一圓柱和圓錐一、圓柱的認(rèn)識(shí)和表面積1.認(rèn)識(shí)圓柱。圓柱是由兩個(gè)大小相等的圓和一個(gè)側(cè)面組成的。(1)圓柱的底面:圓柱的上、下兩個(gè)面,叫作圓柱的底面。圓柱的上、下兩個(gè)面是大小相等的圓。(2)圓柱的側(cè)面:圍成圓柱的曲面叫作圓柱的側(cè)面。圓柱的側(cè)面是曲面。(3)圓柱的高:圓柱兩底面之間的距離,叫作圓柱的高。圓柱有無(wú)數(shù)條高。(4)把圓柱的側(cè)面沿高剪開(kāi),展開(kāi)后是長(zhǎng)方形(或正方形)。2.圓柱的表面積。(1)圓柱的側(cè)面積。圖中圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng),寬等于圓柱的高。長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高如果用C表示圓柱的底面周長(zhǎng),用d表示圓柱的底面直徑,用r表示圓柱的底面半徑,用h表示圓柱的高,用S表示圓柱的側(cè)面積,那么S=Ch或S=dh或S=2rh。(2)圓柱的表面積。圓柱的表面積是指圓柱的側(cè)面積與兩個(gè)底面的面積之和,即圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+兩個(gè)底面的面積。如果用S側(cè)表示圓柱的側(cè)面積,用S表表示圓柱的表面積,用S底表示圓柱的底面積,那么S表=S側(cè)+2S底。(3)特殊圓柱表面積的計(jì)算方法。在實(shí)際生活中會(huì)遇到特殊的圓柱形物體,如:圓柱形煙囪(通風(fēng)管),兩頭都沒(méi)有底面,所以煙囪(通風(fēng)管)的表面積就是煙囪(通風(fēng)管)的側(cè)面積,等于底面周長(zhǎng)×高;無(wú)蓋的圓柱形水桶(魚(yú)缸),只有一個(gè)底面,因此它的表面積包括兩部分,即側(cè)面積和一個(gè)底面積,S表=S側(cè)+S底。二、圓柱的體積1.圓柱體積的意義。一個(gè)圓柱所占空間的大小,叫作這個(gè)圓柱的體積。2.圓柱體積公式的推導(dǎo)。由上圖可知拼成的長(zhǎng)方體和圓柱相比,形狀變了,體積沒(méi)變,長(zhǎng)方體的體積等于圓柱的體積。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)的一半,長(zhǎng)方體的寬等于圓柱的底面半徑。圓柱的底面積=r2,長(zhǎng)方體的底面積=C2×r=r2,圓柱的底面積=長(zhǎng)方體的底面積。長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高。長(zhǎng)方體的體積=底面積×高圓柱的體積=底面積×高如果用V表示圓柱的體積,用S表示圓柱的底面積,用h表示圓柱的高,那么圓柱的體積計(jì)算公式為V=Sh。3.圓柱形容器容積的計(jì)算方法。圓柱形容器容積的計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同,圓柱形容器容積=底面積×高,用字母表示為V=Sh。三、圓錐的認(rèn)識(shí)和體積1.圓錐的認(rèn)識(shí)。圓錐是由一個(gè)底面(圓形)和一個(gè)側(cè)面(曲面)兩部分組成的。(1)圓錐的頂點(diǎn):圓錐只有一個(gè)頂點(diǎn)。(2)圓錐的底面:圓錐中圓形的面就是它的底面,它只有一個(gè)底面。(3)圓錐的側(cè)面:圓錐周?chē)拿婢褪撬膫?cè)面,圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面,展開(kāi)后是一個(gè)扇形。(4)圓錐的高:從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫作圓錐的高,圓錐只有一條高。2.測(cè)量圓錐高的方法:(1)先把圓錐的底面放平;(2)把一塊平板水平放在圓錐的頂點(diǎn)上面;(3)豎直測(cè)量出平板和底面之間的距離,這個(gè)距離就是圓錐的高。3.直角三角形以任意一條直角邊所在的直線為軸,快速旋轉(zhuǎn)一周,它掃過(guò)的空間是圓錐形狀。4.圓錐的體積。先準(zhǔn)備好等底等高的圓柱和圓錐形容器,把圓柱形容器裝滿(mǎn)水,倒入圓錐形容器中,正好倒?jié)M3次。由此發(fā)現(xiàn):等底等高的圓柱和圓錐,圓柱的體積是圓錐的3倍,也可以說(shuō)圓錐的體積是圓柱的13。圓錐的體積公式=底面積×高×13,如果用V表示圓錐的體積,用S表示圓錐的底面積,用h表示圓錐的高,那么V=13Sh。知識(shí)巧記:認(rèn)識(shí)圓柱并不難,上下兩個(gè)圓底面;圓柱側(cè)面是曲面,兩底之間高無(wú)數(shù)。重點(diǎn)提示:當(dāng)圓柱的底面周長(zhǎng)與高相等時(shí),將圓柱的側(cè)面沿高剪開(kāi),展開(kāi)后是正方形。易錯(cuò)題:把一根半徑是4分米、長(zhǎng)2分米的實(shí)心圓柱形鋼材截成兩個(gè)小圓柱,表面積與原來(lái)相比(A)。A.保持不變B.增加了50.24平方分米C.增加了100.48平方分米錯(cuò)解分析:將一根實(shí)心圓柱形鋼材截成兩個(gè)小圓柱后,在截口處增加了兩個(gè)底面,所以表面積比原來(lái)增加了3.14×42×2=100.48(平方分米)正確答案:C。重點(diǎn)提示:把圓柱平均分成的份數(shù)越多,所拼成的形狀就越近似于長(zhǎng)方體。知識(shí)巧記:圓柱體積并不難,底面積和高很關(guān)鍵;單位一致記心間,計(jì)算準(zhǔn)確體積現(xiàn)。重點(diǎn)提示:圓柱體積的計(jì)算公式:V=Sh V=r2hV=(d2)2h V=(C÷÷2)2h重點(diǎn)提示:計(jì)算容積時(shí),從容器的里面量需要的相關(guān)數(shù)據(jù);計(jì)算容積時(shí)一般用毫升和升作單位,也可以用體積單位。知識(shí)巧記:圓錐體積并不難,它與圓柱有關(guān)聯(lián),等底等高不能忘,三分之一記心間,題中條件要看清,單位一致再計(jì)算。易錯(cuò)題:判斷:圓錐有無(wú)數(shù)條高。(×)錯(cuò)解分析:圓錐的高是從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離,從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心只有一條線段,所以圓錐的高只有一條。正確答案:4.鋼管體積的計(jì)算方法。用鋼管底面的外圓面積減去內(nèi)圓面積再乘鋼管的長(zhǎng)度,即用鋼管底面的環(huán)形面積×鋼管的長(zhǎng)=鋼管的體積,用字母表示為:V=(R2-r2)×h。重點(diǎn)提示:把一個(gè)圓柱削成一個(gè)最大的圓錐,這個(gè)圓錐與圓柱等底等高。圓錐體積公式的靈活應(yīng)用:V=13Shh=V÷13÷SS=V÷13÷h