1 華師大版九年級上冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 第 21 章 二次根式 1 二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 2 二次根式的性質(zhì) 1 a 0 2 0 a 0 3 2 a 0 2aa 3 二次根式的乘除 計算公式 0 abb 乘 法 運 算 除 法 運 算 4 概念 1 2最 簡 二 次 根 式 1 2 3 同 類 二 次 根 式 5 二次根式的加減 一化 二找 三合并 1 將每個二次根式化為最簡二次根式 2 找出其中的同類二次根式 3 合并同類二次根式 6 二次根式化簡求值步驟 1 一分 分解因數(shù) 因式 平方數(shù) 式 2 二移 根據(jù)算術(shù)平方根的概念 把根號內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號外面 3 三化 化 去被開方數(shù)中的分母 7 二次根式的混合運算 1 二次根式的混合運算順序與實數(shù)運算類似 先算乘方 再算乘除 最后算加減 有括號先算括號里面的 2 對于二次根式混合運算 原來學(xué)過的所有運算律 運算法則及乘法公式仍然適 用 3 在二次根式混合運算中 如能結(jié)合題目特點 靈活運用二次根式的性質(zhì) 選擇恰 當?shù)慕忸}途徑 往往能事半功倍 第 22 章 一元二次方程 1 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程 2 一元二次方程的一般形式 0 2 acbxa 它的特征 等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù) x 的二次多項式 等式右邊是零 叫做二次項 a 叫做二次項系數(shù) bx 叫做一次項 b 叫做一次項系數(shù) c 叫做常2x 數(shù)項 2 一元二次方程的解法 2 1 直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法 直接開平方法適用于解形如 的一元二次方程 根據(jù)平方根的定義可知 bax 2 是 b 的平方根 當 時 當 b0 時 一元二次方程有 2 個不相等的實數(shù)根 2 當 0 時 一元二次方程有 2 個相同的實數(shù)根 3 當 0 時 一元二次方程沒有實數(shù)根 4 韋達定理 如果方程 的兩個實數(shù)根是 那么 0 2 acbxa 21x abx 21 也就是說 對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程 兩根之和等于方程的一cx 21 次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù) 兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得 的商 5 一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系 其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示 其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特 殊情況 就是當 y 0 的時候就構(gòu)成了一元二次方程了 那如果在平面直角坐標系中表示 出來 一元二次方程就是二次函數(shù)中 圖象與 X 軸的交點 也就是該方程的解了 第 23 章 圖形的相似 1 比例線段的有關(guān)概念 b d 叫后項 d 叫 在 比 例 式 中 叫 外 項 叫 內(nèi) 項 叫 前 項 ac bd abcac 3 第四比例項 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中項 2 比例性質(zhì) 基 本 性 質(zhì) ad 更比性質(zhì) 交換比例的內(nèi)項或外項 交 換 內(nèi) 項交 換 外 項同 時 交 換 內(nèi) 外 項同 時 交 換 比 的 前 項 和 后 項bcdaabbcda 合 比 性 質(zhì) babcd 等 比 性 質(zhì) cdmnnacmbdnab 0 3 黃金分割 在線段 AB 上 點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC AC BC 如果 ACB 即 AC2 AB BC 那么稱線段 AB 被點 C 黃金分割 點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 AC 與 AB 的比叫做黃金比 其中 0 618 AB215 4 平行線分線段成比例定理 定理 三條平行線截兩條直線 所得的對應(yīng)線段成比例 如圖 l1 l 2 l 3 則 ABCDEFCAEFD 推 論 平 行 于 三 角 形 一 邊 的 直 線 截 其 他 兩 邊 或 兩 邊 的 延 長 線 所 得 的 對 應(yīng) 線 段 成 比 例 定理 如果一條直線截三角形的兩邊 或兩邊的延長線 所得 的對應(yīng)線段成比例 那么這條直線平行于三角形的第三邊 5 相似三角形的判定 兩角對應(yīng)相等 兩個三角形相似 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等 兩三角形相似 三邊對應(yīng)成比例 兩三角形相似 6 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應(yīng)角相等 對應(yīng)邊成比例 相似三角形對應(yīng)高的比 對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長的比等于相似比 面積的比等于相似比的平方 7 六種相似基本模型 4 CABDCABDEEDB AC DE BC B AED B ACDADB CDOBACOD CBA X 型 母子型 AC BD B C AD 是 Rt ABC 斜邊上的高 8 射影定理 由 得 即 由 得 即 由 得 即 9 中 位 線 1 三角形的中位線 連結(jié)三角形兩邊中點的線段 三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半 三角形三條邊上的中線交于一點 這個點就是三角形的重心 重心與一邊中點的線段的 長是對應(yīng)中線長的 31 2 梯形的中位線 連結(jié)梯形兩腰中點的線段 梯形的中位線平行于兩底邊 并且等于兩底邊和的一半 10 位 似 如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點 那么這 樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中心 這時的相似比又稱為位似比 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比 第 24 章 解直角三角形 考點一 直角三角形的性質(zhì) 1 直角三角形的兩個銳角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半 30192AD 3 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ADB C 5 9012ACBDABDD 為 的 中 點 4 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和等于斜邊 c 的平方 即 22cba 5 攝影定理 在直角三角形中 斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項 每條直角邊是 它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項 290CDABAB 6 常用關(guān)系式 由三角形面積公式可得 AB CD AC BC 考點二 直角三角形的判定 1 有一個角是直角的三角形是直角三角形 2 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a b c 有關(guān)系 那么這個三角形是直角三角形 22cba 考點三 銳角三角函數(shù)的概念 1 如圖 在 ABC 中 C 90 銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做 A 的正弦 記為 sinA 即 asinc 的 對 邊斜 邊 銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫做 A 的余弦 記為 cosA 即 Abcosc 的 鄰 邊斜 邊 銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做 A 的正切 記為 tanA 即 atan的 對 邊的 鄰 邊 銳角 A 的鄰邊與對邊的比叫做 A 的余切 記為 cotA 即 bcotA 的 鄰 邊的 對 邊 2 銳角三角函數(shù)的概念 銳角 A 的正弦 余弦 正切 余切都叫做 A 的銳角三角函數(shù) 3 各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系 1 互余關(guān)系 sinA cos 90 A cosA sin 90 A tanA cot 90 A cot A tan 90 A 2 平方關(guān)系 1cossin22 3 倒數(shù)關(guān)系 tanA cotA 1 4 弦切關(guān)系 tanA cot A sicsin 4 銳角三角函數(shù)的增減性 當角度在 0 90 之間變化時 6 1 正弦值隨著角度的增大 或減小 而增大 或減小 2 余弦值隨著角度的增大 或減小 而減小 或增大 3 正切值隨著角度的增大 或減小 而增大 或減小 4 余切值隨著角度的增大 或減小 而減小 或增大 5 一些特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 0 30 45 60 90 sin 0 2131 cos 1 0 tan 0 31 3不存在 cot 不存在 1 0 考點四 解直角三角形 1 解直角三角形的概念 在直角三角形中 除直角外 一共有五個元素 即三條邊和兩個銳角 由直角三角形中 除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形 2 解直角三角形的理論依據(jù) 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 所對的邊分別為 a b c 1 三邊之間的關(guān)系 勾股定理 22cba 2 銳角之間的關(guān)系 A B 90 3 邊角之間的關(guān)系 sin cos tan cot bAAabBB 第 25 章 隨機事件的概率 1 概率 1 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù) 叫做該事件的概率 P 所關(guān)注的事件 所關(guān)注的結(jié)果 所有等可能的結(jié)果 2 概率的預(yù)測 1 要清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果 2 要清楚所有機會的結(jié)果 1 2 兩個結(jié)果個數(shù)之比就是關(guān)注的結(jié)果發(fā)生的概率 7 方法 畫樹狀圖 列表法 事件的分類 1 確定事件 必然發(fā)生的事件 當 A 是必然發(fā)生的事件時 P A 1 不可能發(fā)生的事件 當 A 是不可能發(fā)生的事件時 P A 0 2 隨機事件 當 A 是可能發(fā)生的事件時 P A 概率的意義 一般地 在大量重復(fù)試驗中 如果事件 A 發(fā)生的頻率 mn會穩(wěn)定在某個常數(shù) p 附近 那么這個常數(shù) p 就叫做事件 A 的概率 概率的表示方法 一般地 事件用英文大寫字母 A B C 表示事件 A 的概率 p 可記為 P A P 概率的求解方法 利用頻率估算法 大量重復(fù)試驗中 事件 A 發(fā)生的頻率 mn會穩(wěn)定在某個常數(shù) p 附近 那么這個 常數(shù) p 就叫做事件 A 的概率 有些時候用計算出 發(fā)生的所有頻率的平均值作為其概率 狹義定義法 如果在一次試驗中 有 n 種可能的結(jié)果 并且它們發(fā)生的可能性都相等 考察事 件 A 包含其中的 m 中結(jié)果 那么事件 A 發(fā)生的概率為 P A n 列表法 當一次試驗要設(shè)計兩個因素 可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時 為不重不漏地列出所有可 能的結(jié)果 通常采用列表法 其中一個因素作為行標 另一個因素作為列標 特別注意放回去與不放回去的列表法的不同 如 一只箱子中有三張卡片 上面分別是數(shù)字 第一抽出一張后再放回去再抽第二次 兩次抽到數(shù)字為數(shù)字 和 或者 和 的概率是多 少 若不放回去 兩次抽到數(shù)字為數(shù)字 和 或者 和 的概率是多少 放回去 P 和 92 不放回去 P 和 62 3 3 2 3 1 3 222 1 3 1 2 1 1第 一 次 結(jié) 果 321第 二 次第 一 次 結(jié) 果 第 二 次 3 2 3 1 3 2 3 22 1 1 2 1第 一 次 結(jié) 果 321第 二 次第 一 次 結(jié) 果 第 二 次 樹狀圖法 當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時 用列表法就不方便了 為了不重不漏地列 出所有可能的結(jié)果 通常采用樹狀圖法求概率 8 注意 求概率的一個重要技巧 求某一事件的概率較難時 可先求其余事件的概率或考慮其反面的 概率再用 減 即正難則反易 概率的實際意義 對隨機事件發(fā)生的可能性的大小即計算其概率 一方面要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平 就是要看各事件發(fā)生概率 另一方面通過對概率的學(xué)習(xí)讓我們更加理智的對待一些買彩票抽獎活動