時(shí),游客可體驗(yàn)最大的加速度C.當(dāng)擺錘在下擺的過(guò)程中,擺錘的機(jī)械能一定不守恒D.當(dāng)擺錘在上擺過(guò)程中游客體驗(yàn)超重,下擺過(guò)程游客體驗(yàn)失重答案C當(dāng)擺錘擺至最高點(diǎn)的瞬間,擺錘與游客將開始下降,具有向下的加速度,游客受力不平衡,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)擺錘擺至最低點(diǎn)時(shí),擺錘的速度最大,向心加速度最大,所以游客可體驗(yàn)最大的加速度,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)擺錘在下擺的過(guò)程中,由于電動(dòng)機(jī)做正功,擺錘的機(jī)械能一定不守恒,故C項(xiàng)正確;當(dāng)擺錘在上擺過(guò)程中,擺錘向上做減速運(yùn)動(dòng),加速度方向向下,游客體驗(yàn)失重,故D項(xiàng)錯(cuò)誤。2.(2018啟東中學(xué)模擬)一物體從H高處自由下落,以地面為零勢(shì)能面,當(dāng)物體的動(dòng)能等于其重力勢(shì)能2倍時(shí),物體下落的高度為()A.12HB.13HC.23HD.34H答案C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體的機(jī)械能守恒,取地面為零勢(shì)能面,根據(jù)機(jī)械能守恒可得mgH=mgh+12mv2,當(dāng)其動(dòng)能等于重力勢(shì)能的2倍時(shí),有2mgh=12mv2,所以mgH=3mgh,解得h=13H,此時(shí)物體下落的高度為23H,故選項(xiàng)C正確。3.(2018南京三模)拋出的鉛球在空中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,A、B為軌跡上等高的兩點(diǎn),鉛球可視為質(zhì)點(diǎn),空氣阻力不計(jì)。用v、E、Ek、P分別表示鉛球的速率、機(jī)械能、動(dòng)能和重力瞬時(shí)功率的大小,用t表示鉛球在空中從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間,則下列圖像中正確的是()答案D鉛球做斜上拋運(yùn)動(dòng),空氣阻力不計(jì),機(jī)械能守恒,重力勢(shì)能先增加后減小,故動(dòng)能先減小后增加,速度先減小后增加,故A、B項(xiàng)錯(cuò)誤;以初始位置為零勢(shì)能面,踢出時(shí)速度方向的速度為vy,足球的機(jī)械能守恒,則Ek=E-Ep=E-mgh=E-mgvyt+12mg2t2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;速度的水平分量不變,豎直分量先減小到零,后反向增加,故根據(jù)P=Gvy=mg2t,重力的功率先均勻減小后均勻增加,故D項(xiàng)正確;故選D。4.(2018常熟模擬)半徑為r和R(r<R)的光滑半圓形槽,其圓心均在同一水平面上,如圖所示,質(zhì)量相等的兩物體分別自半圓形槽左邊緣的最高點(diǎn)無(wú)初速度地釋放,在下滑過(guò)程中兩物體()A.機(jī)械能均逐漸減小B.經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)動(dòng)能相等C.機(jī)械能總是相等的D.兩物體在最低點(diǎn)時(shí)加速度大小不相等答案C下滑過(guò)程中兩物體機(jī)械能守恒,下滑到最低點(diǎn),兩物體的重力做功不同,經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度不同,動(dòng)能不相等,A、B項(xiàng)說(shuō)法都錯(cuò)誤,C項(xiàng)正確;根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律有mgr=12mv12,mgR=12mv22,a1=v12r=2g,a2=v22R=2g,故D錯(cuò)誤。5.(2018揚(yáng)州一模)如圖所示,勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn),另一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球。將小球拉至A點(diǎn)處時(shí),彈簧恰好無(wú)形變;現(xiàn)將小球從A點(diǎn)處由靜止釋放,小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)速度大小為v。A、B兩位置間的高度差為h,不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g。則()A.由A到B的過(guò)程中,小球克服彈簧彈力所做的功為mghB.由A到B的過(guò)程中,小球重力所做的功為mghC.由A到B的過(guò)程中,彈性勢(shì)能增加量為mgh-mv2D.小球到達(dá)B點(diǎn)處時(shí),其加速度的方向?yàn)樨Q直向上答案B小球由A到B的過(guò)程中,重力做功為mgh,其重力勢(shì)能減少mgh。小球在下降過(guò)程中,小球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能,所以彈簧彈性勢(shì)能的增加量小于mgh,則小球克服彈簧彈力所做的功小于mgh,故A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;根據(jù)能量守恒定律得mgh=E彈+12mv2,所以彈性勢(shì)能增加量E彈=mgh-12mv2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;小球到達(dá)B點(diǎn)處時(shí),彈簧的彈力大小與小球的重力大小關(guān)系無(wú)法判斷,故D項(xiàng)錯(cuò)誤。二、多項(xiàng)選擇題6.一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落,到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離。假定空氣阻力可忽略,運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是()A.運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小B.蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中,彈力做負(fù)功,彈性勢(shì)能增加C.蹦極過(guò)程中,運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D.蹦極過(guò)程中,重力勢(shì)能的改變與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)答案ABC到達(dá)最低點(diǎn)前高度始終在降低,所以重力勢(shì)能始終減小,故A項(xiàng)正確;蹦極繩張緊后的下落過(guò)程,伸長(zhǎng)量逐漸增大,彈力做負(fù)功,彈性勢(shì)能增大,故B項(xiàng)正確;在蹦極過(guò)程中,只有重力與系統(tǒng)內(nèi)彈力做功,故系統(tǒng)機(jī)械能守恒,C項(xiàng)正確;重力勢(shì)能的改變與重力做功有關(guān),重力做功只與始末位置高度差有關(guān),與零勢(shì)能面的選取無(wú)關(guān),故D項(xiàng)錯(cuò)誤。7.(2018鹽城模擬)光滑的斜面體A靜止在光滑水平面上,將物塊B輕輕放到A上,并由靜止釋放,在B沿斜面下滑的同時(shí),斜面A沿水平方向向右做勻加速運(yùn)動(dòng),則此過(guò)程中()A.B機(jī)械能守恒B.B對(duì)A的壓力逐漸變小C.B做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)D.B對(duì)A的壓力做功與A對(duì)B的支持力做功代數(shù)和為零答案CD以AB為系統(tǒng),只有重力做功,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,對(duì)B來(lái)說(shuō),除重力做功外,A對(duì)B的支持力做功,所以B的機(jī)械能不守恒,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;由題意知,斜面A沿水平方向向右做勻加速運(yùn)動(dòng),B對(duì)A的作用力一定,由牛頓第三定律知,A對(duì)B的作用力也一定,B還受到重力作用,重力也是恒力,所以B受到的合力是恒力,B做勻加速運(yùn)動(dòng),故B項(xiàng)錯(cuò)誤,C項(xiàng)正確;系統(tǒng)機(jī)械能守恒,所以B對(duì)A的壓力做功與A對(duì)B的支持力做功代數(shù)和為零,故D項(xiàng)正確。8.(2018蘇北四市聯(lián)考)如圖所示,半徑為R的豎直光滑圓軌道與光滑水平面相切,質(zhì)量均為m的小球A、B與輕桿連接,置于圓軌道上,A位于圓心O的正下方,B與O等高;它們由靜止釋放,最終在水平面上運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是()A.下滑過(guò)程中B的重力做功的功率先增大后減小B.當(dāng)B滑到圓軌道最低點(diǎn)時(shí),軌道對(duì)B的支持力大小為3mgC.下滑過(guò)程中B的機(jī)械能增加D.整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)A做的功為12mgR答案AD因?yàn)槌跷恢肂的速度為零,則重力的功率為0,最低點(diǎn)速度方向與重力的方向垂直,重力的功率為零,可知重力的功率先增大后減小,故A項(xiàng)正確;A、B及輕桿組成的系統(tǒng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,機(jī)械能守恒,設(shè)B到達(dá)圓軌道最低點(diǎn)時(shí)速度為v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得12(m+m)v2=mgR,解得v=gR,在最低點(diǎn),根據(jù)牛頓第二定律得N-mg=mv2R,解得N=2mg,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;下滑過(guò)程中,B的重力勢(shì)能減小EpG=mgR,動(dòng)能增加Ek=12mv2=12mgR,所以機(jī)械能減小12mgR,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;整個(gè)過(guò)程中,對(duì)A根據(jù)動(dòng)能定理得W=12mv2=12mgR,故D項(xiàng)正確。9.如圖所示,兩個(gè)34豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上,半徑R相同,左側(cè)軌道由金屬凹槽制成,右側(cè)軌道由金屬圓管制成,均可視為光滑,在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放,小球距離地面的高度分別為hA和hB,下列說(shuō)法正確的是()A.若使小球A沿軌道運(yùn)動(dòng)并且從最高點(diǎn)飛出,釋放的最小高度為5R2B.若使小球B沿軌道運(yùn)動(dòng)并且從最高點(diǎn)飛出,釋放的最小高度為5R2C.適當(dāng)調(diào)節(jié)hA,可使A球從軌道最高點(diǎn)飛出后,恰好落在軌道右端口處D.適當(dāng)調(diào)節(jié)hB,可使B球從軌道最高點(diǎn)飛出后,恰好落在軌道右端口處答案AD小球A從軌道最高點(diǎn)飛出的最小速度vA=gR,由機(jī)械能守恒,mghA=2mgR+12mvA2,則hA=5R2,A選項(xiàng)正確;小球B從軌道最高點(diǎn)飛出的最小速度vB=0,由機(jī)械能守恒,mghB=2mgR,釋放的最小高度hB=2R,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;要使小球A或B從軌道最高點(diǎn)飛出后,恰好落在軌道右端口處,需滿足R=v0t,R=12gt2,則v0=gR2,而A球的最小速度vA=gR>v0,故A球不可能落在軌道右端口處,B球可能,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確。三、非選擇題10.(2019宿遷期初測(cè)試)如圖所示,一個(gè)半徑為R的14圓弧軌道,O點(diǎn)為圓心,B為軌道上的一點(diǎn),OB與水平方向的夾角為37°。軌道的左側(cè)與一固定光滑平臺(tái)相連,在平臺(tái)上一輕質(zhì)彈簧左端與豎直擋板相連,彈簧原長(zhǎng)時(shí)右端在A點(diǎn)?，F(xiàn)用一質(zhì)量為m的小球(與彈簧不拴接)壓縮彈簧至P點(diǎn)后釋放,已知重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力。(1)若小球恰能擊中B點(diǎn),求剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能;(2)試通過(guò)計(jì)算判斷小球落到軌道時(shí)速度能否與圓弧垂直;(3)改變釋放點(diǎn)的位置,求小球落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值。答案(1)415mgR(2)不能(3)32mgR解析(1)小球離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)初速度為v0,落在B點(diǎn)時(shí),有R cos 37°=v0tR sin 37°=12gt2解得v0=815gR由機(jī)械能守恒,得彈簧的彈性勢(shì)能Ep=12mv02=415mgR(2)設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為,小球離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng),有R cos =v0t,R sin =12gt2位移方向與圓弧落點(diǎn)切線方向垂直tan =12gt2v0t=gt2v0設(shè)速度方向與水平方向的夾角為,則 tan =vyv0=gtv0=2 tan 所以小球落到軌道時(shí)速度不能與圓弧垂直(3)設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為,小球離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng),有R cos =v0t,R sin =12gt2由動(dòng)能定理,有mgR sin =Ek-12mv02解得Ek=mgR34sin+14sin當(dāng) sin =33時(shí),Ek取最小值Ekmin=32mgR。11.(2018銅山中學(xué)模擬)如圖所示,物體A的質(zhì)量為M,圓環(huán)B的質(zhì)量為m,通過(guò)繩子連接在一起,圓環(huán)套在光滑的豎直桿上,開始時(shí)連接圓環(huán)的繩子處于水平,長(zhǎng)度l=4 m,現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán),不計(jì)定滑輪和空氣的阻力,取g=10 m/s2,求:(1)為使圓環(huán)能下降h=3 m,兩個(gè)物體的質(zhì)量應(yīng)滿足什么關(guān)系;(2)若圓環(huán)下降h=3 m時(shí)的速度v=5 m/s,則兩個(gè)物體的質(zhì)量有何關(guān)系;(3)不管兩個(gè)物體的質(zhì)量為多大,圓環(huán)下降h=3 m時(shí)的速度不可能超過(guò)多大。答案(1)M3m(2)Mm=3529(3)60 m/s解析(1)若圓環(huán)恰好能下降h=3 m,由機(jī)械能守恒定律得mgh=MghA由幾何關(guān)系可得h2+l2=(l+hA)2,解得M=3m,因此為使圓環(huán)能下降h=3 m,兩個(gè)物體的質(zhì)量應(yīng)滿足M3m;(2)若圓環(huán)下降h=3 m時(shí)的速度v=5 m/s,由機(jī)械能守恒定律得mgh=MghA+12mv2+12MvA2,如圖所示,A、B的速度關(guān)系為vA=v cos =v·hh2+l2,解得Mm=3529(3)B的質(zhì)量比A的大得越多,圓環(huán)下降h=3 m時(shí)的速度越大,當(dāng)mM時(shí)可認(rèn)為B下落過(guò)程機(jī)械能守恒,有mgh=12mvm2,解得圓環(huán)的最大速度vm=60 m/s;即圓環(huán)下降h=3 m時(shí)的速度不可能超過(guò)60 m/s。8