北京五中2010/2011學年度上學期期中考試試卷高三數(shù)學(文科)一 選擇題（每題5分，共40分，請把答案填在第3頁表中）1設集合，則滿足的集合B的個數(shù)是( ) 1 3 4 82給出下列命題 ：； ；“”的充要條件是“,或”,其中正確命題的個數(shù)是 （ ） 0 1 2 33. 設非零向量滿足，則與的夾角為（ ） 30 60 90 1204.已知等差數(shù)列的前20項的和為100，那么的最大值為( ) 25 50 100 不存在5將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，向上平移1個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式是( ) 6若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是( ) 7函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ ） 不能確定8一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在時刻測得它的影長為4米，在時刻的影長為1米這個廣場上有一個球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在、這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為（ ） 1：1 ：1 ：1 2：1二 填空題（每題5分，共30分，請把答案填在第3頁表中）2側(cè)視圖2正視圖9與垂直的單位向量為_10如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 1俯視圖11已知函數(shù),當時,都有成立,則實數(shù)的取值范圍為 12已知當時，且恒成立，則當時， 13已知點在曲線上，如果該曲線在點處切線的斜率為，那么 ，此時函數(shù)，的值域為 14定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如：可將123n記作，其中為數(shù)列中的第項.若，則= ； 若 三 解答題（共80分）15在中，、為角、的對邊，已知、為銳角，且，（1）求的值; （2）若，求、的值16設關(guān)于的二次函數(shù) （I）設集合P=1，2， 4和Q=-1，1，2，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為函數(shù)中和的值，求函數(shù)有且只有一個零點的概率；（II）設點（，）是隨機取自平面區(qū)域內(nèi)的點，求函數(shù)上是減函數(shù)的概率.17如圖, 在直三棱柱中，,，點是 的中點，（1） 求證：； （2） 求證： 18已知函數(shù).（）當時，求的極值;（）當時，求的單調(diào)區(qū)間. 19已知的頂點在橢圓上，在直線上，且（）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；（）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程20已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且）。()求數(shù)列的通項公式；() 當時，試證明； ()設函數(shù)，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 北京五中2010/2011學年度上學期期中考試試卷高三數(shù)學(文科)答案四 選擇題（每題5分，共40分，請把答案填在第3頁表中）1設集合，則滿足的集合B的個數(shù)是( C ) 1 3 4 82給出下列命題 ：； ；“”的充要條件是“,或”,其中正確命題的個數(shù)是 （ C ） 0 1 2 33. 設非零向量滿足，則與的夾角為（ D ） 30 60 90 1204.已知等差數(shù)列的前20項的和為100，那么的最大值為( A ) 25 50 100 不存在5將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，向上平移1個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式是( A ) 6若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是( A ) 7函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ C ） 不能確定8一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在時刻測得它的影長為4米，在時刻的影長為1米這個廣場上有一個球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在、這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為（ A ） 1：1 ：1 ：1 2：1五 填空題（每題5分，共30分，請把答案填在第3頁表中）2側(cè)視圖2正視圖9與垂直的單位向量為_, _10如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 1俯視圖11已知函數(shù),當時,都有成立,則實數(shù)的取值范圍為 12已知當時，且恒成立，則當時， 13已知點在曲線上，如果該曲線在點處切線的斜率為，那么 -3 ；函數(shù)，的值域為 -2,18 14定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如：可將123n記作，其中ai為數(shù)列中的第項.若，則T4= 280 ； 若 . 選擇題答案題號12345678答案填空題答案9. 10. 11. 12. 13. 14. 六 解答題（共80分）15在中，、為角、的對邊，已知、為銳角，且，（1）求的值; （2）若，求、的值解：（）、為銳角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， w.w.w. .c.o.m ， ，16設關(guān)于的一元二次函數(shù) （I）設集合P=1，2， 4和Q=-1，1，2，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為函數(shù)中和的值，求函數(shù)有且只有一個零點的概率；（II）設點（，）是隨機取自平面區(qū)域內(nèi)的點，求函數(shù)上是減函數(shù)的概率.解：（I）要使函數(shù)有且只有一個零點，當且僅當 2分分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為和，可以是共9個基本事件，其中滿足的事件有共2個，所求事件的概率為 . 6分（II）函數(shù)的圖象的對稱軸為 由函數(shù)上是減函數(shù)，得且>0，.8分依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，即三角形區(qū)域.且 .10分構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形區(qū)域（如圖）. 由 12分所求事件的概率為 13分17如圖, 在直三棱柱中，,，點是 的中點，（3） 求證：； （4） 求證：證明：（）可證（）設，交于可證所以18已知函數(shù).（）當時，求的極值;（）當時，求的單調(diào)區(qū)間. 解： 1分令則 2分00極大值極小值4分當時，5分當時，6分（） 7分 當時， 令 得或 8分令 得 9分的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 .10分當時， 令得或 11分令得 12分的單調(diào)增區(qū)間為，.減區(qū)間為 .13分綜上可知，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 . 19已知的頂點在橢圓上，在直線上，且（）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；（）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程解：（）因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為設兩點坐標分別為由 得所以又因為邊上的高等于原點到直線的距離所以，（）設所在直線的方程為，由得因為在橢圓上，所以設兩點坐標分別為，則，所以又因為的長等于點到直線的距離，即所以所以當時，邊最長，（這時）此時所在直線的方程為20.已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且）。()求數(shù)列的通項公式；() 當時，試證明； ()設函數(shù)，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解: ()由題意，得 1分 當時， ， 3分數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列， 4分()由（）知當時， 5分， 6分即 7分