第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例核心必知貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù)，且x>1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n>1nx問題思考在貝努利不等式中，指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎？提示：可以但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化事實(shí)上：當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)后，將有以下幾種情況出現(xiàn)：(1)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足>1或者<0時(shí)，有(1x)1x(x>1)(2)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足0<<1時(shí)，用(1x)1x(x>11)已知Sn1(n>1，nN)，求證：S2n>1(n2，nN)精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要注意n的取值范圍，因?yàn)閚>1，nN，因此應(yīng)驗(yàn)證n02時(shí)不等式成立(1)當(dāng)n2時(shí)，S221>1，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)命題成立，即S2k1>1.則當(dāng)nk1時(shí)，S2k11>1>111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)、(2)知，對(duì)nN，n2，S2n>1都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形，為滿足題目的要求，往往要采用“放縮”等手段，例如在本題中采用了“>”的變形1證明不等式：1<2(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，命題成立，即1<2.當(dāng)nk1時(shí)，左邊1<2，現(xiàn)在只需證明<2，即證：2<2k1，兩邊平方，整理：0<1，顯然成立<2成立即1<2成立當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)知，對(duì)于任何正整數(shù)n原不等式都成立.設(shè)Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要先對(duì)n取特值，猜想Pn與Qn的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1，2時(shí)，PnQn.(2)當(dāng)n3時(shí)，(以下再對(duì)x進(jìn)行分類)若x(0，)，顯然有Pn>Qn.若x0，則PnQn.若x(1，0)，則P3Q3x3<0，所以P3<Q3.P4Q44x3x4x3(4x)<0，所以P4<Q4.假設(shè)Pk<Qk(k3)，則Pk1(1x)Pk<(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3<Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1，0)時(shí)，Pn<Qn.(1)利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測(cè)出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立(2)本題除對(duì)n的不同取值會(huì)有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí)，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用2已知數(shù)列an，bn與函數(shù)f(x)，g(x)，xR，滿足條件：b1b，anf(bn)g(bn1)(nN)若函數(shù)yf(x)為R上的增函數(shù)，g(x)f1(x)，b1，f(1)<1，證明：對(duì)任意nN，an1<an.證明：因?yàn)間(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1<an(nN)(1)當(dāng)n1時(shí)，由f(x)為增函數(shù)，且f(1)<1，得a1f(b1)f(1)<1，b2f(a1)<f(1)<1，a2f(b2)<f(1)a1，即a2<a1，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1<ak.由f(x)為增函數(shù)，得f(ak1)<f(ak)即bk2<bk1，進(jìn)而得f(bk2)<f(bk1)即ak2<ak1.這就是說當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任意的nN，an1<an.若不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及探索型問題的求解方法解答本題需要根據(jù)n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，>，即>，a<26，而aN，取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明>.(1)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，>，則當(dāng)nk1時(shí)，有>.>，>0，>也成立由(1)、(2)可知，對(duì)一切nN，都有>，a的最大值為25.利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時(shí)3對(duì)于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n1)·>lg(1·2·3··n)解：猜想當(dāng)t3時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n使3n>n2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，313>112，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，3k>k2成立，則有3kk21.對(duì)nk1，3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，對(duì)nk1，命題成立由上知，當(dāng)t3時(shí)，對(duì)一切nN，命題都成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)·>lg(1·2·3··n)當(dāng)n1時(shí)，1·(11)·>0lg 1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，k(k1)·>lg(1·2·3··k)成立當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)·k(k1)·2(k1)·>lg(1·2·3··k)lg 3k1>lg(1·2·3··k)lg(k1)2lg1·2·3··k·(k1)命題成立由上可知，對(duì)一切正整數(shù)n，命題成立本課時(shí)考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合以解答題的形式考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用全國(guó)卷將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與直線方程相結(jié)合考查，是高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)考題印證(大綱全國(guó)卷)函數(shù)f(x)x22x3.定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過兩點(diǎn)P(4，5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)證明：2xnxn13；(2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式命題立意本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題，考查學(xué)生推理論證的能力解(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.當(dāng)n1時(shí)，x12，直線PQ1的方程為y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.直線PQk1的方程為y5(x4)，令y0，解得xk2.由歸納假設(shè)知xk2443；xk2xk10，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由、知對(duì)任意的正整數(shù)n，2xnxn13.(2)由(1)及題意得xn1.設(shè)bnxn3，則1，5，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為5的等比數(shù)列因此·5n1，即bn，所以數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn3.一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<2(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2B1<2C1<2 D1<2解析：選An02時(shí)，首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為.2如果命題P(n)對(duì)nk成立，則它對(duì)nk2也成立又若P(n)對(duì)n2成立則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對(duì)所有nN成立BP(n)對(duì)所有正偶數(shù)成立CP(n)對(duì)所有正奇數(shù)成立DP(n)對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立解析：選B在上面的證明方法中，n的第一個(gè)值為2，且遞推的依據(jù)是當(dāng)nk時(shí)，命題正確，則當(dāng)nk2時(shí)，命題也正確P(n)是對(duì)所有的正偶數(shù)成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和S(n2)對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C4D5解析：選Bn邊形的最少邊數(shù)為3，則n03.4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>(n>2，nN)”時(shí)的過程中，由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)解析：選C當(dāng)nk時(shí)，左邊.當(dāng)nk1時(shí)，左邊.故由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)二、填空題5證明<1<n1(n>1)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為2<1<3.答案：2<1<36用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN，12222325n1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)原式為_，從k到k1時(shí)需增添的項(xiàng)是_解析：當(dāng)n1時(shí)，原式為12222325112222324.從k到k1時(shí)需增添的項(xiàng)是25k25k125k225k325k4.答案：1222232425k25k125k225k325k47利用數(shù)學(xué)歸納法證明“<”時(shí)，n的最小取值n0應(yīng)為_解析：n01時(shí)不成立，n02時(shí)，<，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，故n02.答案：28設(shè)a0為常數(shù)，且an3n12an1(nN)，若對(duì)一切nN，有an>an1，則a0的取值范圍是_解析：取n1，2，則a1a013a0>0，a2a16a0>0，0<a0<.答案：三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，1<2，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即1<2，當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222，命題成立由(1)、(2)知原不等式在n2時(shí)均成立10試比較2n2與n2的大小(nN)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解：當(dāng)n1、n2、n3時(shí)都有2n2>n2成立，所以歸納猜想2n2>n2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊2124；右邊1，左邊>右邊，所以原不等式成立；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊>右邊假設(shè)nk時(shí)(k3且kN)時(shí)，不等式成立，即2k2>k2.那么nk1時(shí)2k122·2k22(2k2)2>2·k22.又因?yàn)?k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k12>(k1)2成立根據(jù)和可知，2n2>n2對(duì)于任何nN都成立11已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公比q3，Sn是它的前n項(xiàng)和求證：.證明：由已知，得Sn3n1，等價(jià)于，即3n2n1.(*)法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，(*)成立，即3k2k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，3k13×3k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，(*)成立綜合，得3n2n1成立所以.法二：當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立當(dāng)n2時(shí)，3n(12)nCC×2C×22C×2n12n>12n，所以(*)成立所以. 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