映射函數(shù)定義域值域 解題辦法歸納
一種特殊的對應:映射9413-32-21-130°45°60°90°1-12-23-3149123123456開平方求正弦求平方乘以2 (1) (2) (3) (4)1對于集合A中的每一個元素,在集合B中都有一個(或幾個)元素與此相對應。2對應的形式:一對多(如)、多對一(如)、一對一(如、)3映射的概念(定義):強調(diào):兩個“一”即“任一”、“唯一”。4注意映射是有方向性的。5符號:f : A B 集合A到集合B的映射。6講解:象與原象定義。再舉例:1°A=1,2,3,4 B=3,4,5,6,7,8,9 法則:乘2加1 是映射 2°A=N+ B=0,1 法則:B中的元素x 除以2得的余數(shù) 是映射 3°A=Z B=N* 法則:求絕對值 不是映射(A中沒有象)4°A=0,1,2,4 B=0,1,4,9,64 法則:f :a b=(a-1)2 是映射一一映射觀察上面的例圖(2) 得出兩個特點: 1°對于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象 (單射) 2°集合B中的每一個元素都是集合A中的每一個元素的象 (滿射)即集合B中的每一個元素都有原象。 從映射的觀點定義函數(shù)(近代定義): 1°函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個映射 f:A B 這里 A, B 非空。 2°A:定義域,原象的集合 B:值域,象的集合(C)其中C Í B f:對應法則 xÎA yÎB 3°函數(shù)符號:y=f(x) y 是 x 的函數(shù),簡記 f(x)函數(shù)的三要素: 對應法則、定義域、值域只有當這三要素完全相同時,兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。例:判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)?為什么? 1 解:不是同一函數(shù),定義域不同 2。 解:不是同一函數(shù),定義域不同 3。 解:不是同一函數(shù),值域不同 4 解:是同一函數(shù) 5 解:不是同一函數(shù),定義域、值域都不同關于復合函數(shù)設 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 則稱 fg(x)(或gf(x))為復合函數(shù)。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例:已知:f(x)=x2-x+3 求:f() f(x+1) 解:f()=()2-+3 f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+31. 函數(shù)定義域的求法l 分式中的分母不為零;l 偶次方根下的數(shù)(或式)大于或等于零;l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一;l 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一,真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) l 余切函數(shù) l 反三角函數(shù)的定義域(有些地方不考反三角,可以不理)函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ,值域是,函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ,值域是 0, ,函數(shù)yarctgx的定義域是 R ,值域是,函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ,值域是 (0, ) .注意,1. 復合函數(shù)的定義域。如:已知函數(shù)的定義域為(1,3),則函數(shù)的定義域。2. 函數(shù)的定義域為,函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為,解不等式,最后結果才是3.這里最容易犯錯的地方在這里: 已知函數(shù)的定義域為(1,3),求函數(shù)的定義域;或者說,已知函數(shù)的定義域為(3,4),則函數(shù)的定義域為_?2. 函數(shù)值域的求法函數(shù)值域的求法方法有好多,主要是題目不同,或者說稍微有一個數(shù)字出現(xiàn)問題,對我們來說,解題的思路可能就會出現(xiàn)非常大的區(qū)別.這里我主要弄幾個出來,大家一起看一下吧.(1)、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù),如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),等等,其值域可通過觀察直接得到。例 求函數(shù)的值域(2)、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)的值域。(3)、根判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用,但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡如:4、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)直接求函數(shù)的值域困難時,可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)值域。,分母不等于0,即5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學過函數(shù)的有界性,來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性,最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù),的值域。10.倒數(shù)法有時,直接看不出函數(shù)的值域時,把它倒過來之后,你會發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)的值域多種方法綜合運用總之,在具體求某個函數(shù)的值域時,首先要仔細、認真觀察其題型特征,然后再選擇恰當?shù)姆椒?,一般?yōu)先考慮直接法,函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法,然后才考慮用其他各種特殊方法。9