第3講運動的圖象追及和相遇問題微知識1 直線運動的圖象1直線運動的xt圖象(1)物理意義：反映了物體做直線運動的位移隨時間變化的規(guī)律。(2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時速度的大小，斜率正負表示物體速度的方向。2直線運動的vt圖象(1)物理意義：反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律。(2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時加速度的大小，斜率正負表示物體加速度的方向。(3)“面積”的意義圖線與時間軸圍成的面積表示相應(yīng)時間內(nèi)的位移。若面積在時間軸的上方，表示位移方向為正方向；若面積在時間軸的下方，表示位移方向為負方向。微知識2 追及和相遇問題1追及問題的兩類情況(1)若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。(2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者速度與前者速度相等時，兩者相距最近。2相遇問題相向運動的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。一、思維辨析(判斷正誤，正確的畫“”，錯誤的畫“×”。)1無論是xt圖象還是vt圖象都只能描述直線運動。()2xt圖象表示物體的運動軌跡，vt圖象不能表示物體的運動軌跡。(×)3同一坐標(biāo)系中的兩條vt圖線的交點表示兩物體相遇。(×)4兩物體同向運動恰好不相碰，則兩物體相遇時速度相等。()5兩個物體在追及過程中，物體之間的距離總是逐漸減小。(×)二、對點微練1(xt圖象)(多選)如圖所示為甲、乙兩物體在同一直線上運動的位置坐標(biāo)x隨時間t變化的圖象，已知甲對應(yīng)的是圖象中的直線，乙對應(yīng)的是圖象中的曲線，則下列說法正確的是()A甲做勻減速直線運動B乙做變速直線運動C0t1時間內(nèi)兩物體平均速度大小相等D兩物體的運動方向相反解析結(jié)合題意分析題圖易知，題圖中圖象的斜率等于速度，知甲沿負方向做勻速直線運動，故A項錯誤；乙圖象切線的斜率不斷增大，說明乙的速度不斷增大，做變速直線運動，故B項正確；根據(jù)坐標(biāo)的變化量等于位移知，0t1時間內(nèi)兩物體位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C項錯誤；根據(jù)圖象的斜率等于速度可知，甲的速度為負，乙的速度為正，即兩物體的運動方向相反，故D項正確。答案BD2(vt圖象)(多選)物體做直線運動的vt圖象如圖所示，根據(jù)圖象提供的信息可知()A第4 s初物體運動的加速度為2 m/s2B前8 s內(nèi)物體運動的位移為32 mC在04 s內(nèi)與46 s內(nèi)物體運動的加速度方向相反D在04 s內(nèi)與46 s內(nèi)物體運動的平均速度相等解析圖象的斜率表示加速度，則第4 s初物體運動的加速度a m/s21 m/s2，故A項錯誤；圖象與坐標(biāo)軸圍成面積代表位移，前8 s內(nèi)物體運動的位移x×(48)×4 m×8×2 m32 m，故B項正確；在04 s內(nèi)與46 s內(nèi)物體運動的速度都為正，加速度方向相反，故C項正確；在04 s內(nèi)的平均速度v1 m/s6 m/s,46 s內(nèi)的平均速度v2 m/s4 m/s，故D項錯誤。答案BC3(追及和相遇問題)如圖所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車原來停在A、B兩處，A、B間的距離為85 m，現(xiàn)甲車先開始向右做勻加速直線運動，加速度a12.5 m/s2，甲車運動6 s時，乙車立即開始向右做勻加速直線運動，加速度a25 m/s2，求兩輛汽車相遇處距A處的距離。解析甲車運動6 s的位移為x0a1t45 m，尚未追上乙車，設(shè)此后經(jīng)過時間t與乙車相遇，則有a1(tt0)2a2t285 m，將上式代入數(shù)據(jù)并展開整理得t212t320，解得t14 s，t28 s。t1、t2都有意義，t14 s時，甲車追上乙車；t28 s時，乙車追上甲車再次相遇。第一次相遇地點距A的距離x1a1(t1t0)2125 m。第二次相遇地點距A的距離x2a1(t2t0)2245 m。答案125 m或245 m見學(xué)生用書P009微考點1運動圖象的理解和應(yīng)用核|心|微|講1應(yīng)用運動圖象要注意三點(1)無論是xt圖象還是vt圖象都只能描述直線運動。(2)xt圖象和vt圖象都不表示物體運動的軌跡。(3)xt圖象和vt圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關(guān)系決定。2應(yīng)用運動圖象解題要“六看”典|例|微|探【例1】(多選)物體甲的位移與時間圖象和物體乙的速度與時間圖象分別如圖甲、乙所示，關(guān)于這兩個物體的運動情況描述正確的是()A甲在06 s時間內(nèi)有來回運動，它通過的總位移為零B甲在06 s時間內(nèi)運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4 mC乙在06 s時間內(nèi)有來回運動，它通過的總位移為零D乙在03 s內(nèi)的加速度與36 s內(nèi)的加速度方向相反【解題導(dǎo)思】(1)xt圖象的斜率表示的物理量是什么，如何表示位移？答：xt圖象的斜率表示速度，斜率不變，速度不變。物體的位移由縱坐標(biāo)的變化表示。(2)vt圖象的斜率、圖線與時間軸所夾的面積分別表示的物理量是什么？答：vt圖象的斜率表示加速度，圖線與時間軸所夾的面積表示位移。 解析甲圖象中的直線的斜率表示速度，速度方向不變，沒有來回運動，只是相對于原點的位移，一開始為負，后來為正，選項B正確；乙圖象中直線的斜率表示加速度，速度先是負向變小，后正向增大，有來回運動，C項正確。答案BC題|組|微|練1如圖是某物體在t時間內(nèi)運動的位移時間圖象和速度時間圖象，從圖象上可以判斷和得到()A物體的位移時間圖象是拋物線B該物體做的是曲線運動C該物體運動的時間t為2 sD該物體運動的加速度為1.5 m/s2解析從vt圖象可知，物體做的是勻加速直線運動，因此位移與時間的二次方成線性關(guān)系，因此位移時間圖象是拋物線，A項正確；該物體做的是直線運動，B項錯誤；由8 m×(3 m/s6 m/s)t，得ts，加速度a m/s2 m/s2，C、D項錯誤。答案A2甲、乙兩物體從同一位置沿同一直線運動，它們的vt圖象如圖所示，下列說法正確的是()A乙物體先向負方向運動，t1時刻以后反向向正方向運動Bt2時刻，乙物體追上甲Ct1時刻，兩者相距最遠D0t2時間內(nèi)，乙的速度和加速度都是先減小后增大解析乙物體的速度一直都是正值，說明乙物體一直沿正方向運動，選項A錯誤；根據(jù)速度圖象面積表示位移可知，t2時刻，甲物體位移大于乙物體，乙物體沒有追上甲，選項B錯誤；t2時刻，在甲后面的乙速度增大到等于甲物體的速度，以后乙物體速度將大于甲物體，此時兩者相距最遠，選項C錯誤；0t2時間內(nèi)，乙的速度和加速度都是先減小后增大，選項D正確。答案D微考點2追及和相遇問題核|心|微|講1討論追及、相遇的問題，其實質(zhì)就是分析討論兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置問題(1)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系。(2)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。2常見的情況(1)物體A追上物體B：開始時，兩個物體相距x0，則A追上B時，必有xAxBx0，且vAvB。(2)物體A追趕物體B：開始時，兩個物體相距x0，要使兩物體恰好不相撞，必有xAxBx0，且vAvB。3解題思路和方法典|例|微|探【例2】汽車A正在公路上以20 m/s的速度勻速行駛，因疲勞駕駛司機注意力不集中，當(dāng)司機發(fā)現(xiàn)正前方有一輛靜止的轎車B時，兩車距離僅有75 m。(1)若此時B車立即以2 m/s2的加速度啟動，通過計算判斷：如果A車司機沒有剎車，是否會撞上B車，若不相撞，求兩車相距最近時的距離；若相撞，求出從A車發(fā)現(xiàn)B車開始到撞上B車的時間。(2)若A車司機發(fā)現(xiàn)B車，立即剎車(不計反應(yīng)時間)做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2(兩車均視為質(zhì)點)，為避免碰撞，在A車剎車的同時，B車立即做勻加速直線運動(不計反應(yīng)時間)，問：B車加速度aB至少多大才能避免事故。(假設(shè)兩車始終在同一條直線上運動)【解題導(dǎo)思】(1)在(1)問中若B車速度增大到與A車速度相等時，A車還沒有追上B車，以后兩者還能相撞嗎？答：不能。因為之后B車的速度會大于A車的速度，相同時間內(nèi)的位移要比A車的大。(2)有同學(xué)對追及和相遇問題的解法做了如下總結(jié)：在追及和相遇問題中，以時間為變量列出位移的關(guān)系，大部分問題能得到很好的解決。你同意他的說法嗎？答：同意?？偨Y(jié)得非常好，多數(shù)追及和相遇的問題(不管它們的運動性質(zhì)如何)，以時間為變量尋找位移的關(guān)系，列出等式即能解決問題。 解析(1)當(dāng)兩車速度相等時，AB兩車到達同一個位置，設(shè)經(jīng)過的時間為t，則vAvB，對B車vBat，聯(lián)立可得t10 s，A車的位移xAvAt200 m，B車的位移xBat2100 m，又xB x0 175 m < xA ，所以會撞上。設(shè)經(jīng)過時間t相撞，有vAtx0at2，代入數(shù)據(jù)解得t15 s，t215 s(舍去)。(2)設(shè)B車的加速度為aB，B車運動經(jīng)過時間t，兩車相遇時，兩車速度相等，則vAv0aAt，vBaBt，且vAvB，在時間t內(nèi)A車的位移xAv0taAt2，B車的位移xBaBt2，又xBx0xA，聯(lián)立可得aB m/s20.67 m/s2。答案(1)兩車會相撞，5 s(2)0.67 m/s2【解題指南】追及與相遇問題的類型及解題思路1相遇問題的兩類情況(1)同向運動的兩物體追及即相遇，各自位移之差等于開始時兩物體之間的距離。(2)相向運動的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。2追及問題涉及兩個不同物體的運動關(guān)系，分析時要緊抓“一個圖和三個關(guān)系式”，即：過程示意圖或vt圖象，速度關(guān)系式、時間關(guān)系式和位移關(guān)系式，同時要關(guān)注題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等。 題|組|微|練3春節(jié)放假期間，全國高速公路免費通行，小轎車可以不停車通過收費站，但要求小轎車通過收費站窗口前x09 m區(qū)間的速度不超過v06 m/s?，F(xiàn)有甲、乙兩小轎車在收費站前平直公路上分別以v甲20 m/s和v乙34 m/s的速度勻速行駛，甲車在前，乙車在后，甲車司機發(fā)現(xiàn)正前方收費站，開始以大小為a甲2 m/s2的加速度勻減速剎車。(1)甲車司機需在離收費站窗口至少多遠處開始剎車才不違章。(2)若甲車司機經(jīng)剎車到達離收費站窗口前9 m處的速度恰好為6 m/s，乙車司機在發(fā)現(xiàn)甲車剎車時經(jīng)t00.5 s的反應(yīng)時間后開始以大小為a乙4 m/s2的加速度勻減速剎車，為避免兩車相撞，且乙車在收費站窗口前9 m區(qū)不超速，則在甲車司機開始剎車時，甲、乙兩車至少相距多遠？解析(1)對甲車速度由20 m/s減速至6 m/s過程中的位移：x191 m，x2x0x1100 m，即甲車司機需在離收費站窗口至少100 m處開始剎車。(2)設(shè)甲剎車后經(jīng)時間t，甲、乙兩車速度相同，由運動學(xué)公式得v乙a乙(tt0)v甲a甲t，解得t8 s。相同速度vv甲a甲t4 m/s<6 m/s，即v6 m/s的共同速度為不相撞的臨界條件乙車從34 m/s減速至6 m/s的過程中的位移為x3v乙t0157 m，所以要滿足條件甲、乙的距離至少為xx3x166 m。答案(1)100 m(2)66 m4滑雪度假村某段雪地賽道可等效為長L36 m，傾角為37°的斜坡。已知滑道的積雪與不同滑板之間的動摩擦因數(shù)不同，現(xiàn)假定甲先滑下時滑板與賽道的動摩擦因數(shù)10.5，乙后滑下時滑板與賽道的動摩擦因數(shù)為20.25，g取10 m/s2。已知甲和乙均可看做質(zhì)點，且滑行方向平行，相遇時不會相撞。求：(1)甲從坡頂由靜止自由滑下時到達坡底的速度大小。(2)若乙比甲晚出發(fā)t1 s，為追上甲，有人從后面給乙一個瞬時作用使乙獲得初速度v01 m/s，通過計算分析乙能否在甲到達坡底前追上甲；若能追上求出兩者在追上前相距的最遠距離，若不能追上求出兩者到達坡底的時間差。解析(1)對甲的運動，由牛頓運動定律：m1gsin1m1gcosm1a甲解得a甲2 m/s2。由2a甲Lv，得v112 m/s。(2)甲到達坡底的時間t甲6 s。對乙的運動，由牛頓運動定律m2gsin2m2gcosm2a乙，解得a乙4 m/s2。設(shè)乙到達坡底時間為t乙，由Lv0t乙a乙t，得t乙4 s。t乙t<t甲，故可以追上。設(shè)甲出發(fā)后經(jīng)t1，乙與甲達到共同速度v，則v a甲t1v0a乙(t1t)，解得t11.5 s。x甲a甲t m，x乙v0(t1t)a乙(t1t)21 m，兩者在追上前相距的最遠距離xx甲x乙1.25 m。答案(1)12 m/s (2)能追上，最遠距離1.25 m見學(xué)生用書P011用運動圖象解答追及和相遇問題素能培養(yǎng)利用圖象法分析追及和相遇問題的思路經(jīng)典考題(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其vt 圖象如圖所示。已知兩車在t3 s 時并排行駛，則()A在t1 s時，甲車在乙車后B在t0時，甲車在乙車前7.5 mC兩車另一次并排行駛的時刻是t2 sD甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m解析根據(jù)題述，兩車在t3 s 時并排行駛，由圖線與橫軸所圍面積表示位移可知，在t1 s時，甲車和乙車并排行駛，選項A、C錯誤；由圖象可知，在t1 s時甲車速度為10 m/s，乙車速度為15 m/s,01 s時間內(nèi)，甲車行駛位移為x15 m，乙車行駛位移為x212.5 m，所以在t0時，甲車在乙車前7.5 m，選項B正確；從t1 s到t3 s，甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為x(1030)×2 m40 m，選項D正確。答案BD對法對題1如圖，直線a和曲線b分別是在平行的平直公路上行駛的汽車a和b的速度時間(vt)圖線，在t1時刻兩車剛好在同一位置(并排行駛)，在t1到t3這段時間內(nèi)，下列說法正確的是()A在t2時刻，兩車相距最遠B在t3時刻，兩車相距最遠Ca車加速度均勻增大Db車加速度先增大后減小解析在t3時刻以前，b車速度都小于a車，所以在t3時刻，兩車相距最遠，選項B正確，選項A錯誤；a車做勻加速直線運動，a車加速度不變，選項C錯誤；根據(jù)速度圖象斜率表示加速度可知，b車加速度一直增大，選項D錯誤。答案B2甲、乙兩物體從同一地點開始沿同一方向運動，其速度隨時間的變化關(guān)系如圖所示，圖中t2，兩段曲線均為圓弧，則()A兩物體在t1時刻加速度相同B兩物體在t2時刻運動方向均改變C兩物體在t3時刻相距最遠，t4時刻相遇D0t4時間內(nèi)甲物體的平均速度大于乙物體的平均速度解析因兩段曲線均為圓弧，由題圖知在t1時刻曲線的切線斜率的絕對值與直線斜率相等，即兩者加速度大小相等，但方向相反，選項A錯；兩物體均做單方向的直線運動，選項B錯；甲先做勻加速運動再做勻減速運動，乙先做加速度減小的減速運動，再做加速度減小的加速運動，在t3時刻，兩物體相距最遠；兩物體在0t4時間內(nèi)圖線與t軸所圍面積相等，即兩物體在t4時刻相遇，在0t4時間內(nèi)的平均速度相同，選項C對，D錯。答案C見學(xué)生用書P0111一物體在某點從靜止開始做勻加速直線運動，其中物體運動的位移為s、加速度為a、速度為v、運動時間為t，則下列圖象一定錯誤的是()解析加速度a恒定不變，D圖錯誤；vatt，A圖正確；sat2t2，B圖正確；v22ass，C圖正確；D圖中說明物體在運動過程中加速度變化了，D項錯誤。答案D2.一個物體以初速度v0沿光滑斜面向上運動，其速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖所示，在連續(xù)兩段時間m和n內(nèi)對應(yīng)面積均為S，則經(jīng)過b時刻的速度vb的大小為()A.B.C. D.解析設(shè)b時刻的速度為vb，加速度為a，根據(jù)xv0tat2得Svbmam2，Svbnan2。兩式聯(lián)立解得vb，C項正確。答案C3質(zhì)點沿直線運動，在10 s內(nèi)其速度由10 m/s減為0，速度隨時間變化的關(guān)系圖象(vt圖象)恰好是與兩坐標(biāo)軸相切的四分之一圓弧，如圖所示。則該質(zhì)點在第5 s末的加速度大小為()A. m/s2 B. m/s2C. m/s2 D. m/s2解析質(zhì)點在第5 s末時的加速度大小等于圓上a點切線斜率的絕對值，等于tan，因為sin，所以tan，因此質(zhì)點在第5 s末時的加速度大小為 m/s2，D項正確。答案D4如圖所示，甲從A地由靜止勻加速跑向B地，當(dāng)甲前進距離為s1時，乙從距A地s2處的C點由靜止出發(fā)，加速度與甲相同，最后二人同時到達B地，則A、B兩地距離為()As1s2 B.C. D.解析設(shè)甲從出發(fā)向前運動s1時的時間為t1，C點距離B點的距離為sx，乙從C點運動B點的時間為t0，則甲以后運動到B點的時間也為t0，兩人的加速度大小為a。則對甲從出發(fā)向前運動s1時，由運動學(xué)公式s1at，此時甲的速度大小為vat1，對甲以后的運動過程s2sxs1vt0at，對乙從C到B的過程sxat，由以上四個式子整理可得sx，則A、B兩點之間的距離為sxs2s2，則B項正確。答案B13