第八章第五節(jié)一、選擇題1(文)(2014·廣東文)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<5，則曲線1與曲線1的()A實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B虛半軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等答案D解析0<k<5，兩方程都表示雙曲線，由雙曲線中c2a2b2得其焦距相等，選D(理)(2014·廣東理)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實(shí)半軸長(zhǎng)相等C虛半軸長(zhǎng)相等D離心率相等答案A解析由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由，得兩雙曲線的焦距相等，選A2(文)(2014·河北石家莊第二次質(zhì)檢)已知F是雙曲線1(a>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線C上一點(diǎn)，則POF的大小不可能是()A15°B25°C60°D165°答案C解析雙曲線的漸近線方程為±0，兩漸近線的斜率k±±，漸近線的傾斜角分別為30°，150°，所以POF的大小不可能是60°.(理)已知雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案A解析由漸近線方程為y±x知，ab，又頂點(diǎn)到漸近線距離為1，1，由得，a2，b，選A3(文)(2013·保定調(diào)研)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y248x的準(zhǔn)線上則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案B解析由題意可知解得所以選B(理)(2014·甘肅蘭州、張掖診斷)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，則此雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案C解析因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此雙曲線的方程為1.4(2014·山東煙臺(tái)一模)雙曲線C1的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若C1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C2：y212x的焦點(diǎn)重合，且拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的弦長(zhǎng)為4，則雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為()A6B2CD2答案D解析設(shè)雙曲線C1的方程為1(a>0，b>0)由已知，拋物線C2的焦點(diǎn)為(3,0)，準(zhǔn)線方程為x3，即雙曲線中c3，a2b29，又拋物線C2的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點(diǎn)，且交雙曲線C1所得的弦長(zhǎng)為4，所以2，與a2b29聯(lián)立，得a22a90，解得a，故雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為2，故選D5(2013·廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0)，若頂點(diǎn)B在雙曲線1上，則為()ABCD答案C解析設(shè)ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，由正弦定理得，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知，A、C是雙曲線的焦點(diǎn)，且|AC|10，|BC|AB|8.所以，故選C6(文)(2014·江西贛州四校聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為()A相交B相切C相離D以上情況都有可能答案B解析設(shè)以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的半徑分別為r1，r2，若P在雙曲線左支上，如圖所示，則|O2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2，即圓心距為兩圓半徑之和，兩圓外切若P在雙曲線右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此時(shí)兩圓內(nèi)切綜上，兩圓相切，故選B(理)如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有：D1AD1M，則動(dòng)點(diǎn)M在面ABCD內(nèi)的軌跡是()上的一段弧()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析因?yàn)闈M足條件的動(dòng)點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以D1D為軸線，以D1A為母線的圓錐，與平面ABCD的交線即圓的一部分故選A二、填空題7(文)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mxy0，若m為集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意一個(gè)值，則使得雙曲線的離心率大于3的概率是_答案解析由題意知雙曲線方程可設(shè)為m2x2y21，從而e>3，m>0，m>2，故所求概率是，故填.(理)(2014·浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_答案解析聯(lián)立漸近線與直線方程可解得A(，)，B(，)，則kAB，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，由|PA|PB|，可知AB的中點(diǎn)E與點(diǎn)P兩點(diǎn)連線的斜率為3，6，化簡(jiǎn)得4b2a2，所以e.8(2014·溫州十校聯(lián)考)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的兩條切線，記切點(diǎn)分別為A、B，雙曲線的左頂點(diǎn)為C，若ACB120°，則雙曲線的離心率e_.答案2解析連接OA，根據(jù)題意以及雙曲線的幾何性質(zhì)，|FO|c，|OA|a，而ACB120°，AOC60°，又FA是圓O的切線，故OAFA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，e2.9(文)(2013·北京大興模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，則雙曲線的焦距為_答案2解析由解得由題意得得又已知a4，故a2，b1，c.所以雙曲線的焦距2c2.(理)(2014·深圳調(diào)研)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線C的漸近線方程為y±2x，則雙曲線C的方程為_答案x21解析易得橢圓的焦點(diǎn)為(，0)，(，0)，a21，b24，雙曲線C的方程為x21.三、解答題10(文)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3)在(2)的條件下，求F1MF2的面積解析(1)e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)，雙曲線過點(diǎn)(4，)，1610，即6，雙曲線方程為1.(2)證明：法1：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1·kMF21，MF1MF2，即·0.法2：(23，m)，(23，m)，·(23)×(23)m23m2，點(diǎn)M在雙曲線上，9m26，即m230，·0.(3)F1MF2的底邊長(zhǎng)|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的高h(yuǎn)|m|，SF1MF26.(理)(2013·銅陵一模)若雙曲線E：y21(a>0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且m()，求k，m的值解析(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，故即所以1<k<.(2)由得x1x2，x1x2，|AB|·26，整理得28k455k2250，k2或k2.又1<k<，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.設(shè)C(x3，y3)，由m()得，(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)x34m，y38m.點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，80m264m21，得m±.故k，m±.一、選擇題11(文)(2013·南昌一模)雙曲線1(b>0，a>0)與拋物線yx2有一個(gè)公共焦點(diǎn)F，雙曲線的過點(diǎn)F且垂直于y軸的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率等于()A2BCD答案B解析雙曲線與拋物線x28y的公共焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，由題意知(，2)在雙曲線上，于是，得a23，b21，故e，故選B(理)(2013·安徽皖南八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使·0，且F1PF2的三邊長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為()ABC2D5答案D解析設(shè)|PF1|m，|PF2|n，且m>n，|F1F2|2c，由題可知F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊由雙曲線的幾何性質(zhì)和直角三角形的勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，等式兩邊同時(shí)除以a2得e26e50，解得e5或e1.因?yàn)殡p曲線的離心率e>1，所以e5.12(2014·重慶理)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()ABCD3答案B解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|·|PF2|9b24a2，又4|PF1|·|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9()240，則(1)(4)0，解得(舍去)，則雙曲線的離心率e.13(2014·湖北文)設(shè)a，b是關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個(gè)不等實(shí)根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案A解析關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個(gè)不等實(shí)根為0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為yxtan，雙曲線1的漸近線方程為y±xtan，所以直線yxtan與雙曲線沒有公共點(diǎn)，故選A14(文)若原點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為()A32，)B32，)C，)D，)答案B解析a21224，a23，雙曲線方程為y21.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x2，y)，y21，·x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(右支上任意一點(diǎn))，·32.故選B(理)設(shè)F1、F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|F1F2|，且cosPF1F2，則雙曲線的漸近線方程為()A3x±4y0B3x±5y0C4x±3y0D5x±4y0答案C解析在PF1F2中，由余弦定理得，cosPF1F2.所以|PF1|c.又|PF1|PF2|2a，即c2c2a，所以ca.代入c2a2b2得±.因此，雙曲線的漸近線方程為4x±3y0.二、填空題15(文)(2013·湖南)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1PF2，且PF1F230°，則C的離心率為_答案1解析由已知可得，|PF1|2ccos30°c，|PF2|2csin30°c，由雙曲線的定義，可得cc2a，則e1.(理)(2014·山東日照模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P和Q.且F1PQ為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為_答案y±x解析設(shè)F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入雙曲線方程得y0±，PQx軸，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230°，|F1F2|PF2|，即2c·.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)，a>0，b>0，.故所求雙曲線的漸近線方程為y±x.16P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為_答案5解析雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.三、解答題17(文)(2013·江蘇泰州質(zhì)檢)已知點(diǎn)N(1,2)，過點(diǎn)N的直線交雙曲線x21于A，B兩點(diǎn)，且()(1)求直線AB的方程；(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點(diǎn)，且·0，那么A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解析(1)由題意知直線AB的斜率存在設(shè)直線AB：yk(x1)2，代入x21得，(2k2)x22k·(2k)x(2k)220.(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，2k20且x1x2.()，N是AB的中點(diǎn)，1，k(2k)k22，k1，AB的方程為yx1.(2)將k1代入方程(*)得x22x30，x1或x3，不妨設(shè)A(1,0)，B(3,4)·0，CD垂直平分ABCD所在直線方程為y(x1)2，即y3x，代入雙曲線方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點(diǎn)M(x0，y0)，則x3x46，x3·x411，x03，y06，即M(3,6)|CD|x3x4|4，|MC|MD|CD|2，|MA|MB|2，即A，B，C，D到M的距離相等，A，B，C，D四點(diǎn)共圓(理)(2014·廣東肇慶一模)設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，離心率e，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M(1,2)(1)求雙曲線C的方程；(2)求直線AB的方程；(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C，D兩點(diǎn)，那么A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解析(1)依題意得解得a1.所以b2c2a2312，故雙曲線C的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)·(y1y2)，由題意得x1x2，x1x22，y1y24，所以1，即kAB1.故直線AB的方程為yx1.(3)假設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且圓心為P.因?yàn)锳B為圓P的弦，所以圓心P在AB的垂直平分線CD上又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點(diǎn)M.下面只需證CD的中點(diǎn)M滿足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0)，B(3,4)由此可得直線CD方程：yx3.由得C(32，62)，D(32，62)，所以CD的中點(diǎn)M(3,6)因?yàn)閨MA|2，|MB|2，|MC|2，|MD|2，所以|MA|MB|MC|MD|，即A，B，C，D四點(diǎn)在以點(diǎn)M(3,6)為圓心，2為半徑的圓上18(文)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線與圓x2y210x200相切過點(diǎn)P(4,0)作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且滿足|PA|·|PB|PC|2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2(y2)2上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的取值范圍解析(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx，因?yàn)闈u近線與圓(x5)2y25相切，則，即k±，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.設(shè)雙曲線方程為x24y2m，將y(x4)代入雙曲線方程中整理得，3x256x1124m0.所以xAxB，xAxB.因?yàn)閨PA|·|PB|PC|2，點(diǎn)P、A、B、C共線，且點(diǎn)P在線段AB上，則(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16.所以4(xAxB)xAxB320.于是4·()320，解得m4.故雙曲線方程是x24y24，即y21.(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，圓x2(y2)2的圓心為D，則x24y24，點(diǎn)D(0,2)所以|MD|2x2(y2)24y24(y2)25y24y85(y)2.所以|MD|，從而|MN|MD|.故|MN|的取值范圍是，)(理)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M(1,3)(1)求C的離心率；(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|17，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切解析(1)由題意知，l的方程為：yx2，代入C的方程并化簡(jiǎn)得，(b2a2)x24a2x4a2a2b20.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1·x2，由M(1,3)為BD的中點(diǎn)知1，故×1，即b23a2，故c2a，C的離心率e2.(2)由知，C的方程為3x2y23a2，A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1x22，x1·x2<0，故不妨設(shè)x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|·|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|·|FD|17，故5a24a817，解得a1，或a.故|BD|x1x2|6.連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，從而MAMBMD，DAB90°，因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切，所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切