功能關(guān)系、機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用1此知識(shí)點(diǎn)每年必考，試題往往與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，難度較大。2注意要點(diǎn)：(1)只涉及動(dòng)能的變化用動(dòng)能定理分析。(2)只涉及重力勢(shì)能的變化，用重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系分析。(3)只涉及機(jī)械能的變化，用除重力和彈簧的彈力之外的其他力做功與機(jī)械能變化的關(guān)系分析。二、考題再現(xiàn)典例1.(2019全國(guó)II卷18)從地面豎直向上拋出一物體，其機(jī)械能E總等于動(dòng)能Ek與重力勢(shì)能Ep之和。取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，該物體的E總和Ep隨它離開(kāi)地面的高度h的變化如圖所示。重力加速度取10 m/s2。由圖中數(shù)據(jù)可得()A物體的質(zhì)量為2 kgBh0時(shí)，物體的速率為20 m/sCh2 m時(shí)，物體的動(dòng)能Ek40 JD從地面至h4 m，物體的動(dòng)能減少100 J典例2.(2019全國(guó)I卷25)如圖，一質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的均勻柔軟細(xì)繩PQ豎直懸掛。用外力將繩的下端豎直面內(nèi)一傾斜軌道與一足夠長(zhǎng)的水平軌道通過(guò)一小段光滑圓弧平滑連接，小物塊B靜止于水平軌道的最左端，如圖（a）所示。t0時(shí)刻，小物塊A在傾斜軌道上從靜止開(kāi)始下滑，一段時(shí)間后與B發(fā)生彈性碰撞（碰撞時(shí)間極短）；當(dāng)A返回到傾斜軌道上的P點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）時(shí)，速度減為0，此時(shí)對(duì)其施加一外力，使其在傾斜軌道上保持靜止。物塊A運(yùn)動(dòng)的vt圖象如圖（b）所示，圖中的v1和t1均為未知量。已知A的質(zhì)量為m，初始時(shí)A與B的高度差為H，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。(1)求物塊B的質(zhì)量；(2)在圖（b）所描述的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求物塊A克服摩擦力所做的功；(3)已知兩物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均相等，在物塊B停止運(yùn)動(dòng)后，改變物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)，然后將A從P點(diǎn)釋放，一段時(shí)間后A剛好能與B再次碰上。求改變前面動(dòng)摩擦因數(shù)的比值。三、對(duì)點(diǎn)速練1如圖所示，過(guò)山車(chē)從斜軌上的最高點(diǎn)A由靜止滑下，經(jīng)最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最高點(diǎn)C的過(guò)程中，忽略空氣阻力和摩擦力，僅有動(dòng)能和重力勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化（取B處的重力勢(shì)能為零），則過(guò)山車(chē)()A在A處的機(jī)械能等于在C處的動(dòng)能B在A處的重力勢(shì)能大于在C處的動(dòng)能C在B處的機(jī)械能小于在C處的機(jī)械能D在B處的機(jī)械能等于在C處的重力勢(shì)能2如圖所示，傾角為30°的粗糙斜面與傾角為60°的足夠長(zhǎng)的光滑斜面對(duì)接在一起，兩斜面上分別放有質(zhì)量均為m的物塊甲和乙，兩物塊通過(guò)一跨過(guò)定滑輪的細(xì)線連在一起。在平行于斜面的拉力F的作用下兩物塊均做勻速運(yùn)動(dòng)（細(xì)線保持拉直狀態(tài))，從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，在甲物塊與滑輪相碰前的一段時(shí)間內(nèi)，下面的圖象中，x表示每個(gè)物塊所通過(guò)的路程，E表示兩物塊組成的系統(tǒng)的機(jī)械能，Wf表示甲物塊克服摩擦力所做的功，Ep表示兩物塊組成的系統(tǒng)的重力勢(shì)能，WF表示拉力F對(duì)乙物塊所做的功，則圖象中所反映的關(guān)系可能正確的是()3(多選)傳送帶是現(xiàn)代生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用于運(yùn)送貨物的運(yùn)輸工具，其大量應(yīng)用于工廠、車(chē)站、機(jī)場(chǎng)、地鐵站等。如圖所示，地鐵一號(hào)線的某地鐵站內(nèi)有一條水平勻速運(yùn)行的行李運(yùn)輸傳送帶，假設(shè)傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，且傳送帶足夠長(zhǎng)。某乘客將一個(gè)質(zhì)量為m的行李箱輕輕地放在傳送帶一端，行李箱與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。當(dāng)行李箱的速度與傳送帶的速度剛好相等時(shí)，地鐵站突然停電，假設(shè)傳送帶在制動(dòng)力的作用下立即停止運(yùn)動(dòng)。則下列說(shuō)法中正確的有()A行李箱在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為B行李箱相對(duì)于傳送帶的總位移為0C行李箱與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量為mv2D由于運(yùn)送行李箱，整個(gè)過(guò)程中傳送帶多消耗的電能為mv24(多選)用細(xì)繩拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球?qū)⒁还潭ㄔ趬ι系乃捷p質(zhì)彈簧壓縮了x(小球與彈簧不拴連)，如圖所示。將細(xì)繩剪斷后()A小球立即獲得的加速度B小球落地的速度大于C小球落地的時(shí)間等于D小球在細(xì)繩剪斷瞬間起開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)5(多選)如圖所示，A物體質(zhì)量為m，B質(zhì)量為2m，用一輕繩相連，將A用一輕彈簧懸掛于天花板上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x，彈性勢(shì)能為Ep，已知彈簧的彈性勢(shì)能與形變量的平方成正比，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)?，F(xiàn)將懸線剪斷，則在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A物體的()A最大動(dòng)能為B最大動(dòng)能為C速度達(dá)到最大時(shí)，彈簧彈力做功為D速度達(dá)到最大時(shí)，彈簧彈力做功為6(多選)用輕桿通過(guò)鉸鏈相連的小球A、B、C、D、E處于豎直平面上，各段輕桿等長(zhǎng)，其中小球A、B的質(zhì)量均為2m，小球C、D、E的質(zhì)量均為m?，F(xiàn)將A、B兩小球置于距地面高h(yuǎn)處，由靜止釋放，假設(shè)所有球只在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，則在下落過(guò)程中()A小球A、B、C、D、E組成的系統(tǒng)機(jī)械能和動(dòng)量均守恒B小球B的機(jī)械能一直減小C小球B落地的速度大小為D當(dāng)小球A的機(jī)械能最小時(shí)，地面對(duì)小球C的支持力大小為mg7(多選)如圖甲所示，質(zhì)量為1 kg的小物塊，以初速度v011 m/s從53º的固定斜面底端先后兩次滑上斜面，第一次對(duì)小物塊施加一沿斜面向上的恒力F，第二次不施加力，圖乙中的兩條線段a、b分別表示施加力F和無(wú)力F時(shí)小物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的vt圖線，不考慮空氣阻力，g10 m/s2，sin 37º0.6，cos 37º0.8，下列說(shuō)法正確的是()A有恒力作用時(shí)，恒力F做的功是6.5 JB小物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5C有恒力F時(shí)，小物塊在整個(gè)上升過(guò)程產(chǎn)生的熱量較少D有恒力F時(shí)，小物塊在整個(gè)上升過(guò)程機(jī)械能的減少量較少8(多選)如圖所示，質(zhì)量M1 kg的重物B和質(zhì)量m0.3 kg的小圓環(huán)A用細(xì)繩跨過(guò)一光滑滑輪軸連接，A端繩與輪連接，B端繩與軸相連接，不計(jì)輪軸的質(zhì)量，輪與軸有相同的角速度且輪和軸的直徑之比為21。重物B放置在傾角為30°固定在水平地面的斜面上，輕繩平行于斜面，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，圓環(huán)A套在豎直固定的光滑直桿上，滑輪軸中心與直桿的距離為L(zhǎng)4 m?，F(xiàn)將圓環(huán)A從與滑輪軸上表面等高處a靜止釋放，當(dāng)下降H3 m到達(dá)b位置時(shí)，圓環(huán)的速度達(dá)到最大值，已知直桿和斜面足夠長(zhǎng)，不計(jì)空氣阻力，取g10 m/s2。下列判斷正確的是()A圓環(huán)A到達(dá)b位置時(shí)，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了2.5 JB圓環(huán)A速度最大時(shí)，環(huán)A與重物B的速度之比為53C圓環(huán)A能下降的最大距離為7.5 mD圓環(huán)A下降過(guò)程，作用在重物B上的拉力始終大于10 N9如圖所示為一個(gè)兒童電動(dòng)小汽車(chē)的軌道傳送接收裝置，L1 m的水平直軌道AB與半徑均為0.4 m的豎直光滑螺旋圓軌道(O、O為圓心，C為最高點(diǎn))相切于B，B為第2個(gè)圓與水平軌道的切點(diǎn)，OD與OB的夾角為60°，接收裝置為高度可調(diào)節(jié)的平臺(tái)，EF為平臺(tái)上一條直線，O'EF在同一豎直平面內(nèi)，裝置切面圖可抽象為如圖所示模型。質(zhì)量為0.6 kg的電動(dòng)小汽車(chē)以額定功率P6 W從起點(diǎn)A啟動(dòng)沿軌道運(yùn)動(dòng)，剛好能通過(guò)C點(diǎn)，之后沿圓弧從B運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)后拋出，沿水平方向落到平臺(tái)E點(diǎn)，小汽車(chē)與水平直軌道AB的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，其余軌道均光滑。(空氣阻力不計(jì)，g取10 m/s2，小汽車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn))(1)求電動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間；(2)要保證小汽車(chē)沿水平方向到達(dá)平臺(tái)E點(diǎn)，求平臺(tái)調(diào)節(jié)到的高度H和EB的水平位移X。10如圖所示輕彈簧一端固定在水平面上的豎直擋板上，處于原長(zhǎng)時(shí)另一端位于水平面上B點(diǎn)處，B點(diǎn)左側(cè)光滑，右側(cè)粗糙。水平面的右側(cè)C點(diǎn)處有一足夠長(zhǎng)的斜面與水平面平滑連接，斜面傾角為37°，斜面上有一半徑為R1 m的光滑半圓軌道與斜面切于D點(diǎn)，半圓軌道的最高點(diǎn)為E，G為半圓軌道的另一端點(diǎn)，LBC2.5 m，A、B、C、D、E、G均在同一豎直面內(nèi)。使質(zhì)量m0.5 kg的小物塊P擠壓彈簧右端至A點(diǎn)，然后由靜止釋放P，P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)立即受到斜向右上方，與水平方向的夾角為37°，大小為F5 N的恒力，一直保持F對(duì)物塊P的作用，結(jié)果P通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)E時(shí)的速度為vEm/s。已知P與水平面斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，g取10 m/s2，sin 37°0.6，求：(1)P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大??；(2)彈簧的最大彈性勢(shì)能；(3)若其他條件不變，增大B、C間的距離使P過(guò)G點(diǎn)后恰好能垂直落在斜面上，求P在斜面上的落點(diǎn)距D點(diǎn)的距離。答案二、考題再現(xiàn)典例1.【解析】Eph圖像知其斜率為G，故G20 N，解得m2 kg，A正確；h0時(shí)，Ep0，EkE機(jī)Ep100 J0100 J，故mv2100 J，解得v10 m/s，B錯(cuò)誤；h2 m時(shí)，Ep40 J，EkE機(jī)Ep85 J40 J45 J，C錯(cuò)誤；h0時(shí)，EkE機(jī)Ep100 J0100 J，h4 m時(shí)，EkE機(jī)Ep80 J80 J0，故EkEk100 J，D正確?！敬鸢浮緼D典例2.【解析】(1)根據(jù)圖(b)，v1為物塊A在碰撞前的速度大小，為其碰撞后瞬間速度大小。設(shè)物塊B的質(zhì)量為m，碰撞后瞬間的速度v，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有：，聯(lián)立解得：m3m。(2)在圖(b)所描述的過(guò)程中，設(shè)物塊A與運(yùn)動(dòng)軌道間的滑動(dòng)摩擦力大小為f，下滑過(guò)程中所走的路程為s1，返回過(guò)程所走的路程為s2，P點(diǎn)的高度為h，整個(gè)過(guò)程中所克服摩擦力做功為W，由動(dòng)能定理有：由圖(b)可知：，物塊A整個(gè)過(guò)程中所克服摩擦力做功為：聯(lián)立解得：。(3)設(shè)傾斜軌道的傾角為，物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因?yàn)?，則有：設(shè)物塊B在軌道上滑行的距離為s，由動(dòng)能定理有：設(shè)改變后的動(dòng)摩擦因數(shù)為，由動(dòng)能定理有：聯(lián)立解得：。三、對(duì)點(diǎn)速練1【答案】B【解析】由題意可知，過(guò)山車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，A處動(dòng)能為0，C處動(dòng)能不為零，在A處的機(jī)械能大于在C處的動(dòng)能，A錯(cuò)誤；因?yàn)锳處的動(dòng)能為0，所以A處的機(jī)械能等于A處的重力勢(shì)能，且C處動(dòng)能和勢(shì)能均不為0，在A處的重力勢(shì)能大于在C處的動(dòng)能，B正確；因?yàn)檫^(guò)山車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，在B處的機(jī)械能等于在C處的機(jī)械能，C錯(cuò)誤；在B處的機(jī)械能等于在C處的機(jī)械能，且C處動(dòng)能和勢(shì)能均不為0，所以在B處的機(jī)械能大于在C處的重力勢(shì)能，D錯(cuò)誤。2【答案】C【解析】相同時(shí)間內(nèi)兩物塊的位移大小相等，但斜面傾角不同，得：h甲h乙，即任意段時(shí)間內(nèi)，乙增加的重力勢(shì)能大于甲減少的重力勢(shì)能，系統(tǒng)的重力勢(shì)能是增加的，而系統(tǒng)動(dòng)能不變，則系統(tǒng)的機(jī)械能也是增加的，故A、B錯(cuò)誤；甲物塊克服摩擦力所做的功Wfmgscos30°，svt，故Wft圖線為過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，同理WFt圖線亦為過(guò)原點(diǎn)的直線，故C正確，D錯(cuò)誤。3【答案】BC【解析】行李箱所受的合外力等于滑動(dòng)摩擦力，有mgma1，解得a1g，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t1行李箱和傳送帶剛好速度相等，解得t1，停電后，傳送帶停止運(yùn)動(dòng)，行李箱在摩擦力作用下繼續(xù)向前做勻減速直線運(yùn)動(dòng)且加速度大小依舊為g，則減速時(shí)間t2，則行李箱在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；行李箱在加速過(guò)程和減速過(guò)程中，行李箱和傳送帶的相對(duì)位移大小均為，但方向相反，總的相對(duì)位移為零，選項(xiàng)B正確；全程行李箱與傳送帶間的相對(duì)路程為，摩擦力大小不變，所以總過(guò)程產(chǎn)生的內(nèi)能Qmg·mv2，選項(xiàng)C正確；根據(jù)能量守恒，多消耗的電能等于全程產(chǎn)生的內(nèi)能，為mv2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。4【答案】BC【解析】初態(tài)小球平衡，剪斷繩后，小球合外力與繩中拉力等大反向：，所以加速度：，A錯(cuò)誤。設(shè)初態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep，根據(jù)機(jī)械能守恒得：，速度大于，B正確；小球被水平彈出后，只受重力做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向：，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，C正確；小球在細(xì)繩剪斷瞬間，仍受彈簧彈力，所以不是平拋運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。5【答案】AD【解析】設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，初始狀態(tài)，動(dòng)能最大時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量，知A物體向上移動(dòng)的距離xx，已知彈簧的彈性勢(shì)能與形變量的平方成正比，則A物體動(dòng)能最大時(shí)，彈性勢(shì)能為，則彈性勢(shì)能減小。因?yàn)閺椓ψ龉Φ扔趶椥詣?shì)能的減小量，所以A物體速度達(dá)到最大時(shí)，彈簧彈力做功為。在此過(guò)程中，彈性勢(shì)能減小，重力勢(shì)能增加mgx，則動(dòng)能增加，即最大動(dòng)能為。故AD正確，BC錯(cuò)誤。6【答案】CD【解析】小球A、B、C、D、E組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒但動(dòng)量不守恒，故A錯(cuò)誤；由于D球受力平衡，所以D球在整個(gè)過(guò)程中不會(huì)動(dòng)，所以輕桿DB對(duì)B不做功，而輕桿BE對(duì)B先做負(fù)功后做正功，所以小球B的機(jī)械能先減小后增加，故B錯(cuò)誤；當(dāng)B落地時(shí)小球E的速度等于零，根據(jù)功能關(guān)系mghmv2可知小球B的速度為，故C正確；當(dāng)小球A的機(jī)械能最小時(shí)，輕桿AC沒(méi)有力，小球C豎直方向上的力平衡，所以支持力等于重力，故D正確。7【答案】BD【解析】根據(jù)vt圖線的斜率等于加速度，可知：；根據(jù)牛頓第二定律得：不加拉力時(shí)有：mabmgsin53°mgcos53°；代入數(shù)據(jù)得：0.5；加拉力時(shí)有：maaFmgsin53°mgcos53°，解得：F1N位移，則恒力F做的功是WFFx6.05J，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)vt圖象與坐標(biāo)軸所圍的面積表示位移，可知有恒力F時(shí)小物塊的位移較大，所以在上升過(guò)程產(chǎn)生的熱量較大。故C錯(cuò)誤；有恒力F時(shí)，小物塊上升的高度比較大，所以該過(guò)程物塊重力勢(shì)能增加量較大，而升高的過(guò)程中動(dòng)能的減小量是相等的，所以有恒力F時(shí)，小物塊在整個(gè)上升過(guò)程機(jī)械能的減少量較小。故D正確。8【答案】AC【解析】輪與軸有相同的角速度且輪和軸的直徑之比為2:1，可知v輪：v軸2:1，則xA：xB2:1，圓環(huán)A到達(dá)b位置時(shí)，重物B沿斜面的運(yùn)動(dòng)的位移，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了，故選項(xiàng)A正確；圓環(huán)A速度最大時(shí)，設(shè)繩與直桿的夾角為，則cos0.6，由vAcos ：vB2:1，得vAcos ：vB10:3，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；圓環(huán)A能下降的最大距離為Hm，重物B沿斜面的運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)能量守恒可知：，解得圓環(huán)A能下降的最大距離為，故選項(xiàng)C正確；圓環(huán)A先向下做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，所以重物B也是先加速后減速，而重物B受到的重力、支持力和摩擦力都保持不變，繩子對(duì)B的拉力：，即：，所以繩子對(duì)B的拉力先大于10N后小于10N，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。9【解析】(1)小汽車(chē)恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，有：mgm從A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：Pt-mgL-2mgR-0聯(lián)立解得t1.2 s(2)從C到D過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：mg(R+Rsin 30°)+解得vD4 m/svDsin 30°2 m/svDcos 30°m/s將從D到E的運(yùn)動(dòng)看成逆向平拋運(yùn)動(dòng)，有g(shù)thgt2xtHh+R(1-cos 60°)Xx+Rsin 60°解得H0.8 m；Xm10【解析】(1) P在半圓軌道的最高點(diǎn)E，設(shè)軌道對(duì)P的壓力為FN，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：解得：FN3 N由牛頓第三定律得，P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力FN3 N。(2)P從D點(diǎn)到E點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：解得：m/sP從C點(diǎn)到D點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：Fmgsin37°mgcos 37°ma1解得a10，說(shuō)明P從C點(diǎn)到D點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，故m/s由能的轉(zhuǎn)化和守恒得：解得：Epm1 J。(2)P在G點(diǎn)脫離圓軌道，做曲線運(yùn)動(dòng)，把該運(yùn)動(dòng)分解為平行于斜面的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于斜面的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：Fmgsin37°ma3，mgcos 37°ma4解得：a34 m/s2，a48 m/s2P垂直落在斜面上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間滿足：平行于斜面方向上：0vGa3t聯(lián)立解得：m/s平行于斜面方向上：m即P在斜面上的落地距D的距離x1 m。12