3.1.1　實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，會(huì)用冪的運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算.2.了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義. [知識(shí)鏈接] 1.4的平方根為±2，8的立方根為2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.基本概念 整數(shù)指數(shù) n次方根 分?jǐn)?shù)指數(shù) an＝ a0＝1(a≠0) a－n＝(a≠0) 如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，則x叫做a的n次方根，叫做把a(bǔ)開n次方，稱作開方運(yùn)算. ＝； ＝； ＝ (a>0，n，m∈N＋) 2.根式的性質(zhì) (1)()n＝a(n＞1且n∈N＋)； (2)＝ 3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則 若a>0，b>0，則有任意有理數(shù)α，β有如下運(yùn)算法則： (1)aαaβ＝aα＋β； (2)(aα)β＝aα·β； (3)(ab)α＝aα·bα. 解決學(xué)生疑難點(diǎn) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要點(diǎn)一　根式的運(yùn)算 例1　求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ； (4) － ，x∈(－3,3) 解　(1) ＝－2. (2) ＝＝. (3) ＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|， 當(dāng)－3＜x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 當(dāng)1＜x＜3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ 規(guī)律方法　1.解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡或求值. 2.開偶次方根時(shí)，先用絕對值表示開方的結(jié)果，再去掉絕對值符號(hào)化簡，化簡時(shí)要結(jié)合條件或分類討論. 跟蹤演練1　化簡下列各式： (1) ；(2) ；(3) . 解　(1) ＝－2. (2) ＝|－10|＝10. (3) ＝|a－b|＝ 要點(diǎn)二　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 例2　將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式： (1) ·；　(2) ； (3)·；　(4)()2·. 解　(1)·＝·＝； (2)原式＝ ＝ ＝··＝； (3)原式＝·＝； (4)原式＝()2··＝. 規(guī)律方法　在解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的問題時(shí)，關(guān)鍵是熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化式子：＝和＝＝，其中字母a要使式子有意義. 跟蹤演練2　用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式： (1) ·(a＜0)； (2) (a，b＞0)； (3)(b＜0)； (4) (x≠0). 解　(1)原式＝· ＝－·＝－(a＜0)； (2)原式＝ ＝ ＝＝(a，b＞0)； (3)原式＝＝＝(b＜0)； (4)原式＝＝＝. 要點(diǎn)三　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 例3　(1)計(jì)算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|； (2)化簡： ÷(a＞0). 解　(1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝. (2)原式＝[]÷[] ＝＝a0＝1. 規(guī)律方法　指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是：有括號(hào)先算括號(hào)里的；無括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 跟蹤演練3　計(jì)算或化簡： (1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0； (2) ·. 解　(1)原式＝(－1)＋－＋1 ＝＋(500)－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1 ＝－. (2)原式＝(·)·[(a－5)·(a)13] ＝(a0)·(·) ＝(a－4)＝a－2. 1.下列各式正確的是(　　) A.()3＝a B.()4＝－7 C.()5＝|a| D.＝a 答案　A 解析　()4＝7，()5＝a，＝|a|. 2.＋的值是(　　) A.0 B.2(a－b) C.0或2(a－b) D.a－b 答案　C 解析　當(dāng)a－b≥0時(shí)，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)； 當(dāng)a－b＜0時(shí)，原式＝b－a＋a－b＝0. 3.計(jì)算[(－)2]的結(jié)果是(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　A 解析　[(－)2]＝[()2]＝. 4.下列各式運(yùn)算錯(cuò)誤的是(　　) A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18. 答案　C 解析　直接運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算法則分別計(jì)算后選擇. 對于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a)3b6＝－a7·b8，故正確.對于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故正確.對于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D，易知正確，故選C. 5.2＋＋－·＝________. 答案　2－3 解析　原式＝＋＋＋1－22＝2－3. 1.掌握兩個(gè)公式：(1)()n＝a；(2)n為奇數(shù)，＝a，n為偶數(shù)，＝|a|＝ 2.根式一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解. 5