平面向量教學(xué)目的：要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個(gè)向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等，進(jìn)行向量計(jì)算理解向量共線的充要條件。能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量； 或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。要求學(xué)生理解點(diǎn)P分有向線段所成的比的含義和有向線段的定比分點(diǎn)公式，并能應(yīng)用解題。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等，進(jìn)行向量計(jì)算理解向量共線的充要條件。能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量； 或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。要求學(xué)生理解點(diǎn)P分有向線段所成的比的含義和有向線段的定比分點(diǎn)公式，A B一、實(shí)例：老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追去， 問(wèn)：貓能否追到老鼠？（畫(huà)圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了。 提出課題：平面向量1 意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??； 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。 A(起點(diǎn)) B（終點(diǎn)）a 2從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。2 向量的表示方法： 1幾何表示法：點(diǎn)射線 有向線段具有一定方向的線段 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度AB北 記作（注意起訖） 2字母表示法：可表示為（印刷時(shí)用黑體字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）3 模的概念：向量的大小長(zhǎng)度稱為向量的模。 記作：| 模是可以比較大小的4 兩個(gè)特殊的向量： 1零向量長(zhǎng)度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的。 注意與0的區(qū)別 2單位向量長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。例：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？答：不是。因?yàn)榱闵狭阆乱仓皇谴笮≈帧?例：與是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有幾個(gè)單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？ 答：有無(wú)數(shù)個(gè)單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。二、向量間的關(guān)系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 記作： 規(guī)定：與任一向量平行2 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 記作：= 規(guī)定：= 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。3 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ， 所以平行向量也叫共線向量。C O B A = = =例：（P95）略變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（）三、向量的加法一、 提出課題：向量是否能進(jìn)行運(yùn)算？A B C1.某人從A到B，再?gòu)腂按原方向到C， 則兩次的位移和：C A B 2、 若上題改為從A到B，再?gòu)腂按反方向到C，A BC 則兩次的位移和：3、某車(chē)從A到B，再?gòu)腂改變方向到C，A BC 則兩次的位移和：4、船速為，水速為， 則兩速度和：提出課題：向量的加法 二、1定義：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量的加法。 注意：；兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡(jiǎn)稱和向量）a a2三角形法則：Caa+bbabba+ba+bBA 強(qiáng)調(diào)： 1“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn) 2可以推廣到n個(gè)向量連加 3 4不共線向量都可以采用這種法則三角形法則OABaaabbb 3例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)， 作 則4加法的交換律和平行四邊形法則 上題中+的結(jié)果與+是否相同 驗(yàn)證結(jié)果相同 從而得到：1向量加法的平行四邊形法則 2向量加法的交換律：+=+ABCDaca+b+cba+bb+c5 向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)證：如圖：使, , 則(+) += + (+) =(+) +=+ (+)從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行。四、向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法 1“相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量。記作 -a 2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 0 3向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。2 用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：OabBaba-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O， 作= a, = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量。 注意：1表示a - b。強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) 2用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一。OABaBb-bbBa+ (-b)aba-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b4 abc a - b = a + (-b) a - b 例一、 設(shè)a表示“向東走3km”，b表示“向北走3km”， B a+b bO a A 則a + b表示向東北走km 解：= + (km)例二、 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。A B D CO 證：由向量加法法則： = +, = + 由已知：=, = = 即AB與CD平行且相等 A BO P C E F ABCD為平行四邊形例三、 在正六邊形中，若= a, = b，試用 向量a、b將、表示出來(lái)。 解：設(shè)正六邊形中心為P 則a + b + a a + b + a + b 由對(duì)稱性：= b + b + a五、實(shí)數(shù)與向量的積1引入新課：已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 討論：13與方向相同且|3|=3| 2-3與方向相反且|-3|=3|2從而提出課題：實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)與向量的積，記作：定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作： 1|=|2>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=3運(yùn)算定律：結(jié)合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 結(jié)合律證明：如果=0，=0，=至少有一個(gè)成立，則式成立如果0，0，有：|()|=|=|()|=| |=| |()|=|()| 如果、同號(hào)，則式兩端向量的方向都與同向；如果、異號(hào)，則式兩端向量的方向都與反向。 從而()=()第一分配律證明：如果=0，=0，=至少有一個(gè)成立，則式顯然成立如果0，0，當(dāng)、同號(hào)時(shí)，則和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同號(hào) 兩邊向量方向都與同向 即：|(+)|=|+| 當(dāng)、異號(hào)，當(dāng)>時(shí) 兩邊向量的方向都與同向當(dāng)<時(shí) 兩邊向量的方向都與同向還可證：|(+)|=|+| 式成立第二分配律證明：如果=，=中至少有一個(gè)成立，或=0，=1則式顯然成立OABB1A1當(dāng)，且0，1時(shí)1當(dāng)>0且1時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 則+ +由作法知：有OAB=OA1B1 |=| OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直線上，|=| 與方向也相同AOBB1A1(+)=+ 當(dāng)<0時(shí) 可類似證明：(+)=+ 式成立4例一 （見(jiàn)P104）略三、向量共線的充要條件（向量共線定理）1 若有向量()、，實(shí)數(shù)，使= 則由實(shí)數(shù)與向量積的定義知：與為共線向量若與共線()且|：|=，則當(dāng)與同向時(shí)=當(dāng)與反向時(shí)=-從而得：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)使=七、平面向量基本定理1是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？2對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量，是不是平面上的所有向量都可以用它們來(lái)表示？提出課題：平面向量基本定理ONBMMCM，是不共線向量，是平面內(nèi)任一向量= =1 =+=1+2= =2得平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+2注意幾個(gè)問(wèn)題：1 、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2 這個(gè)定理也叫共面向量定理31，2是被，唯一確定的數(shù)量已知向量， 求作向量-2.5+3。ONABMCM作法：1 取點(diǎn)O，作=-2.5 =3 2 作 OACB，即為所求+例二、(P106例4)如圖 ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且=，=，用，表示，和DMABMCMab 解： ABCD中 =+=+ =-=- =-=-(+)=-=(-)=- =+=-=-=-+例三、已知 ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證：+=4ABCDOE 證：E是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn) =- =-在OAE中 +=同理：+= += +=以上各式相加，得：+=4例四、(P107 例五)如圖，不共線，=t (tR)用,表示 解：=tPBAO =+=+ t =+ t(-) =+ t-t =(1-t) + t1 當(dāng)Z時(shí)，驗(yàn)證：(+)=+2 證：當(dāng)=0時(shí)，左邊=0(+)= 右邊=0+0= 分配律成立 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，令=n, 則有：n(+)=(+)+(+)+(+)=+=n+n即為正整數(shù)時(shí)，分配律成立當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令=-n（n為正整數(shù)），有-n(+)=n-(+)=n(-)+(-)=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n分配律仍成立綜上所述，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，(+)=+恒成立 。2如圖，在ABC中，=, = AD為邊BC的中線，G為ABC的重心，求向量 解一：=, = 則=DABMCMab=+=+而=+ 解二：過(guò)G作BC的平行線，交AB、AC于E、FDAEMCMabBMFMGM AEFABC = = = =+=+ 3在 ABCD中，設(shè)對(duì)角線=，=試用, 表示，ODABMCM 解一：= =+=-=- =+=+=+ 解二：設(shè)=，=則+= += =(-) -= -= =(+) 即：=(-) =(+) 4設(shè), 是兩個(gè)不共線向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三點(diǎn)A, B, D共線，求k的值。解：=-=(2-)-(+3)=-4A, B, D共線 ,共線 存在使=即2+k=(-4) k=-85如圖，已知梯形ABCD中，ABCD且AB=2CD，M, N分別是DC, AB中點(diǎn)，設(shè)=, =，試以, 為基底表示, , ODAMMCMBMNM 解：= 連ND 則DCND =-=- 又：= =-=-=-=(-+)-=-61kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細(xì)繩與水平線分別成30, 60角，問(wèn)兩細(xì)繩各受到多大的力？解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90P1PP23060=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30=cos60=1=0.5 (kg)=cos30=1=0.87 (kg) 即兩根細(xì)繩上承受的拉力分別為0.5 kg和0.87 kg八、向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算一、平面向量的坐標(biāo)表示1在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來(lái)表示問(wèn)題：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來(lái)表示呢？取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量, 作基底，則平面內(nèi)作一向量=x+y，OBCAxybc記作：=(x, y) 稱作向量的坐標(biāo) 如：=(2, 2) =(1, 0) =(2, -1) =(0, 1) =(1, -5) =(0, 0)2注意：1每一平面向量的坐標(biāo)表示是唯一的；2設(shè)A(x1, y1) B(x2, y2) 則=(x2-x1, y2-y1)3兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)相等。 3例一：(P109)略三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1問(wèn)題：1已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐標(biāo)2已知(x, y)和實(shí)數(shù), 求的坐標(biāo)2解：+=(x1+y1)+( x2+y2)=(x1+ x2) + (y1+y2) 即：+=(x1+ x2, y1+y2)同理：-=(x1- x2, y1-y2)3結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的 坐標(biāo)。OxyB(x2,y2)A(x1,y1)用減法法則： =-=( x2, y2) - (x1, y1)= (x2- x1, y2- y1) 4實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知=(x, y) 實(shí)數(shù)則=(x+y)=x+y=(x, y)結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。已知三個(gè)力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力+= 求的坐標(biāo)。解：由題設(shè)+= 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)即： (-5,1)例五、已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。OxyBACD1D2D3解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，仿例三得：D1=(2, 2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，仿例三得：D2=(4, 6)當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，仿上得：D3=(-6, 0)八、向量平行的坐標(biāo)表示 1提出問(wèn)題：共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得=，那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？2推導(dǎo)：設(shè)=(x1, y1) =(x2, y2) 其中由= (x1, y1) =(x2, y2) 消去：x1y2-x2y1=0結(jié)論： ()的充要條件是x1y2-x2y1=0注意：1消去時(shí)不能兩式相除，y1, y2有可能為0， x2, y2中至少有一個(gè)不為02充要條件不能寫(xiě)成 x1, x2有可能為03從而向量共線的充要條件有兩種形式： ()例三 若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x解：=(-1,x)與=(-x, 2) 共線 (-1)2- x(-x)=0 x= 與方向相同 x= 例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：=(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2) 又：22-4-1=0 又：=(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) =(2, 4) 24-260 與不平行 A，B，C不共線 AB與CD不重合 ABCD九、線段的定比分點(diǎn)1 線段的定比分點(diǎn)及 P1, P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，P1P1P1P2P2P2PPP使 = 叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)OP1PP22定比分點(diǎn)公式的獲得： 設(shè)= 點(diǎn)P1, P, P2坐標(biāo)為(x1,y1) (x,y) (x2,y2） 由向量的坐標(biāo)運(yùn)算 =(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) = (x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式3中點(diǎn)公式：若P是中點(diǎn)時(shí)，=1 4注意幾個(gè)問(wèn)題：1 是關(guān)鍵，>0內(nèi)分 <0外分 -1 若P與P1重合，=0 P與P2重合 不存在 2 中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式的特例3 始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如P分的定比= 則P分的定比=24 公式：如 x1, x2, x, 知三求一例四 過(guò)點(diǎn)P1(2, 3), P2(6, -1)的直線上有一點(diǎn)，使| P1P|:| PP2|=3, 求P點(diǎn)坐標(biāo)OP1PP2P 解：當(dāng)P內(nèi)分時(shí) =3 當(dāng)P外分時(shí)=-3當(dāng)=3得P(5,0)當(dāng)=-3得P(8,-3)例五 ABC頂點(diǎn)A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分線交BC邊于D, DBCA求D點(diǎn)坐標(biāo)解：AD平分角BAC|AC|=|AB|=D分向量所成比=設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)(x, y) 則 D點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,)