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《垂徑定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 單 位：登封市大金店二中 授課教師： 唐 海 廣 《垂徑定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、學(xué)生起點(diǎn)分析 學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七、八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念和性質(zhì)，等腰三角形的對(duì)稱性，以及本節(jié)定理的證明要用到的三角形全等的知識(shí)，在本章前兩節(jié)課中也已經(jīng)初步理解了圓的軸對(duì)稱性和圓弧的表示等知識(shí)，具備探索證明幾何定理的基本技能． 學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握探究圖形性質(zhì)的不同手段和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力． 二、教學(xué)任務(wù)分析 該節(jié)內(nèi)容為1課時(shí)．圓是一種特殊圖形，它是軸對(duì)稱圖形，學(xué)生通過類比等腰三角形的軸對(duì)稱性，能利用圓的軸對(duì)稱性探索、證明得出圓的垂徑定理及其逆定理．具體地說，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 知識(shí)與技能 1．利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理； 2．運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決問題． 過程與方法 1．經(jīng)歷運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性探索圓的相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法． 情感與態(tài)度 1. 培養(yǎng)學(xué)生類比分析，猜想探索的能力． 2. 通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神． 教學(xué)重點(diǎn)：利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理． 教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時(shí)如何添加輔助線． 三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析 本節(jié)課設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： 類比引入，猜想探索，知識(shí)應(yīng)用，歸納小結(jié). 第一環(huán)節(jié) 類比引入 活動(dòng)內(nèi)容： 1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？ 2.如果將一等腰三角形沿底邊上的高對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 3.如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對(duì)稱圖形呢？ 活動(dòng)目的： 通過等腰三角形的軸對(duì)稱性向圓的軸對(duì)稱性過渡，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力． 第二環(huán)節(jié) 猜想探索 活動(dòng)內(nèi)容： 1．如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M． （1）該圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由． 條件：① CD是直徑；② CD⊥AB 結(jié)論（等量關(guān)系）：③AM=BM； ④=；⑤=. 證明：連接OA,OB,則OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱. ∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱, ∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí), 點(diǎn)A與點(diǎn)B重合, 和重合, 和重合. ∴ =，=. 2．證明完畢后，讓學(xué)生自行用文字語言表述這一結(jié)論，最后提煉出垂徑定理的內(nèi)容——垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 3．辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？ O C D B A 注意：定理中的兩個(gè)條件缺一不可——直徑（半徑），垂直于弦． 通過以上辨析，讓學(xué)生對(duì)垂徑定理的兩個(gè)條件的必要性有更充分的認(rèn)識(shí)． 4．垂徑定理逆定理的探索 如圖，AB是⊙O 的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M. （1）下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由. 條件：① CD是直徑；② AM=BM 結(jié)論（等量關(guān)系）：③CD⊥AB； ④=；⑤=. 讓學(xué)生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容 ——平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 5．辨析：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧．”如果該定理少了“不是直徑”，是否也能成立？ O D B A C 反例： 活動(dòng)目的： 活動(dòng)1的主要目的是通過讓學(xué)生猜想、類比、探索和證明獲得新知，從而得到研究數(shù)學(xué)的多種方法的體會(huì)，獲取經(jīng)驗(yàn)；活動(dòng)2 的主要目的是讓學(xué)生通過對(duì)定理表述反復(fù)的語言提煉，鍛煉學(xué)生的歸納能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎瞿芰?，并?duì)定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)；活動(dòng)3的主要目的是通過反例使學(xué)生對(duì)定理的嚴(yán)謹(jǐn)性有更深的認(rèn)識(shí)；活動(dòng)4的主要目的與活動(dòng)1相似，并讓學(xué)生與活動(dòng)1類比，提高探索能力；活動(dòng)5的主要目的與活動(dòng)3相似． 實(shí)際教學(xué)效果： 在活動(dòng)1中的證明時(shí)，學(xué)生對(duì)如何證明平分弦，可能會(huì)有一定困難，此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類比等腰三角形，通過連接OA、OB，構(gòu)造等腰三角形，并利用三角形全等的知識(shí)來證明；另外，在證明直徑平分弦所對(duì)的弧，也是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生會(huì)覺得比較難表述，這時(shí)應(yīng)類比等腰三角形的軸對(duì)稱性，運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性啟發(fā)引導(dǎo)；在活動(dòng)2中，學(xué)生的說法可能不夠準(zhǔn)確、精煉，但教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生堅(jiān)持勇于嘗試，讓學(xué)生互相指出說法的不足和缺陷，互相加以修正，在反復(fù)的語言提煉中對(duì)定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，這也是一個(gè)自主構(gòu)建的過程；活動(dòng)3是通過反例說明定理的條件的必要性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要注意讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過反例找出對(duì)應(yīng)缺失的條件，提高學(xué)生對(duì)定理的理解；在活動(dòng)4中，學(xué)生已經(jīng)有了活動(dòng)1的經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)放手讓學(xué)生去猜想、類比、探索和證明，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索的領(lǐng)悟和經(jīng)驗(yàn)；活動(dòng)5與活動(dòng)3相似． 第三環(huán)節(jié) 知識(shí)應(yīng)用 活動(dòng)內(nèi)容： 講解例題及完成隨堂練習(xí)． 1．例：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中,點(diǎn)0是所在圓的圓心），其中CD=600m，E為上的一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑． 解：連接OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m． ∵OE⊥CD 根據(jù)勾股定理，得 OC=CF +OF 即 R=300+(R-90). 解這個(gè)方程，得R=545. 所以，這段彎路的半徑為545m. 2．隨堂練習(xí)1．1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長）為37.4米，拱高（即弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，求橋拱所在圓的半徑．（結(jié)果精確到0.1米）． 3．隨堂練習(xí)2．如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？ 有三種情況：（1）圓心在平行弦外； （2）圓心在其中一條弦上； O C D B A O C D B A O C D B A （3）圓心在平行弦內(nèi)． 活動(dòng)目的：活動(dòng)1、2的主要目的是讓學(xué)生應(yīng)用新知識(shí)構(gòu)造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題；活動(dòng)3的主要目的是讓學(xué)生通過作垂線段構(gòu)造符合定理使用的條件，從而運(yùn)用定理解決問題，以及培養(yǎng)學(xué)生解題中的分類思想． 實(shí)際教學(xué)效果： 在活動(dòng)4中，對(duì)于例題和隨堂練習(xí)1教師要引導(dǎo)學(xué)生如何夠造可以應(yīng)用垂徑定理的幾何構(gòu)圖，讓學(xué)生積累如何添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)，以及體會(huì)到構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理列方程在解決幾何問題中的作用，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．對(duì)于隨堂練習(xí)2，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過自行畫圖，探索分析符合條件圖形有多少種情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內(nèi)，并通過添加輔助線構(gòu)造可以應(yīng)用垂徑定理的條件，以及比較三種構(gòu)圖的共同點(diǎn)，得出說理的思路都是一樣的結(jié)論． 第四環(huán)節(jié) 歸納小結(jié) 活動(dòng)內(nèi)容： 學(xué)生交流總結(jié) 1．利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理. 2．解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件. 活動(dòng)目的： 通過回顧本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的收獲和感想，加深對(duì)本節(jié)課知識(shí)和探索方法的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成歸納反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 實(shí)際教學(xué)效果： 學(xué)生在互相交流中，對(duì)于歸納出來的內(nèi)容，會(huì)有各種表述，大多都是圍繞知識(shí)本身，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探索知識(shí)的方法也能歸納反思． 四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思 1．要從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的角度使用教材 教材為教師提供了基本的教學(xué)素材，但如何使用這些素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整．學(xué)生在探索垂徑定理的時(shí)候，其中一個(gè)難點(diǎn)在于如何證明垂徑定理，這時(shí)通過類比等腰三角形的軸對(duì)稱性，可以使學(xué)生對(duì)證明的思考得到突破，從而尋找出合理的證明方向．這既使學(xué)生掌握了新知識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的類比思想和觀察、猜想的能力． 2．要鼓勵(lì)學(xué)生敢于表述和善于糾錯(cuò) 垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個(gè)難點(diǎn)，教師如果直接給出，則學(xué)生就少了一個(gè)鍛煉表述能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龅臋C(jī)會(huì)．因此，應(yīng)該讓學(xué)生大膽表述，并對(duì)各人的表述嚴(yán)謹(jǐn)分析，找出漏洞，反復(fù)提煉，直至得出正確的說法，使學(xué)生得到更好的鍛煉． 3．注意改進(jìn)的方面 本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)是如何添加輔助線，這在最后的歸納反思中應(yīng)該要有足夠的時(shí)間讓學(xué)生交流討論，但是限于本節(jié)課的時(shí)間，這是一個(gè)客觀限制，不應(yīng)該勉強(qiáng)在課堂上完成，效果并不理想，應(yīng)該留作課后作業(yè)，讓學(xué)生能通過更充分的討論才得出結(jié)論，這樣才能起到更好地交流和反思的作用． 8 / 8