第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的概念是掌握復(fù)數(shù)并解答復(fù)數(shù)有關(guān)問題的基礎(chǔ)，其中有虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，實(shí)部與虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)等有關(guān)復(fù)數(shù)題目的解答是有別于實(shí)數(shù)問題的，應(yīng)根據(jù)有關(guān)概念求解典例1(1)復(fù)數(shù)的虛部是()A.i B. Ci D(2)若復(fù)數(shù)(a23a2)(a1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A1 B2 C1或2 D1解析：(1)選Bi，故虛部為.(2)選B由純虛數(shù)的定義，可得解得a2.對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)z1a2i，z234i，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：設(shè)bi(bR且b0)，所以z1bi·z2，即a2ibi(34i)4b3bi.所以所以a.答案：2設(shè)復(fù)數(shù)zlg(m22m2)(m23m2)i，試求實(shí)數(shù)m的取值，使(1)z是純虛數(shù)；(2)z是實(shí)數(shù)；(3)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限解：(1)由得m3.當(dāng)m3時(shí)，z是純虛數(shù)(2)由得m1或m2.當(dāng)m1或m2時(shí)，z是實(shí)數(shù)(3)由得1<m<1或1<m<3.當(dāng)1<m<1或1<m<3時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限1.復(fù)數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是實(shí)數(shù)的加減乘除，加減法是對應(yīng)實(shí)、虛部相加減；乘法類比多項(xiàng)式乘法；除法類比分式的分子分母有理化，注意i21.2復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，同時(shí)應(yīng)熟練掌握i冪的周期性變化，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算常與復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等結(jié)合在一起考查另外計(jì)算要注意下面結(jié)論的應(yīng)用：(1)(a±b)2a2±2abb2，(2)(ab)(ab)a2b2，(3)(1±i)2±2i，(4)i，(5)i，i，(6)abii(bai)典例2復(fù)數(shù)等于()A.i B.iCi Di解析：選Di.典例3已知復(fù)數(shù)z1，z2a3i(aR)(1)若a2，求z1·；(2)若z是純虛數(shù)，求a的值解：由于z113i.(1)當(dāng)a2時(shí)，z223i，z1·2(13i)·(23i)23i6i9113i.(2)若z為純虛數(shù)，則應(yīng)滿足解得a9.即a的值為9.對點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則z()A1i B1iC1i D1i解析：選Az1i，故選A.4設(shè)a，bR，abi(i為虛數(shù)單位)，則ab的值為_解析：abi，abi53i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得a5，b3，故ab8.答案：85計(jì)算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.解：(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)和復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a，b)一一對應(yīng)，和向量OZ一一對應(yīng)，正確求出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部是解決此類題目的關(guān)鍵典例4若i為虛數(shù)單位，如圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AE BF CG DH解析：選D由題圖可得z3i，所以2i，則其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為H(2，1)典例5已知z是復(fù)數(shù)，z2i，均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)zxyi(x，yR)，則z2ix(y2)i，(xyi)(2i)(2xy)(2yx)i.由題意知z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，由已知得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)對點(diǎn)訓(xùn)練6若復(fù)數(shù)z滿足iz24i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2,4) B(2，4)C(4，2) D(4,2)解析：選C由iz24i，可得z42i，所以z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，2)7已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A、B在復(fù)平面上對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i，26i，OABC.求頂點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z.解：設(shè)zxyi，x，yR，如圖，A(1，2)，B(2,6)，C(x，y)OABC，|OC|BA|，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或|OA|BC|，x3，y4(舍去)，故z5.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)Z，則復(fù)數(shù)的模|z|OZ|，即Z(a，b)到原點(diǎn)的距離典例6已知復(fù)數(shù)z滿足|z22i|1，求|z32i|的最小值解：法一：設(shè)zxyi(x，yR)，則|xyi22i|1，即|(x2)(y2)i|1.(x2)2(y2)21.|z32i|，由(y2)21(x2)20，得x24x30.3x1，1610x636.46.當(dāng)x1時(shí)，|z32i|取最小值4.法二：由復(fù)數(shù)及其模的幾何意義知：滿足|z22i|1，即|z(22i)|1的復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)是以C(2,2)為圓心，半徑r1的圓，而|z32i|z(32i)|的幾何意義是：復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)A(3,2)的距離由圓的知識可知|z32i|的最小值為|AC|r.又|AC|5，所以|z32i|的最小值為514.對點(diǎn)訓(xùn)練8在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)P，Q分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z22z134i，|z1|1，則點(diǎn)Q的軌跡是()A線段 B圓C橢圓 D雙曲線解析：選Bz22z134i，2z1z2(34i)|z1|1，|2z1|2，|z2(34i)|2，由模的幾何意義可知點(diǎn)Q的軌跡是以(3，4)為圓心，2為半徑的圓9已知復(fù)數(shù)z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值時(shí)的z.解：法一：設(shè)zxyi(x，yR)，|z|2，x2y24，|zi|xyii|x(y1)i|.y24x24，2y2.故當(dāng)y2時(shí)，52y取最大值9，從而取最大值3，此時(shí)x0，即|zi|取最大值3時(shí)，z2i.法二：方程|z|2表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，而|zi|表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,1)的距離如圖，連接AO并延長與圓交于點(diǎn)B(0，2)，顯然根據(jù)平面幾何的知識可知，圓上的點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離最大，最大值為3，即當(dāng)z2i時(shí)，|zi|取最大值3.(時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z()A1i B1iC1i D1i解析：選D由1i，得z1i，故選D.2復(fù)數(shù)zi(i1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A1i B1iC1i D1i解析：選Azi(i1)1i，1i.3設(shè)z134i，z223i，則z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選D由已知，得z1z234i(23i)57i，則z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(5，7)4設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a等于()A. B1 C. D2解析：選Bi，由題意可知0，即a1.5a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，2，則a()A2 B. C. D1解析：選B由已知2得|(ai)·(i)|ai1|2，所以 2，a0，a.6復(fù)數(shù)2abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a2b2的值為()A1 B0 C1 D2解析：選A2iabi，所以a0，b1，所以a2b2011.7已知f(n)inin(i21，nN)，集合f(n)|nN的元素個(gè)數(shù)是()A2 B3 C4 D無數(shù)個(gè)解析：選Bf(0)i0i00，f(1)ii1i2i，f(2)i2i20，f(3)i3i32i，由in的周期性知f(n)|nN0，2i,2i8復(fù)數(shù)z12，z22i3分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P，Q，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B3iC1i D3i解析：選Dz1(i)21，z22i，對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2z12i(1)3i.9z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i，則“m1”是“z1z2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選Am1時(shí)，z132iz2，故“m1”是“z1z2”的充分條件由z1z2，得m2m13，且m2m42，解得m2或m1，故“m1”不是“z1z2”的必要條件10已知方程x2(4i)x4ai0(aR)有實(shí)根b，且zabi，則復(fù)數(shù)z等于()A22i B22iC22i D22i解析：選Ab2(4i)b4ai0，b24b4(ab)i0，z22i.11定義運(yùn)算adbc，則符合條件42i的復(fù)數(shù)z為()A3i B13i C3i D13i解析：選A由定義知ziz，得ziz42i，即z3i.12若1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2bxc0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：選B由題意可得(1i)2b(1i)c01bc(2b)i0，二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13已知a，bR，i是虛數(shù)單位若(ai)·(1i)bi，則abi_.解析：由(ai)(1i)a1(a1)ibi，得解方程組，得a1，b2，則abi12i.答案：12i14已知復(fù)數(shù)z13i，z2是復(fù)數(shù)12i的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部等于_解析：，其虛部為.答案：15若關(guān)于x的方程x2(2i)x(2m4)i0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)m_.解析：設(shè)mbi(bR，且b0)，方程的實(shí)根為x0，則x(2i)x0(2bi4)i0，即(x2x02b)(x04)i0，解得x04，b4.故m4i.答案：4i16已知復(fù)數(shù)zabi(a，bR)且，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限解析：a，bR且，即，5a5ai2b4bi155i，z710i.z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限答案：四三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題10分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(k23k4)(k25k6)i是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)0.解：(1)當(dāng)k25k60，即k6，或k1時(shí)，z是實(shí)數(shù)(2)當(dāng)k25k60，即k6，且k1時(shí)，z是虛數(shù)18(本小題12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|13iz，求的值解：設(shè)zabi(a，bR)，|z|13iz，13iabi0，z43i，34i.19(本小題12分)已知復(fù)數(shù)z123i，z2.求：(1)z1·z2；(2).解：z213i.(1)z1·z2(23i)(13i)79i.(2)i.20(本小題12分)已知z1i，a，b為實(shí)數(shù)(1)若z234，求|；(2)若1i，求a，b的值解：(1)因?yàn)閦234(1i)23(1i)41i，所以|.(2)由條件1i，得1i，即1i.所以(ab)(a2)i1i，所以解得21(本小題12分)已知復(fù)數(shù)z1滿足(1i)z115i，z2a2i，其中i為虛數(shù)單位，aR，若|z12|<|z1|，求a的取值范圍解：z123i，z2a2i，2a2i，|z12|(23i)(a2i)|4a2i|，又|z1|，|z1|<|z 1|，<，a28a7<0，解得1<a<7.a的取值范圍是(1,7)22(本小題12分)已知zm33i，其中mC，且為純虛數(shù)(1)求m對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡；(2)求|z|的最大值、最小值解：(1)設(shè)mxyi(x，yR)，則，為純虛數(shù)，即m對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，除去(3,0)，(3,0)兩點(diǎn)(2)由(1)知|m|3，由已知mz(33i)，|z(33i)|3.z所對應(yīng)的點(diǎn)Z在以(3,3)為圓心，以3為半徑的圓上由圖形可知|z|的最大值為|33i|39；最小值為|33i|33.12