突破10 牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用之臨界極值問題 一、臨界或極值條件的標(biāo)志(1)有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明題述的過程存在臨界點(diǎn)。(2)若題目中有“取值范圍”、“多長時(shí)間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在“起止點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就對應(yīng)臨界狀態(tài)。(3)若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程存在極值，這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。(4)若題目要求“最終加速度”、“穩(wěn)定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。二、幾種臨界狀態(tài)和其對應(yīng)的臨界條件如下表所示臨界狀態(tài)臨界條件速度達(dá)到最大物體所受的合外力為零兩物體剛好分離兩物體間的彈力FN0繩剛好被拉直繩中張力為零繩剛好被拉斷繩中張力等于繩能承受的最大拉力 三、 解決臨界問題的基本思路(1)認(rèn)真審題，詳盡分析問題中變化的過程(包括分析整體過程中有幾個(gè)階段)；(2)尋找過程中變化的物理量；(3)探索物理量的變化規(guī)律；(4)確定臨界狀態(tài)，分析臨界條件，找出臨界關(guān)系。挖掘臨界條件是解題的關(guān)鍵。如例5中第(2)的求解關(guān)鍵是：假設(shè)球剛好不受箱子的作用力，求出此時(shí)加速度a?！镜淅?】如圖所示，37°，m2 kg，斜面光滑，g取10 m/s2，斜面體以a20 m/s2的加速度沿水平面向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩對物體的拉力為多大？ 【答案】【解析】 設(shè)m處在這種臨界狀態(tài)，則此時(shí)m對斜面體的壓力為零由牛頓第二定律可知，臨界加速度a0gcot10×3(4) m/s23(40) m/s2.將臨界狀態(tài)的加速度a0與題設(shè)給出的加速度進(jìn)行比較，知a>a0，所以m已離開斜面體，此時(shí)的受力情況如圖所示， 由平衡條件和牛頓第二定律可知：Tcosma，Tsinmg.注意：a0，所以 【典例2】如圖所示，水平地面上的矩形箱子內(nèi)有一傾角為的固定斜面，斜面上放一質(zhì)量為m的光滑球。靜止時(shí)，箱子頂部與球接觸但無壓力。箱子由靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后改做加速度大小為a的勻減速運(yùn)動(dòng)直至靜止，經(jīng)過的總路程為s，運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為v。 (1)求箱子加速階段的加速度大小a；(2)若agtan ，求減速階段球受到箱子左壁和頂部的作用力。 FNsin ma解得Fm(tan (a)g) 【典例3】如圖所示，將質(zhì)量m1.24 kg的圓環(huán)套在固定的水平直桿上，環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑，環(huán)與桿的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.8。對環(huán)施加一位于豎直平面內(nèi)斜向上與桿夾角53°的恒定拉力F，使圓環(huán)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，第1 s內(nèi)前進(jìn)了2 m。(取g10 m/s2，sin 53°0.8，cos 53°0.6)求： (1)圓環(huán)加速度a的大??；(2)拉力F的大小?！敬鸢浮?(1)4 m/s2 (2)12 N或124 N【解析】 (1)圓環(huán)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知x2(1)at2at2(2x)12(2×2) m/s24 m/s2(2)令Fsin 53°mg0，則F15.5 N當(dāng)F<15.5 N時(shí)，環(huán)與桿上部接觸，受力如圖甲所示。 甲 乙由牛頓第二定律可知Fcos FNmaFsin FNmg由此得Fcos sin (m（ag）)124 N【跟蹤短訓(xùn)】1. 如圖甲所示，A、B兩物體疊放在一起放在光滑的水平面上，B物體從靜止開始受到一個(gè)水平變力的作用，該力與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，運(yùn)動(dòng)過程中A、B始終保持相對靜止。則在02t0時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是( ) A.t0時(shí)刻，A、B間的靜摩擦力最大，加速度最小B.t0時(shí)刻，A、B的速度最大C.0時(shí)刻和2t0時(shí)刻，A、B間的靜摩擦力最大D.2t0時(shí)刻，A、B離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)，速度為0【答案】 BCD【解析】 t0時(shí)刻，A、B受力F為0，A、B加速度為0，A、B間靜摩擦力為0，加速度最小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在0至t0過程中，A、B所受合外力逐漸減小，即加速度減小，但是加速度與速度方向相同，速度一直增加，t0時(shí)刻A、B速度最大，選項(xiàng)B正確；0時(shí)刻和2t0時(shí)刻A、B所受合外力F最大，故A、B在這兩個(gè)時(shí)刻加速度最大，為A提供加速度的A、B間靜摩擦力也最大，選項(xiàng)C正確；A、B先在F的作用下加速，t0后F反向，A、B繼而做減速運(yùn)動(dòng)，到2t0時(shí)刻，A、B速度減小到0，位移最大，選項(xiàng)D正確。2. 如圖所示，在水平向右運(yùn)動(dòng)的小車上，有一傾角為的光滑斜面，質(zhì)量為m的小球被平行于斜面的細(xì)繩系住并靜止在斜面上，當(dāng)小車加速度發(fā)生變化時(shí)，為使球相對于車仍保持靜止，小車加速度的允許范圍為多大？ 【答案】a向左時(shí)，agtan；a向右時(shí)，agcot 3. 一根勁度系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，有一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長度如圖所示現(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a(ag)勻加速向下移動(dòng)求經(jīng)過多長時(shí)間木板開始與物體分離 【答案】 4. 如圖 (a)所示，一輕繩上端系在車的左上角的A點(diǎn)，另一輕繩一端系在車左端B點(diǎn)，B點(diǎn)在A點(diǎn)正下方，A、B距離為b，兩繩另一端在C點(diǎn)相連并系一質(zhì)量為m的小球，繩AC長度為b，繩BC長度為b.兩繩能夠承受的最大拉力均為2mg.求： (1)繩BC剛好被拉直時(shí)如圖(b)所示，車的加速度是多大？(2)為不拉斷輕繩，車向左運(yùn)動(dòng)的最大加速度是多大？【答案】 (1)g (2)3g【解析】 (1)繩BC剛好被拉直時(shí)，小球受力如圖所示， 因?yàn)锳BBCb，ACb，故繩BC方向與AB垂直，cos 2(2)，45°，由牛頓第二定律，得TAsin ma，且TAcos mg，可得ag.(2)小車向左加速度增大，AC、BC繩方向不變，所以AC繩拉力不變，BC繩拉力變大，BC繩拉力最大時(shí)，小車向左加速度最大，由牛頓第二定律，得TBmTAsin mam因?yàn)門Bm2mg，所以最大加速度為am3g. 5. 如圖所示，一直立的輕桿長為L，在其上、下端各緊套一個(gè)質(zhì)量分別為m和2m的圓環(huán)狀彈性物塊A、B。A、B與輕桿間的最大靜摩擦力分別是Ff1mg、Ff22mg，且滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等。桿下方存在這樣一個(gè)區(qū)域：當(dāng)物塊A進(jìn)入該區(qū)域時(shí)受到一個(gè)豎直向上的恒力F作用，而B在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)不受其作用，PQ、MN是該區(qū)域上下水平邊界，高度差為h(L2h)?，F(xiàn)讓桿的下端從距離上邊界PQ高h(yuǎn)處由靜止釋放，重力加速度為g。 (1)為使A、B間無相對運(yùn)動(dòng)，求F應(yīng)滿足的條件。(2)若F3mg，求物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間的距離?！敬鸢浮?(1)F2(3)mg (2)L2(3)h vA當(dāng)F3mg時(shí)，A相對于輕桿向上滑動(dòng)，設(shè)A的加速度為a1，則有：mgFf1Fma1，解得：a1gA向下減速運(yùn)動(dòng)位移h時(shí)，速度剛好減小到零，此過程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tg(2h)由于桿的質(zhì)量不計(jì)，在此過程中，A對桿的摩擦力與B對桿的摩擦力方向相反，大小均為mg，B受到桿的摩擦力小于2mg，則B與輕桿相對靜止，B和輕桿整體受到重力和A對桿的摩擦力作用，以vA為初速度，以a2為加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可得：a22m(2mgmg)2(g)物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B之間的距離為：LLh(vAt2(1)a2t2)L2(3)h。6. 中央電視臺推出了一個(gè)游戲節(jié)目推礦泉水瓶選手們從起點(diǎn)開始用力推瓶一段時(shí)間后，放手讓瓶向前滑動(dòng)，若瓶最后停在桌上有效區(qū)域內(nèi)，視為成功；若瓶最后不能停在桌上有效區(qū)域內(nèi)或在滑行過程中倒下，均視為失敗其簡化模型如圖所示，AC是長度為L15 m的水平桌面，選手們可將瓶子放在A點(diǎn)，從A點(diǎn)開始用一恒定不變的水平推力推瓶，BC為有效區(qū)域已知BC長度為L21 m，瓶子質(zhì)量為m0.5 kg，瓶子與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.4.某選手作用在瓶子上的水平推力F20 N，瓶子沿AC做直線運(yùn)動(dòng)(g取10 m/s2)，假設(shè)瓶子可視為質(zhì)點(diǎn)，那么該選手要想游戲獲得成功，試問： (1)推力作用在瓶子上的時(shí)間最長不得超過多少？(2)推力作用在瓶子上的距離最小為多少？【答案】 (1)6(1) s (2)0.4 m (2)要想游戲獲得成功，瓶滑到B點(diǎn)速度正好為零時(shí)，推力作用距離最小，設(shè)最小距離為d，則：2a1(v2)2a2(v2)L1L2v22a1d，聯(lián)立解得：d0.4 m.10