三角函數(shù)及反三角函數(shù)
三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:商的關(guān)系:平方關(guān)系:tan cot1sin csc1cos sec1sin/costansec/csccos/sincotcsc/secsin2cos211tan2sec21cot2csc2誘導(dǎo)公式sin()sincos()costan()tancot()cotsin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tansin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tansin()sincos()costan()tancot()cotsin()sincos()costan()tancot()cotsin(3/2)coscos(3/2)sintan(3/2)cotcot(3/2)tansin(3/2)coscos(3/2)sintan(3/2)cotcot(3/2)tansin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cotsin(2k)sincos(2k)costan(2k)tancot(2k)cot(其中kZ) 兩角和與差的三角函數(shù)公式萬能公式sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tan tan tantantan() 1tan tan 2tan(/2)sin 1tan2(/2)1tan2(/2)cos 1tan2(/2) 2tan(/2)tan 1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函數(shù)的降冪公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2 2tantan2 1tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos 3tantan3tan3 13tan2三角函數(shù)的和差化積公式三角函數(shù)的積化和差公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 2 2 coscos2sinsin 22sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)化asin bcos為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式(輔助角的三角函數(shù)的公式)函數(shù)變換360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cos-sin-cot-tan-cscsec180-sin-cos-tan-cot-seccsc180+-sin-costancot-sec-csc270-cos-sincottan-csc-sec270+-cossin-cot-tancsc-sec360-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc反三角函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù),是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù),將反正弦函數(shù)的值y限在y=-/2y/2,將y為反正弦函數(shù)的主值,記為y=arcsin x;相應(yīng)地,反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0y;反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-/2<y</2;反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<。反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù),因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求,其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出,并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù),而不是f-1(x).反三角函數(shù)主要是三個(gè):y=arcsin(x),定義域-1,1,值域-/2,/2,圖象用紅色線條;y=arccos(x),定義域-1,1,值域0,,圖象用蘭色線條;y=arctan(x),定義域(-,+),值域(-/2,/2),圖象用綠色線條;sinarcsin(x)=x,定義域-1,1,值域 【-/2,/2】證明方法如下:設(shè)arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個(gè)式子代如上式即可得為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù),將反正弦函數(shù)的值y限在y=-/2y/2,將y為反正弦函數(shù)的主值,記為y=arcsin x;相應(yīng)地,反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0y;反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-/2<y</2;反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<。反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù),因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求,其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出,并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù),而不是f-1(x).(1)正弦函數(shù)y=sin x在-/2,/2上的反函數(shù),叫做反正弦函數(shù)。arcsin x表示一個(gè)正弦值為x的角,該角的范圍在-/2,/2區(qū)間內(nèi)。(2)余弦函數(shù)y=cos x在0,上的反函數(shù),叫做反余弦函數(shù)。arccos x表示一個(gè)余弦值為x的角,該角的范圍在0,區(qū)間內(nèi)。(3)正切函數(shù)y=tan x在(-/2,/2)上的反函數(shù),叫做反正切函數(shù)。arctan x表示一個(gè)正切值為x的角,該角的范圍在(-/2,/2)區(qū)間內(nèi)。反三角函數(shù)主要是三個(gè):yarcsin(x),定義域-1,1 ,值域-/2,/2圖象用紅色線條;y=arccos(x),定義域-1,1 , 值域0,,圖象用藍(lán)色線條;y=arctan(x),定義域(-,+),值域(-/2,/2),圖象用綠色線條;sin(arcsin x)=x,定義域-1,1,值域 -1,1 arcsin(-x)=-arcsinx證明方法如下:設(shè)arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個(gè)式子代入上式即可得其他幾個(gè)用類似方法可得cos(arccos x)=x, arccos(-x)=-arccos xtan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx反三角函數(shù)其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=arccotxarcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)當(dāng)x/2,/2時(shí),有arcsin(sinx)=x當(dāng)x0,arccos(cosx)=xx(/2,/2),arctan(tanx)=xx(0,),arccot(cotx)=xx0,arctanx=/2-arctan1/x,arccotx類似若(arctanx+arctany)(/2,/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)