第八章第四節(jié)一、選擇題1(文)(2014·長春模擬)橢圓x24y21的離心率為()ABCD答案A解析先將x24y21化為標準方程x21，則a1，b，c.離心率e.(理)若P是以F1、F2為焦點的橢圓1(a>b>0)上的一點，且·0，tanPF1F2，則此橢圓的離心率為()A BCD答案A解析在RtPF1F2中，不妨設|PF2|1，則|PF1|2.|F1F2|，e.2(文)橢圓1的左、右焦點分別為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則ABF2的周長為()A32 B16 C8D4答案B解析由題設條件知ABF2的周長為|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16.(理)(2013·浙江紹興一模)橢圓1上一點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于()A2B4C8D答案B解析連接MF2.已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8.如圖，|ON|MF2|4.故選B3(文)(2014·佛山月考)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，且PF1PF2，則點P的橫坐標為()A1BC2D答案D解析由題意知，c2a2b2413，點P即為圓x2y23與橢圓y21在第一象限的交點，解方程組得點P的橫坐標為.(理)F1、F2是橢圓1(a>b>0)的兩焦點，P是橢圓上任一點，過一焦點引F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q為AF1的中點，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q點軌跡是以O為圓心，a為半徑的圓4(2014·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知橢圓C：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點，若F1F2P為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為()AB1C1或D答案C解析當F1PF2為直角時，P為橢圓短軸端點，bc，e；當F1F2P或F2F1P為直角時，2c，b22ac，a2c22ac，e22e10，e1.5(文)(2013·煙臺質檢)一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為()A1B1C1D1答案A解析設橢圓的標準方程為1(a>b>0)由點(2，)在橢圓上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a2·2c，又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26.(理)(2013·新課標理，10)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()A1B1C1D1答案D解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在橢圓上，兩式相減得，即，AB的中點為(1，1)，x1x22，y1y22，k，又k，又c2a2b22b2b2b2，c29，b29，a218，橢圓E的標準方程為1，故選D6(2014·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓1(a>b>0)兩個焦點，P在橢圓上，F(xiàn)1PF2，且當時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則橢圓的標準方程為()A1B1C1D1答案A解析|F1F2|為定值，當P在短軸端點時，SF1PF2最大，F(xiàn)1PF2，PF1F2，tan，c3，b，a2b2c212，橢圓方程為1.二、填空題7(2013·池州二模)已知點M(，0)，橢圓y21與直線yk(x)交于點A、B，則ABM的周長為_答案8解析M(，0)與F(，0)是橢圓的焦點，則直線AB過橢圓左焦點F(，0)，且|AB|AF|BF|，ABM的周長等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.8已知橢圓M：1(a>0，b>0)的面積為ab，M包含于平面區(qū)域：內，向內隨機投一點Q，點Q落在橢圓M內的概率為，則橢圓M的方程為_答案1解析平面區(qū)域：是一個矩形區(qū)域，如圖所示，依題意及幾何概型，可得，即ab2.因為0<a2,0<b，所以a2，b.所以，橢圓M的方程為1.9(2014·山東濟南二模)若橢圓C1：1(a1>b1>0)和橢圓C2：1(a2>b2>0)的焦點相同且a1>a2.給出以下四個結論：橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點；>；aabb；a1a2<b1b2.其中，所有正確結論的序號是_答案解析由于兩橢圓焦點相同，且a1>a2，故b1>b2，因此兩橢圓必無公共點，即命題為真命題；又由于兩橢圓焦點相同，a1>a2，aba(ac2)<a(ac2)ab，故<，即命題為假命題；由焦點相同得abab，故aabb，即命題為真命題；因為aabb，即(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)<1，故有a1a2<b1b2，即命題為真命題，綜上為真命題三、解答題10(文)橢圓的兩焦點坐標分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓過點M(1，)(1)求橢圓方程；(2)過點N(，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于P、Q兩點，A為橢圓的左頂點，試判斷PAQ的大小是否為定值，并說明理由解析(1)設橢圓的方程為1(a>b>0)，由題意c，且橢圓過點M(1，)，橢圓方程為y21.(2)設直線PQ：xty，由消去x得，(t24)y2ty0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，y1y2，又A(2,0)，·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0，PAQ(定值)(理)(2014·安徽合肥三校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：x2y24x2y0的圓心C(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程解析(1)圓C方程化為(x2)2(y)26，圓心C(2，)，半徑r.設橢圓的方程為1(a>b>0)，則所以所以所求橢圓的方程是1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點分別是F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，|F2C|<.F2在圓C內，故過F2沒有圓C的切線設l的方程為yk(x2)，即kxy2k0，點C(2，)到直線l的距離為d，化簡得5k24k20，解得k或k.故l的方程為x520或xy20.一、選擇題11(2013·荊州市質檢)若橢圓1(a>b>0)的離心率e，右焦點為F(c,0)，方程ax22bxc0的兩個實數(shù)根分別是x1和x2，則點P(x1，x2)到原點的距離為()ABC2D答案A解析因為e，所以a2c，由a2b2c2，得，x1x2，x1x2，點P(x1，x2)到原點(0,0)的距離d.12(文)(2014·陜西西工大附中適應性訓練)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連線AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，則橢圓C的離心率e為()ABCD答案A解析在ABF中，由|AB|10，|AF|6，cosABF，得|BF|8，設橢圓的右焦點為E，由對稱性知，|AE|8，且AEF為直角三角形，|EF|10，2a|AF|AE|14.e.(理)(2014·包頭三十三中期末)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為()A(0，1)B(，1)C(0，)D(1,1)答案D解析根據(jù)正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|·(e1)2a，即|PF2|.因為ac<|PF2|<ac(不等式兩邊不能取等號，否則分式中的分母為0，無意義)，所以ac<<ac，即1<<1，所以1e<<1e，即所以解得e>1.又因為e<1，所以1<e<1，即e(1,1)，選D13若橢圓1過拋物線y28x的焦點，且與雙曲線x2y21有相同的焦點，則該橢圓的方程是()A1By21C1Dx21答案A解析拋物線y28x的焦點坐標為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點的坐標為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2y21有相同的焦點，a2，c，c2a2b2，b22，橢圓的方程為1.14(文)(2014·湖南六校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與F1A的延長線、F1F2的延長線以及線段AF2相切，若M(t,0)為一個切點，則()At2Bt>2Ct<2Dt與2的大小關系不確定答案A解析如圖，P，Q分別是圓C與F1A的延長線、線段AF2相切的切點，|MF2|F2Q|2a(|F1A|AQ|)2a|F1P|2a|F1M|，即|F1M|MF2|2a，所以ta2.故選A(理)設F是橢圓1的左焦點，且橢圓上有2016個不同的點Pi(xi，yi)(i1,2,3，2016)，且線段|FP1|，|FP2|，|FP3|，|FP2016|的長度成等差數(shù)列，若|FP1|2，|FP2016|8，則點P2015的橫坐標為()ABCD答案C解析橢圓1，F(xiàn)(3,0)，由|FP1|2ac，|FP2016|8ac，可知點P1為橢圓的左頂點，P2016為橢圓的右頂點，即x15，x2016552015d，d，則數(shù)列xi是以5為首項，為公差的等差數(shù)列，x201552014×.二、填空題15(文)如果AB是橢圓1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則kAB·kOM的值為_答案e21解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0)，由點差法，1，1，作差得，kAB·kOM·e21.(理)以橢圓的右焦點F2為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點M、N，橢圓的左焦點為F1，且直線MF1與此圓相切，則橢圓的離心率e等于_答案1解析由題意知，MF1MF2，|MF2|OF2|c，又|F1F2|2c，|MF1|c，由橢圓的定義，|MF1|MF2|2a，cc2a，e1.16(2013·蘇北四市聯(lián)考)已知兩定點M(1,0)，N(1,0)，若直線上存在點P，使|PM|PN|4，則該直線為“A型直線”給出下列直線，其中是“A型直線”的是_(填序號)yx1；y2；yx3；y2x3.答案解析由題意可知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程是1，把yx1代入1并整理得，7x28x80，824×7×(8)>0，直線與橢圓有兩個交點，yx1是“A型直線”把y2代入1，得不成立，直線與橢圓無交點，y2不是“A型直線”把yx3代入1并整理得，7x224x240，(24)24×7×24<0，yx3不是“A型直線”把y2x3代入1并整理得，19x248x240，(48)24×19×24>0，y2x3是“A型直線”三、解答題17在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：1(a>b>0)的左焦點為F1(1,0)，且點P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程；(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程解析(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(1,0)，所以c1，將點P(0,1)代入橢圓方程1，得1，即b21，所以a2b2c22，所以橢圓C1的方程為y21.(2)直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為ykxm，由消去y并整理得，(12k2)x24kmx2m220，因為直線l與橢圓C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0整理得2k2m210，由消去y并整理得，k2x2(2km4)xm20，因為直線l與拋物線C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1，綜合，解得或所以直線l的方程為yx或yx.18(文)(2014·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知橢圓：1(a>b>0)的右焦點為F，橢圓的上頂點和兩焦點連線構成等邊三角形且面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線l：xmyq(m0)與橢圓交于不同的兩點A，B，設點A關于橢圓長軸的對稱點為A1，試求A1，F(xiàn)，B三點共線的充要條件解析(1)設橢圓的標準方程是1(a>b>0)由題意知a2c，bc，所以a2，b，橢圓的標準方程是1.(2)聯(lián)立(3m24)y26mqy(3q212)0，由123m2q2(3m24)(q24)48(3m24q2)>0，得3m24q2>0.記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(x1，y1)，y1y2，y1y2，因為F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，故A1，F(xiàn)，B三點共線，(x11)y2(x21)(y1)(my1q1)y2(my2q1)y12my1y2(q1)(y1y2)2m·(q1)·0q4(m0)，由知A1，F(xiàn)，B三點共線的充要條件是|m|>2，且q4.(理)(2014·新課標全國理)已知點A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當OPQ的面積最大時，求l的方程分析(1)由過A(0，2)，F(xiàn)(c,0)的直線AF的斜率為或過兩點的直線斜率公式可求c，再由e，可求a，由b2a2c2可求出b2，則橢圓E的方程可求(2)由題意知動直線l的斜率存在，故可設其斜率為k，寫出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理成關于x的一元二次方程，利用弦長公式求出弦PQ的長|PQ|，利用點到直線的公式求出點O到直線PQ的距離d，則由SOPQ|PQ|·d，可將SOPQ表示成關于k的函數(shù)，轉化為求函數(shù)f(k)的最大值問題注意k應使得一元二次方程的判別式大于0.解析(1)設F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21中消去y得，(14k2)x216kx120.當16(4k23)>0，即k2>時，x1,2，從而|PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d，所以OPQ的面積SOPQd·|PQ|.設t，則t>0，SOPQ.因為t4，當且僅當t2，即k±時等號成立，且滿足>0.所以，當OPQ的面積最大時，l的方程為yx2或yx2.