3.1.2　第1課時　指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) [學(xué)習(xí)目標]　1.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義.2.能借助計算器或計算機畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.初步掌握指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì). [知識鏈接] 1.ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br. 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我們知道有些細胞是這樣分裂的：由1個分裂成2個，2個分裂成4個，….1個這樣的細胞分裂x次后，第x次得到的細胞個數(shù)y與x之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系為y＝2x，x∈{0,1,2，…}. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 底數(shù) a＞1 0＜a＜1 圖象 性質(zhì) 定義域R，值域(0，＋∞) 圖象過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1 當x＞0時，y＞1； 當x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜1； 當x＜0時，y＞1 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 要點一　指數(shù)函數(shù)的概念 例1　給出下列函數(shù)： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　B 解析?、僦?，3x的系數(shù)是2，故①不是指數(shù)函數(shù)；②中，y＝3x＋1的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)；③中，3x的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有3x一項，故③是指數(shù)函數(shù)；④中，y＝x3的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).⑤中，底數(shù)－2＜0，不是指數(shù)函數(shù). 規(guī)律方法　1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1. 2.求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件. 跟蹤演練1　若函數(shù)y＝(4－3a)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________. 答案　{a|a＜，且a≠1} 解析　y＝(4－3a)x是指數(shù)函數(shù)，需滿足： 解得a＜且a≠1. 故a的取值范圍為{a|a＜，且a≠1}. 要點二　指數(shù)函數(shù)的圖象 例2　如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是(　　) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 答案　B 解析　方法一　在y軸的右側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象由下到上，底數(shù)依次增大. 由指數(shù)函數(shù)圖象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1. ∴b＜a＜1＜d＜c. 方法二　作直線x＝1，與四個圖象分別交于A、B、C、D四點，由于x＝1代入各個函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)的大小，所以四個交點的縱坐標越大，則底數(shù)越大，由圖可知b＜a＜1＜d＜c.故選B. 規(guī)律方法　1.無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象與直線x＝1相交于點(1，a)，由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大. 2.處理指數(shù)函數(shù)的圖象：①抓住特殊點，指數(shù)函數(shù)圖象過點(0,1)；②巧用圖象平移變換；③注意函數(shù)單調(diào)性的影響. 跟蹤演練2　(1)函數(shù)y＝|2x－2|的圖象是(　　) (2)直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________. 答案　(1)B　(2)(0，) 解析　(1)y＝2x－2的圖象是由y＝2x的圖象向下平移2個單位長度得到的，故y＝|2x－2|的圖象是由y＝2x－2的圖象在x軸上方的部分不變，下方部分對折到x軸的上方得到的. (2)當a＞1時，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝2a和y＝|ax－1|的圖象(如圖(1)).由圖象可知兩函數(shù)圖象只能有一個公共點，此時無解.當0＜a＜1，作出函數(shù)y＝2a和y＝|ax－1|的圖象(如圖(2)).若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個交點，由圖象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜. 要點三　指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域 例3　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝. 解　(1)由x－4≠0，得x≠4， 故y＝的定義域為{x|x≠4，x∈R}. 又≠0，即2≠1， 故y＝的值域為{y|y＞0，且y≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0， ∴y＝的定義域為(－∞，0]. 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0， ∴0≤1－2x＜1， ∴y＝的值域為[0,1). (3)y＝的定義域為R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴≤－4＝16. 又∵＞0， 故函數(shù)y＝的值域為(0,16]. 規(guī)律方法　對于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)這類函數(shù)， (1)定義域是使f(x)有意義的x的取值范圍； (2)值域問題，應(yīng)分以下兩步求解： ①由定義域求出u＝f(x)的值域； ②利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調(diào)性求得此函數(shù)的值域. 跟蹤演練3　(1)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　) A.(－3,0] B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函數(shù)f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域為________. 答案　(1)A　(2)[－，2] 解析　(1)由題意，自變量x應(yīng)滿足 解得∴－3＜x≤0. (2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3， ∴－≤x－1≤2， ∴值域為. 1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(　　) A.y＝(－3)x B.y＝－3x C.y＝3x－1 D.y＝x 答案　D 解析　由指數(shù)函數(shù)的定義知a＞0且a≠1，故選D. 2.y＝x的圖象可能是(　　) 答案　C 解析　0＜＜1且過點(0,1)，故選C. 3.y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是(　　) A.[1，＋∞) B.[2，＋∞) C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 答案　B 解析　y＝2x在R上是增函數(shù)，且21＝2，故選B. 4.指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax的圖象經(jīng)過點(2,4)，則f(－3)的值是________. 答案　 解析　由題意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝. 5.函數(shù)y＝的值域是________. 答案　(0,2] 解析　∵x2－1≥－1， ∴y＝≤－1＝2，又y＞0， ∴函數(shù)值域為(0,2]. 1.指數(shù)函數(shù)的定義域為(－∞，＋∞)，值域為(0，＋∞)，且f(0)＝1. 2.當a＞1時，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.當0＜a＜1時，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快. 6