極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合測(cè)試題1在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：=2cos，將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到曲線C1，又已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1,0），傾斜角為，且直線l與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線；（2）求+2在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是2sin（+）=3，射線OM：=與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)3在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：2=4（cos+sin）6若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（）求圓C的參數(shù)方程；（）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）是圓C上動(dòng)點(diǎn)，試求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)4若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn)，Ox為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程是=（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），當(dāng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線C1上一點(diǎn)，Q曲線C2上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)P點(diǎn)極坐標(biāo)6在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2=，點(diǎn)R（2，）（）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（）設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值7已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos（）求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（）若直線=（R）與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度8在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線l的極坐標(biāo)方程為cossin=2，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2=2pcos（p0）（1）設(shè)t為參數(shù)，若x=2+t，求直線l的參數(shù)方程；（2） 已知直線l與曲線C交于P、Q，設(shè)M（2，4），且|PQ|2=|MP|MQ|，求實(shí)數(shù)p的值9在極坐標(biāo)系中，射線l：=與圓C：=2交于點(diǎn)A，橢圓的方程為2=，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓的參數(shù)方程；（）若E為橢圓的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍10已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的C參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為=（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線C上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最?。咳舸嬖?，求出距離的最小值及點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由11已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為（ I）求曲線C2的直角坐標(biāo)系方程；（ II）設(shè)M1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值12設(shè)點(diǎn)A為曲線C：=2cos在極軸Ox上方的一點(diǎn)，且0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，（1）求曲線C的參數(shù)方程；（2）以A為直角頂點(diǎn)，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)a0），曲線C2：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)b0）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：=（0，0）與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn)當(dāng)=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)=時(shí)，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值14在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建極坐標(biāo)系（）求C2的極坐標(biāo)方程；（）設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為sin（）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值15已知半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a，（）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓C的極坐標(biāo)方程；（）在（）的條件下，設(shè)T是半圓C上一點(diǎn)，且OT=，試寫出T點(diǎn)的極坐標(biāo)16已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2sin（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（0，02）極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合測(cè)試題答案一解答題（共16小題）1在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：=2cos，將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到曲線C1，又已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1,0），傾斜角為，且直線l與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線；（2）求+【解答】解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y22x=0即（x1）2+y2=1曲線C1的直角坐標(biāo)方程為=1，曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程=1中，得設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，+=2在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是2sin（+）=3，射線OM：=與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)【解答】解：（I）利用cos2+sin2=1，把圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）化為（x1）2+y2=1，22cos=0，即=2cos（II）設(shè)（1，1）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由，解得設(shè)（2，2）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由，解得1=2，|PQ|=|12|=2|PQ|=23在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：2=4（cos+sin）6若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（）求圓C的參數(shù)方程；（）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）是圓C上動(dòng)點(diǎn)，試求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)【解答】（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（）因?yàn)?=4（cos+sin）6，所以x2+y2=4x+4y6，所以x2+y24x4y+6=0，即（x2）2+（y2）2=2為圓C的普通方程（4分）所以所求的圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（6分）（）由（）可得，（7分）當(dāng) 時(shí)，即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3，3）時(shí)，（9分）x+y取到最大值為6（10分）4若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn)，Ox為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程是=（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），當(dāng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求.【解答】解：（1）=，2sin2=6cos，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=6x曲線為以（，0）為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線（2）直線l的參數(shù)方程可化為，代入y2=6x得t24t12=0解得t1=2，t2=6|=|t1t2|=85在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線C1上一點(diǎn)，Q曲線C2上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)P點(diǎn)極坐標(biāo)【解答】解：（1）由消去參數(shù)，得曲線C1的普通方程為由得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)P（2cos，2sin），則點(diǎn)P到曲線C2的距離為當(dāng)時(shí)，d有最小值，所以|PQ|的最小值為6在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2=，點(diǎn)R（2，）（）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（）設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，則：曲線C的方程為2=，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)R的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為：R（2，2）（）設(shè)P（）根據(jù)題意，得到Q（2，sin），則：|PQ|=，|QR|=2sin，所以：|PQ|+|QR|=當(dāng)時(shí)，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周長(zhǎng)為47已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos（）求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（）若直線=（R）與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度【解答】解：（I）曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去可得：+（y+1）2=9，展開(kāi)為：x2+y22x+2y5=0，可得極坐標(biāo)方程：cos+2sin5=0曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos，即2=2cos，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x（II）把直線=（R）代入cos+2sin5=0，整理可得：225=0，1+2=2，12=5，|PQ|=|12|=28在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線l的極坐標(biāo)方程為cossin=2，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2=2pcos（p0）（1）設(shè)t為參數(shù)，若x=2+t，求直線l的參數(shù)方程；（2）已知直線l與曲線C交于P、Q，設(shè)M（2，4），且|PQ|2=|MP|MQ|，求實(shí)數(shù)p的值【解答】解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為cossin=2，化為直角坐標(biāo)方程：xy2=0x=2+t，y=x2=4+t，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2=2pcos（p0），即為2sin2=2pcos（p0），可得直角坐標(biāo)方程：y2=2px把直線l的參數(shù)方程代入可得：t2（8+2p）t+8p+32=0t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32不妨設(shè)|MP|=t1，|MQ|=t2|PQ|=|t1t2|=|PQ|2=|MP|MQ|，8p2+32p=8p+32，化為：p2+3p4=0，解得p=19在極坐標(biāo)系中，射線l：=與圓C：=2交于點(diǎn)A，橢圓的方程為2=，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓的參數(shù)方程；（）若E為橢圓的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（）射線l：=與圓C：=2交于點(diǎn)A（2，），點(diǎn)A的直角坐標(biāo)（，1）；橢圓的方程為2=，直角坐標(biāo)方程為+y2=1，參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（）設(shè)F（cos，sin），E（0，1），=（，2），=（cos，sin1），=3cos+32（sin1）=sin（+）+5，的取值范圍是5，5+10已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的C參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為=（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線C上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最?。咳舸嬖?，求出距離的最小值及點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）曲線的C參數(shù)方程為（為參數(shù)），普通方程為（x1）2+（y1）2=4，直線l的極坐標(biāo)方程為=，直角坐標(biāo)方程為xy4=0；（2）點(diǎn)P到直線l的距離d=，=2k，即=2k（kZ），距離的最小值為22，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（1+，1）11已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為（ I）求曲線C2的直角坐標(biāo)系方程；（ II）設(shè)M1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值【解答】解：（I）由可得=x2，2=（x2）2，即y2=4（x1）；（）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得：2x+y+4=0曲線C1的直角坐標(biāo)方程為2x+y+4=0M1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值設(shè)M2（r21，2r），M2到直線2x+y+4=0的距離為d，則d=|M1M2|的最小值為12設(shè)點(diǎn)A為曲線C：=2cos在極軸Ox上方的一點(diǎn)，且0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，（1）求曲線C的參數(shù)方程；（2）以A為直角頂點(diǎn)，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求點(diǎn)B軌跡的極坐標(biāo)方程【解答】（1）為參數(shù)）（2）：設(shè)A（0，0），且滿足0=2cos0，B（，），依題意，即代入0=2cos0并整理得，所以點(diǎn)B的軌跡方程為，13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)a0），曲線C2：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)b0）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：=（0，0）與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn)當(dāng)=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)=時(shí)，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值【解答】解：（）由曲線C1：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)a0），化為普通方程為（xa）2+y2=a2，展開(kāi)為：x2+y22ax=0，其極坐標(biāo)方程為2=2acos，即=2acos，由題意可得當(dāng)=0時(shí)，|OA|=1，a=曲線C2：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)b0），化為普通方程為x2+（yb）2=b2，展開(kāi)可得極坐標(biāo)方程為=2bsin，由題意可得當(dāng)時(shí)，|OB|=2，b=1（）由（I）可得C1，C2的方程分別為=cos，=2sin2|OA|2+|OA|OB|=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=+1，2+，+1的最大值為+1，當(dāng)2+=時(shí)，=時(shí)取到最大值14在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（）求C2的極坐標(biāo)方程；（）設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為sin（）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值【解答】解：（）C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），普通方程為（x1）2+y2=1，C2的極坐標(biāo)方程為=2cos；（）C2是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，曲線C3的極坐標(biāo)方程為sin（）=1，直角坐標(biāo)方程為xy2=0，圓心到直線的距離d=，|PQ|=2=15已知半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a，（）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓C的極坐標(biāo)方程；（）在（）的條件下，設(shè)T是半圓C上一點(diǎn)，且OT=，試寫出T點(diǎn)的極坐標(biāo)【解答】解：（）由半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a，則圓的普通方程為x2+（y1）2=1（0x1），由x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得半圓C的極坐標(biāo)方程為=2sin，0，；（）由題意可得半圓C的直徑為2，設(shè)半圓的直徑為OA，則sinTAO=，由于TAO0，則TAO=，由于TAO=TOX，所以TOX=，T點(diǎn)的極坐標(biāo)為（，）16已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2sin（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（0，02）【解答】解：（）曲線C1的參數(shù)方程式（t為參數(shù)），得（x4）2+（y5）2=25即為圓C1的普通方程，即x2+y28x10y+16=0將x=cos，y=sin代入上式，得28cos10sin+16=0，此即為C1的極坐標(biāo)方程；（）曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2sin化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y22y=0，由，解得或C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（，），（2，）