計(jì)算題32分搶分練(三)(時(shí)間：20分鐘分值：32分)1(18分)如圖所示，有一長為L6 m，質(zhì)量為m11 kg的長木板放在水平面上，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為10.2，右端固定一擋板，左端放一質(zhì)量為m21 kg的小滑塊，滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為20.1，現(xiàn)在滑塊的左端瞬間給滑塊施加一個(gè)水平?jīng)_量I4 N·s，滑塊與擋板發(fā)生碰撞的時(shí)間和能量損失均忽略不計(jì)，g取10 m/s2，求：(1)滑塊與擋板碰撞后瞬間木板的速度；(2)木板在水平面上發(fā)生的位移。解析(1)由于沖量作用，滑塊獲得的速度為v04 m/s木板受地面最大摩擦力1(m1m2)g>2m2g，木板不動(dòng)。對(duì)滑塊：2m2gm2a2vv22a2L解得v2 m/s滑塊與擋板碰撞動(dòng)量守恒：m2vm2v2m1v1能量守恒：m2v2m1vm2v解得v12 m/s，v20碰后瞬間木板速度為2 m/s，方向水平向右。(2)碰后滑塊加速度不變，對(duì)木板：1(m1m2)g2m2gm1a1設(shè)經(jīng)時(shí)間t，兩者共速v1a1ta2t解得t s共同的速度v3a2t m/s此過程木板位移x1v1ta1t2 m共速后木板加速度為1(m1m2)g2m2gm1a3最后木板靜止，設(shè)此過程木板位移為x2，0v2a3x2解得x2 m木板在水平面上發(fā)生的位移為x1x2 m。答案(1)2 m/s方向水平向右(2) m2.(14分)如圖所示，MN和MN為兩豎直放置的平行光滑長直金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L。在導(dǎo)軌的下部有垂直于導(dǎo)軌所在平面、方向向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在導(dǎo)軌的MM端連接電容為C、擊穿電壓為Ub、正對(duì)面積為S、極板間可認(rèn)為是真空、極板間距為d的平行板電容器。在t0時(shí)無初速度地釋放金屬棒ef，金屬棒ef的長度為L、質(zhì)量為m、電阻可忽略不計(jì)假設(shè)導(dǎo)軌足夠長，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，金屬棒ef與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，導(dǎo)軌和各接觸處的電阻不計(jì)，電路的電感、空氣的阻力可忽略，已知重力加速度為g。(1)求電容器兩端的電壓達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間；(2)金屬棒ef下落的過程中，速度逐漸變大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸變大，電容器極板上的電荷量逐漸增加，兩極板間存儲(chǔ)的電場(chǎng)能也逐漸增加。單位體積內(nèi)所包含的電場(chǎng)能稱為電場(chǎng)的能量密度。已知兩極板間為真空時(shí)平行板電容器的電容大小可表示為C。試證明平行板電容器兩極板間的空間內(nèi)的電場(chǎng)能量密度與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，并求出比例系數(shù)(結(jié)果用0和數(shù)字的組合表示)。解析本題為“單棒電容器導(dǎo)軌模型”，可以根據(jù)牛頓第二定律，使用“微元法”對(duì)棒列方程求解。(1)在電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓前，設(shè)任意時(shí)刻t，流過金屬棒的電流為i，由牛頓第二定律知，此時(shí)金屬棒的加速度a滿足mgBiLma設(shè)在t到tt的時(shí)間內(nèi)，金屬棒的速度由v變?yōu)関v，電容器兩端的電壓由U變?yōu)閁U，電容器的帶電荷量由Q變?yōu)镼Q，由電流的定義、電荷量與電壓和電容間的關(guān)系、電磁感應(yīng)定律以及加速度的定義得iCBLa聯(lián)立得a可知金屬棒做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓時(shí)，金屬棒的速度為v0所以電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間為t。(2)當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量Qi時(shí)，電容器兩端的電壓可認(rèn)為始終為Ui，增加的電場(chǎng)能可用圖甲中左起第1個(gè)陰影部分的面積表示；同理，當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量Qi1時(shí)，電容器兩端的電壓可認(rèn)為始終為Ui1，增加的電場(chǎng)能可用圖甲中左起第2個(gè)陰影部分的面積表示；依次類推可知，當(dāng)電容器的帶電荷量為Q、兩端電壓為U時(shí)，圖乙中陰影部分的面積表示兩極板間電場(chǎng)能的大小W，所以WUQ，根據(jù)題意有，又QUC，UEd，C，聯(lián)立解得0E2所以電場(chǎng)能量密度與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，且比例系數(shù)為0。- 3 -