平面問題的基本理論 平面問題的直角坐標(biāo)解答 平面問題的極坐標(biāo)解答 空間問題的基本理論 空間問題的解答大 綱1第1頁/共105頁第二章 平面問題的基本理論第2頁/共105頁目錄 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變 平衡微分方程 平面應(yīng)力狀態(tài) 幾何方程 剛體位移 物理方程 邊界條件 圣維南原理及其應(yīng)用 按位移求解平面問題 按應(yīng)力求解平面問題 相容方程 常體力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)提 要3第3頁/共105頁1. 平衡微分方程平衡微分方程00yxxxxyyyfxyfxy（2-2）2. 幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx（2-8）3. 物理方程物理方程（平面應(yīng)力問題）（平面應(yīng)力問題）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12）4. 邊界條件邊界條件位移：位移：vvuuss（2-14）應(yīng)力：應(yīng)力：()()( )()()( )xsxysxysxysylmf smlfs（2-15）平面問題的基本方程4平面問題基本方程221()11()12(1)xxyyyxxyxyEEE（2-13）（平面應(yīng)變問題）（平面應(yīng)變問題）平面應(yīng)力平面應(yīng)變：.1 ,12EE第4頁/共105頁按位移求解平面問題的基本方程（1 1）平衡方程：）平衡方程：222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y （2-18）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,（2-14）應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：221( )121( )12xssyssEuvuvlmfsxyyxEvuvumlfsyxxy（2-19）5按位移求解平面問題的基本方程（平面應(yīng)力問題）（平面應(yīng)力問題）平面應(yīng)力平面應(yīng)變：.1 ,12EE第5頁/共105頁按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）2222()(1)yxxyffyxxy （3）邊界條件：）邊界條件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）6按應(yīng)力求解平面問題22221()1yxxyffxyxy （平面應(yīng)變情形）（平面應(yīng)變情形）第6頁/共105頁（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件）邊界條件()()()()xsxysxysxysylmfmlf0)(2yx常體力下平面問題的基本方程7常體力下平面問題的基本方程全解全解 = 齊次方程齊次方程通解通解+非齊次方程的非齊次方程的特解特解。,0;xxyyxyf xf y 0,0,;xyxyxyf yf x ,xxyyxyf xf yf xf y 1 特解特解常體力下特解形式：常體力下特解形式：2 通解通解yxxy2,22yx,22xy024422444yyxx 040)(22第7頁/共105頁第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答第8頁/共105頁目錄 逆解法與半逆解法 多項式解答 矩形梁的純彎曲 位移分量的求出 簡支梁受均布載荷 楔形體受重力和液體壓力提 要9第9頁/共105頁應(yīng)力函數(shù)的求解方法1逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-25）的(x,y) 的形式；（2） 主要適用于簡單邊界條件的問題。然后利用應(yīng)力分量計算式（2-24），求出 （具有待定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-15），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問題。應(yīng)力函數(shù)的求解方法10第10頁/共105頁多項式解答適用性：適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決，能解決什么樣的力學(xué)問題。什么樣的力學(xué)問題。逆解法多項式解答11第11頁/共105頁應(yīng)力函數(shù)的求解方法2半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；xyyx,04（3）最后利用式（2-24）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。應(yīng)力函數(shù)的求解方法12第12頁/共105頁多項式解答cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：是否滿足雙調(diào)和方程：0244224444yyxx顯然顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1. 一次多項式一次多項式（2）（3）對應(yīng)的應(yīng)力分量：對應(yīng)的應(yīng)力分量：02yxxy22xxf xy0 xxf xf x 0yyf yf y 22yyf yx若體力：若體力：fx = fy=0，則有：，則有：0 xyyx多項式解答13結(jié)論結(jié)論1：（1）（2）一次多項式對應(yīng)于一次多項式對應(yīng)于無體力、無面力和無應(yīng)力狀態(tài)；無體力、無面力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。第13頁/共105頁多項式解答2. 二次多項式二次多項式（1）22cybxyax其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。(假定：假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )（3）由式（由式（2-24）計算應(yīng)力分量：）計算應(yīng)力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy多項式解答14結(jié)論結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。均勻應(yīng)力分布。第14頁/共105頁多項式解答結(jié)論結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。均勻應(yīng)力分布。xy020( , )2x yy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：例：xy00 xyyx0),(2. 二次多項式二次多項式多項式解答15第15頁/共105頁3. 三次多項式三次多項式（1）3223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：假定：fx =fy = 0)（3）由式（由式（2-24）計算應(yīng)力分量：）計算應(yīng)力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222結(jié)論結(jié)論3：三次多項式對應(yīng)于三次多項式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。線性應(yīng)力分布。多項式解答多項式解答16第16頁/共105頁討論：討論：3,ay取(0)xyff可算得：可算得：0 xy6xay0yxy12h2hll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：圖示梁對應(yīng)的邊界條件：:2hy 0, 0 xyy: lx6,0 xxyaymin3ahmax3ahMM3ay可見：可見： 對應(yīng)于矩形截面梁的對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題純彎曲問題應(yīng)力分布。應(yīng)力分布。常數(shù)常數(shù) a 與彎矩與彎矩 M 的關(guān)系：的關(guān)系：220hhxdy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：2260hhay ay多項式求解多項式解答17第17頁/共105頁(2)Mdyyhhx222226hhay dyM32ahM32()Mah或yIMxyhMx312yhMx)12/(3此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。多項式求解多項式解答18xy12h2hllmin3ahmax3ahMM220hhxdy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：2260hhay ay第18頁/共105頁多項式求解0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max說明：說明：(1)組成梁端力偶組成梁端力偶 M 的面力的面力須須線性分布線性分布，且中心處為零，且中心處為零，結(jié)果才是結(jié)果才是精確的精確的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。大，離端部較遠處誤差較小。(3)當(dāng)當(dāng) l 遠大于遠大于 h 時，誤差較??；反之誤差較大。時，誤差較??；反之誤差較大。多項式解答19第19頁/共105頁4. 四次多項式四次多項式（1）432234eydxyycxybxax檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程是否滿足雙調(diào)和方程（2）42228cxy ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca多項式求解432234eydxyycxybxax可見，對于函數(shù)：可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：033eca多項式解答20第20頁/共105頁（3）應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。（4）特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy（須滿足：（須滿足：a + e =0）多項式求解多項式解答214. 四次多項式四次多項式432234eydxyycxybxax第21頁/共105頁總結(jié) 多項式應(yīng)力函數(shù)多項式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)（1） 多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)時，則系數(shù)須滿足須滿足一定條件，才能滿足一定條件，才能滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項式，對應(yīng)于一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上上加上或減去一個或減去一個一次多項式一次多項式，對應(yīng)力無影響。，對應(yīng)力無影響。二次多項式二次多項式，對應(yīng)，對應(yīng)均勻應(yīng)力均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式三次多項式，對應(yīng)于對應(yīng)于線性分布應(yīng)力線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解決簡單逆解法（只能解決簡單直直線應(yīng)力邊界線應(yīng)力邊界問題）。問題）。多項式解答總結(jié)22第22頁/共105頁（1）討論：討論：常數(shù)00 xEIMyuxx當(dāng)當(dāng) x = x0 =常數(shù)常數(shù)xEIMyuxyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx說明：說明： 同一截面上的各鉛垂線同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面橫截面保持平面 材力中材力中“平面假設(shè)平面假設(shè)” 成立。成立。23矩形梁的純彎曲0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)第23頁/共105頁（2）常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對將下式中的第二式對 x 求二階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)：0uyxyEIMu說明：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力學(xué)中的撓曲線微分方程材料力學(xué)中的撓曲線微分方程24矩形梁的純彎曲第24頁/共105頁（1）兩端簡支）兩端簡支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其邊界條件：其邊界條件：000yxu000yxv將其代入將其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回將其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力中結(jié)果相同與材力中結(jié)果相同00ylxv位移邊界條件的利用25位移邊界條件的利用第25頁/共105頁位移邊界條件的利用（2）懸臂梁）懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)邊界條件邊界條件0lxv0lxu22hyh由式（由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：邊界條件改寫為：0, 000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxxv（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）h/2h/226位移邊界條件的利用第26頁/共105頁h/2h/2代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv位移邊界條件的利用27位移邊界條件的利用第27頁/共105頁位移邊界條件的利用yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)撓曲線方程：撓曲線方程：20)(2|xlEIMvy與材料力學(xué)中結(jié)果相同與材料力學(xué)中結(jié)果相同h/2h/228位移邊界條件的利用第28頁/共105頁h/2h/2說明：說明：（1）求位移的過程：求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程）將應(yīng)力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程）再將應(yīng)變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。位移邊界條件的利用29位移邊界條件的利用第29頁/共105頁（2） 若為平面應(yīng)變問題，則將材料常若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)數(shù)E、作相應(yīng)替換。作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：若取固定端邊界條件為：h/2h/20, 000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxyu（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl求得：求得：00uEIMlv220EIMl此結(jié)果與前面情形相同。此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？為什么？）位移邊界條件的利用30位移邊界條件的利用第30頁/共105頁應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q(1)分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。引起（擠壓應(yīng)力）。又又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)31簡支梁受均布載荷 - 應(yīng)力函數(shù)的確定第31頁/共105頁xyllqlql1yzh/2h/2q(3)由由 確定：確定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx應(yīng)力函數(shù)的確定32應(yīng)力函數(shù)的確定第32頁/共105頁xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：方程的特點：關(guān)于關(guān)于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。內(nèi)方程均成立。由由“高等代數(shù)高等代數(shù)”理論，須有理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對前兩個方程積分：對前兩個方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c) 此處略去了此處略去了f1(y)中的常數(shù)項中的常數(shù)項對第三個方程得：對第三個方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：積分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)33應(yīng)力函數(shù)的確定第33頁/共105頁GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)將將(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項中的一次項和常數(shù)項式中含有式中含有9個待定常數(shù)。個待定常數(shù)。34應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q第34頁/共105頁應(yīng)力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)35應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q22yyf yx22xxf xy2xyx y (2-24)第35頁/共105頁（1）對稱條件的應(yīng)用：）對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 對稱、幾何對稱：對稱、幾何對稱：yx, x 的偶函數(shù)的偶函數(shù)xy x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式對任意的要使上式對任意的 y 成立，須有：成立，須有：0GFE36對稱條件與邊界條件的應(yīng)用第36頁/共105頁（2）邊界條件的應(yīng)用：）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）：上下邊界（主要邊界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入應(yīng)力公式代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2q37對稱條件與邊界條件的應(yīng)用第37頁/共105頁xyllqlql1yzh/2h/2q(b) 左右邊界（次要邊界）：左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）（由于對稱，只考慮右邊界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：靜力等效條件：軸力軸力 N = 0；彎矩彎矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx38對稱條件與邊界條件的應(yīng)用第38頁/共105頁0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhq0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx39對稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q第39頁/共105頁KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )qllyhqyhqlhy223232362可見，這一條件自動滿足?？梢姡@一條件自動滿足。40對稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q0KhqhqlH1032第40頁/共105頁xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx22112hyhyqy22346yhxhqxyxyxy)()(103)(3222qxlhq三次拋物線三次拋物線q截面上的應(yīng)力分布：截面上的應(yīng)力分布：41對稱條件與邊界條件的應(yīng)用(p)第41頁/共105頁與材料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy材力中幾個參數(shù)材力中幾個參數(shù)：截面寬：截面寬：b=1 ,3121hI截面慣矩：截面慣矩：靜矩：靜矩：2822yhS彎矩：彎矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ將其代入式將其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）42與材料力學(xué)結(jié)果比較第42頁/共105頁比較，得：比較，得：（1）xxy第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第二項為修正項。當(dāng)?shù)诙棡樾拚棥．?dāng) h / la），圓孔半徑為），圓孔半徑為 a，在無限遠處受有均勻拉應(yīng)力在無限遠處受有均勻拉應(yīng)力 q 作用。作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。求：孔邊附近的應(yīng)力。孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第79頁/共105頁（2）問題的求解）問題的求解 問題分析問題分析坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。),(rA 取一半徑為取一半徑為 r =b (ba），在其），在其上取一點上取一點 A 的應(yīng)力：的應(yīng)力：OxybAqxArrrA由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原問題轉(zhuǎn)化為：原問題轉(zhuǎn)化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。rrb孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第80頁/共105頁rr新問題的邊界條件可表示為：新問題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）問題問題12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba問題問題2將外邊界條件（將外邊界條件（a）分解為兩部分：）分解為兩部分：孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第81頁/共105頁問題問題12qrba 問題問題1的解：的解：內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2qbrr0brr（b） 該問題為軸對稱問題，其解為該問題為軸對稱問題，其解為2112222qbarar2112222qbara0r 當(dāng)當(dāng) ba 時，有時，有2122qrar2122qra0r（d）求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第82頁/共105頁 問題問題2的解：的解：rrba問題問題2（非軸對稱問題）（非軸對稱問題）內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrr2sin2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr 由邊界條件（由邊界條件（c），可假設(shè)：），可假設(shè)： 為為 r 的某一函數(shù)的某一函數(shù)乘以乘以 ； 為為r 的某一函數(shù)乘以的某一函數(shù)乘以 。 r2cosr2sin 又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達式：又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達式：22211rrrrrrr1 可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：2cos)(rf 將其代入相容方程：將其代入相容方程：011222222rrrr求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第83頁/共105頁02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd 與前面類似，與前面類似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 該方程的特征方程：該方程的特征方程：01644234特征根為：特征根為：, 41, 22, 0324方程的解為：方程的解為：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrAr孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第84頁/共105頁2cos1224rDCBrArrrba問題問題22sin2qr2cos2qr 相應(yīng)的應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有有內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第85頁/共105頁孔邊應(yīng)力集中問題的求解rrba問題問題22sin2qr2cos2qr264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入應(yīng)力分量式（代入應(yīng)力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）孔邊應(yīng)力集中問題的求解第86頁/共105頁將將問題問題1和和問題問題2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-19）討論：討論： （1）沿孔邊，沿孔邊，r = a，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)2cos21 ( q3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 軸，軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 基爾斯（基爾斯（G. Kirsch）解）解孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第87頁/共105頁（3） 沿沿 x 軸，軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第88頁/共105頁（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：疊加后的應(yīng)力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第89頁/共105頁（5） 任意形狀薄板（或長柱）受面力任意形狀薄板（或長柱）受面力 作用，在距邊界較遠處有一小孔。作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應(yīng)力，就可計算孔邊的應(yīng)力，如：只要知道無孔的應(yīng)力，就可計算孔邊的應(yīng)力，如：qqqqqqqq 45孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解第90頁/共105頁用半逆解法求解。（1）假設(shè)應(yīng)力F為單位寬度上的力，按量綱分析，應(yīng)力 應(yīng)為:。rF 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力,0dd2dd122443fffr（2）推測 應(yīng)為).(rf （3）代入 ，得04 rrr第91頁/共105頁cos,(422)0rr2Fr 。當(dāng)當(dāng)F垂直于邊界垂直于邊界時，時， ，應(yīng)力解答應(yīng)力解答為為0半平面體在邊界上受集中力2(coscossinsin ),( )0rrFar 。相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力應(yīng)力 如式如式(4-23)所示。所示。xyyx,FxyOr2223)(2yxxFx2222)(2yxxyFy2222)(2yxyxFxy （4-24） 直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量第92頁/共105頁邊界沉陷計算PxyOrMM點的下沉量：2 uIEFrEF)1 (ln2 由于常數(shù) I 無法確定，所以只能求得的相對沉陷量。為此，在邊界上取一基準(zhǔn)點B，如圖所示。BsM點相對于基準(zhǔn)點B的沉陷為srrruu22IEFrEF)1 (ln2IEFsEF)1 (ln2rsEFln2簡化后得：（4-25）符拉芒（A. Flamant）公式對平面應(yīng)變情形：rsEFln)1 (22邊界沉陷計算第93頁/共105頁應(yīng)力分量abxxdyxxqd2223)(2abyydyxyxqd2222)()(2abxyxydyxyxqd2222)()(2（4-26）式中，需將分布力集度 q 表示成 的函數(shù)，再進行積分。應(yīng)力分量qddP OdMdP 作用在距原點 時，2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddxy第94頁/共105頁基本方程1. 平衡方程平衡方程rr1rrrr0rk021krrrrr（41）2. 幾何方程幾何方程rurrurrur1ruruurrr1（42）3. 物理方程物理方程)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形（43）4. 邊界條件邊界條件,rsruuuusrrrsslmfrsslmf位移邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：基本方程第95頁/共105頁按應(yīng)力求解基本步驟（1） 由問題的條件求出滿足式（由問題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù)）的應(yīng)力函數(shù)),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：rr,（45）22r22211rrrrrrr1（3） 將上述應(yīng)力分量將上述應(yīng)力分量rr,滿足問題的邊界條件：滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：,rsruuuus應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：rrrsslmfrsslmfuur,為邊界上已知位移，為邊界上已知位移，,rff為邊界上已知的面力分量。為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）（位移單值條件）按應(yīng)力求解基本步驟第96頁/共105頁平面軸對稱問題的求解方法逆解法DCrrBrrA22lnln（411）CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：位移分量：位移分量：cossin4KIHrEBru（4-12）sincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1平面軸對稱問題的求解方法逆解法第97頁/共105頁圓孔的孔邊應(yīng)力集中問題圓孔的孔邊應(yīng)力集中問題原問題的轉(zhuǎn)換：原問題的轉(zhuǎn)換：問題問題12qrba2cos2qr2sin2qrba問題問題2軸對稱問題軸對稱問題非軸對稱問題非軸對稱問題2cos)(rf2cos1224rDCBrAr非軸對稱問題的求解方法半逆解法第98頁/共105頁4. 半平面問題半平面問題PxyOrxyOrMqxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr非軸對稱問題的求解方法半逆解法非軸對稱問題的求解方法半逆解法第99頁/共105頁第七章 空間問題的基本理論第100頁/共105頁目錄 平衡微分方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 幾何方程及物理方程 軸對稱問題的基本方程提 要第101頁/共105頁空間問題結(jié)論總結(jié)0yxxzxxfxyz0yzyxyyfyzx0yzxzzzfzxy(7-1),xuxyzwvyz(7-8),yvyzxuwzx,zwzxyvuxy),(1zyxxE2(1)yzyzE1(),yyzxE2(1)zxzxE1(),zzxyE2(1)xyxyE(7-12)( 7-9 )( )svv 。( )suu 。( )sww 。()xyxzxsxl mnf()xyxzxsym nlf()xyxzxszn lmf(7-5)xyz(7-10)xyz 1 2E第102頁/共105頁第八章 空間問題的解答第103頁/共105頁 按位移求解空間問題 半空間體受重力及均布壓力 半空間體在邊界上受法向集中力 按應(yīng)力求解空間問題 等截面直桿的扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)104提 要第104頁/共105頁感謝您的觀看！第105頁/共105頁