2020年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案第三章 圖形的認(rèn)識(shí)與三角形第十八講 等腰三角形與直角三角形【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、等腰三角形 1、定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊三角形 2、等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個(gè)底角 簡(jiǎn)稱為 等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡(jiǎn)稱為 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸，是 3、等腰三角形的判定： 定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 有兩 相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)稱 注意：1、等腰三角形的性質(zhì)還有：等腰三角形兩腰上的 相等，兩腰上的 相等，兩底角的平分線也相等 。2、因?yàn)榈妊切窝偷捉堑奶厥庑裕栽陬}目中往常出現(xiàn)對(duì)邊和角的討論問題，討論邊時(shí)應(yīng)注意保證 ，討論角時(shí)應(yīng)主要底角只被為 角4、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都 都等于 等邊三角形也是 對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸5、等邊三角形的判定：有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形 有一個(gè)角是 度的 三角形是等邊三角形注意：1、等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)2、有一個(gè)角是直角的等腰三角形是 三角形】二、線段的垂直平分線和角的平分線1、線段垂直平分線定義： 一條線段且 這條線段的直線叫做線段的垂直平分線2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到 得距離相等3、判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 4、角的平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到 的距離相等5、角的平分線判定：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在 注意：1、線段的垂直平分可以看作是 的點(diǎn)的集合，角平分線可以看作是 的點(diǎn)的集合。2、要能夠用尺規(guī)作一條已知線段的垂直平分線和已知角的角平分線三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 個(gè)直角三角形的兩直角邊為a、b斜邊為c則a、b、c滿足 逆定理：若一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足 則這個(gè)三角形是直角三角形注意：、勾股定理在幾何證明和計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛，要注意和二次根式的結(jié)合 、勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據(jù)， 、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組 、 、 2、直角三角形的性質(zhì)： 除勾股定理外，直角三角形還有如下性質(zhì)：直角三角形兩銳角 直角三角形斜邊的中線等于 在直角三角形中如果有一個(gè)銳角是300，那么它所對(duì) 邊是 邊的一半3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法：定義法有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形有兩個(gè)角 的三角形是直角三角形如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的 這個(gè)三角形是直角三角形注意：直角三角形的有關(guān)性質(zhì)在四邊形、相似圖形、圓中均有廣泛應(yīng)用，要注意這幾條性質(zhì)的熟練掌握和靈活運(yùn)用【中考真題考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：角的平分線例1 （麗水）如圖，在RtABC中，A=Rt，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則BDC的面積是 15對(duì)應(yīng)練習(xí)11（泉州）如圖，AOB=70，QCOA于C，QDOB于D，若QC=QD，則AOQ= 35考點(diǎn)二：線段垂直平分線例2（2019山東東營(yíng)）如圖，在RtABC中，ACB=90，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點(diǎn)，作直線DE交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連結(jié)CF，若AC=3，CG=2，則CF的長(zhǎng)為（ ）A B3 C2 D對(duì)應(yīng)練習(xí)21（義烏市）如圖，ADBC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，若AOC=125，則ABC= 70對(duì)應(yīng)練習(xí)22（天門）如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（）A4cmB3cmC2cmD1cm考點(diǎn)三：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用例3 （2019年棗莊）用一條寬度相等的足夠長(zhǎng)的紙條打一個(gè)結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形圖中，_度對(duì)應(yīng)練習(xí)31（武漢）如圖，ABC中，AB=AC，A=36，BD是AC邊上的高，則DBC的度數(shù)是（）A18B24C30D36對(duì)應(yīng)練習(xí)32（云南）如圖，已知ABCD，AB=AC，ABC=68，則ACD= 44考點(diǎn)四：等邊三角形的判定與性質(zhì)例4（黔西南州）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E= 15度對(duì)應(yīng)練習(xí)41（黃岡）已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= 考點(diǎn)五：三角形中位線定理例5(2019聊城中考)如圖，在中，為的中位線，延長(zhǎng)至，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)若，則的周長(zhǎng)為_對(duì)應(yīng)練習(xí)51（2019年威海）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，過點(diǎn)C作CEBC，交AD于點(diǎn)E，連接BE，BECDEC，若AB6，則CD 對(duì)應(yīng)練習(xí)52（昆明）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，A=50，ADE=60，則C的度數(shù)為（）A50B60C70D80考點(diǎn)八：三角形、中垂線及角平分線相關(guān)的尺規(guī)作圖例8( 2019山東濟(jì)寧)如圖，點(diǎn)M和點(diǎn)N在AOB內(nèi)部（1）請(qǐng)你作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，且到AOB兩邊的距離也相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；O A B C D E M （2）請(qǐng)說明作圖理由對(duì)應(yīng)練習(xí)81（2019濰坊）如圖，已知AOB按照以下步驟作圖：以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交AOB的兩邊于C，D兩點(diǎn)，連接CD分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE連接OE交CD于點(diǎn)M下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ACEO=DEO BCM=MDCOCD=ECD DS四邊形OCED=CDOE對(duì)應(yīng)練習(xí)82（2019年棗莊）如圖，是菱形的對(duì)角線，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）條件下，連接，求的度數(shù)【聚焦中考真題】一、選擇題1（2019年山東濱州）滿足下列條件時(shí)，ABC不是直角三角形的為（ ）AAB=，BC=4，AC=5 BABBCAC=345CABC=345 D2（臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（）AAB=ADBAC平分BCDCAB=BDDBECDEC 3（棗莊）如圖，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則CDE的周長(zhǎng)為（）A20B12C14D134（淄博）如圖，ABC的周長(zhǎng)為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長(zhǎng)為（）A B C3D45（威海）如圖，在ABC中，A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）AC=2ABBD平分ABCCSBCD=SBODD點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)6（萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）A4B5C6D87（遂寧）如圖，在ABC中，C=90，B=30，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）AD是BAC的平分線；ADC=60；點(diǎn)D在AB的中垂線上；SDAC：SABC=1：3A1B2C3D48（鐵嶺）如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2-8x+15=0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長(zhǎng)可能是（）A5.5B5C4.5D49（柳州）在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（）A B C D 10（德宏州）在RtABC中，C=90，AB=10若以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC=（）A5 B5 C5 D611（大慶）正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則A1B1C1的面積是（）A B C D 12（南充）如圖，ABC中，AB=AC，B=70，則A的度數(shù)是（）A70B55C50 D4013（淮安）若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A5B7C5或7D614（長(zhǎng)沙）下列各圖中，1大于2的是（）ABCD15（宜昌）如圖，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A8B6C4D2 16（南平）如圖，在ABC中，AB=AC，DEBC，ADE=48，則下列結(jié)論中不正確的是（）AB=48BAED=66CA=84DB+C=9617（鄂州）如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=2試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MNa且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（）A6B8C1 D1218（ 徐州）若等腰三角形的頂角為80，則它的底角度數(shù)為（）A80B50C40D2019（成都）如圖，在ABC中，B=C，AB=5，則AC的長(zhǎng)為（）A2B3C4 D52、 填空題：20（濱州）在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為 21（煙臺(tái)）如圖，ABCD的周長(zhǎng)為36，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則DOE的周長(zhǎng)為 1522（泰安）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，若F=30，DE=1，則BE的長(zhǎng)是 223（煙臺(tái)）如圖，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則OEC為 108度24（菏澤）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是 之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）（寫出1個(gè)即可）25（莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是 10 26（廈門）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24厘米，OAB的周長(zhǎng)是18厘米，則EF= 3厘米27（白銀）等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊為 6，4或5，528（廣州）點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 729（長(zhǎng)沙）如圖，BD是ABC的平分線，P為BD上的一點(diǎn)，PEBA于點(diǎn)E，PE=4cm，則點(diǎn)P到邊BC的距離為 4cm30（宿遷）如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A、B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 40m31（漳州）如圖，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是 32（泰州）如圖，ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則ABD的周長(zhǎng)為 6cm33（吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，8）以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （4，0）34（資陽）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AOB=60，AC=10，則AB= 535（錦州）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點(diǎn)E，垂足為D，連接BE已知AE=5，tanAED=，則BE+CE= 6或1636（無錫）如圖，ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BEAC，AFBC，則EFC= 4537（鄂州）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10cm38（沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是 1，739（哈爾濱）在ABC中，AB=2，BC=1，ABC=45，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使ABD=90，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為 40.（揚(yáng)州）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為 641（濱州）在等腰ABC中，AB=AC，A=50，則B= 65三、解答題42.（2019年棗莊）在中，于點(diǎn)（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：43（威海）操作發(fā)現(xiàn)將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)44（湘西州）如圖，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求ADB的面積45（永州）如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，BNAN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3。（1）求證：BN=DN；（2）求ABC的周長(zhǎng)