《2017-2018版高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5.2 定積分學案 蘇教版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5.2 定積分學案 蘇教版選修2-2（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.5.2　定積分 學習目標　1.了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質． 知識點一　定積分的概念 思考　回顧求曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求法，找一下它們的共同點． 一般地，設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為Δx(Δx＝)，在每個小區(qū)間上取一點，依次為x1，x2，…，xi，…，xn.作和______________________________________，如果當Δx→0(亦即n→＋∞)時，Sn→S(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

2、，b]上的定積分，記為：S＝?f(x)dx，其中，f(x)稱為__________，[a，b]稱為__________，a稱為________，b稱為__________． 知識點二　定積分的幾何意義 思考　定積分和曲邊梯形的面積有何關系？ 從幾何角度看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有________，那么定積分?f(x)dx表示由____________所圍成的曲邊梯形的面積．這就是定積分?f(x)dx的幾何意義． 知識點三　定積分的性質 思考　你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

3、?kf(x)dx＝ (k為常數(shù))． 2．?[f1(x)±f2(x)]dx＝ . 3．?f(x)dx＝ (其中a

4、dx； ③－?f(x)dx－?f(x)dx； ④－?f(x)dx＋?f(x)dx. (2)利用定積分的幾何意義計算?dx.　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)定積分的幾何意義是在x軸上半部，計算的面積取正值，在x軸下半部計算的面積取負值． (2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點要確定準確．(關鍵詞：分割) (3)奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分 ①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，則 ?f(x)dx＝0. ②若偶函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，

5、 則?f(x)dx＝2?f(x)dx. 跟蹤訓練2　利用幾何意義計算下列定積分： (1)?dx； (2)?(3x＋1)dx； (3)?(x3＋3x)dx. 　 　 　 　 　 　 　 　 類型三　定積分的性質 例3　計算?(－x3)dx的值． 　 　 　 　 　 反思與感悟　根據(jù)定積分的性質計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質、定積分的性質結合圖形進行計算． 跟蹤訓練3　已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝， 求：(1)?3x3dx

6、；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx. 　 1．關于定積分a＝?(－2)dx的敘述正確的是________．(填序號) ①被積函數(shù)為y＝2，a＝6； ②被積函數(shù)為y＝－2，a＝6； ③被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6； ④被積函數(shù)為y＝2，a＝－6. 2．將曲線y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所圍成的圖形面積寫成定積分的形式為________． 3．?2(x－2)dx＝________. 4．計算： (2－5sin x)dx. 1．定積分?f(x)dx是一個和式f(ξi)的極限，是一個常數(shù)． 2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對于

7、一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分． 3．定積分的幾何性質可以幫助簡化定積分運算． 提醒：完成作業(yè)　1.5.2 答案精析 問題導學 知識點一 思考　兩個問題均可以通過“分割、以直代曲、作和、逼近”解決，都可以歸結為一個特定形式和的極限． Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx　被積函數(shù)　積分區(qū)間　積分下限　積分上限 知識點二 思考　(1)當函數(shù)f(x)≥0時，定積分?f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a

8、)dx等于曲邊梯形面積S的相反數(shù)，即?f(x)dx＝－S. (3)當f(x)在區(qū)間[a，b]上有正有負時，定積分?f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負)． f(x)≥0　直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x) 知識點三 思考　直線x＝c把一個大的曲邊梯形分成了兩個小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2. 1．k?f(x)dx 2．?f1(x)dx±?f2(x)dx 3．?f(x)dx＋?f(x)dx 題型探究 例1　解　令f(

9、x)＝x2. (1)分割 在區(qū)間[0,3]上等間隔地插入n－1個點，把區(qū)間[0,3]分成n等份，其分點為xi＝(i＝1,2，…，n－1)，這樣每個小區(qū)間[xi－1，xi]的長度Δx＝(i＝1,2，…，n)． (2)以直代曲、作和 令ξi＝xi＝(i＝1,2，…，n)，于是有和式： (ξi)Δx＝()2·＝2＝·n(n＋1)·(2n＋1)＝(1＋)(2＋)． (3)逼近 n→＋∞時，(1＋)(2＋)→9. 根據(jù)定積分的定義?x2dx＝9. 跟蹤訓練1　解　(1)分割 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝. (2)以直代曲、作和

10、在上取點ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)， 于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋， 從而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝ ＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋·＝2＋. (3)逼近 n→＋∞時，2＋→. 因此?(1＋x)dx＝. 例2　(1)④ (2)解　?dx表示圓心為(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即?dx＝×π×22＝π. 跟蹤訓練2　解　(1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點為圓心以2為半徑的上半圓， 其面積為S＝·π·22＝2π. 由定積分的幾何意義知?dx＝2π. (2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：

11、?(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在 x軸上方的面積減去在x軸下方的面積， ∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16. (3)∵y＝x3＋3x為奇函數(shù)， ∴?(x3＋3x)dx＝0. 例3　解　如圖， 由定積分的幾何意義得 ?dx＝＝，?x3dx＝0， 由定積分性質得 ?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝. 跟蹤訓練3　解　(1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx) ＝3×(＋)＝12. (2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx) ＝6×(＋)＝126； (3)?(3x2－2x3)dx＝?3x2dx－?2x3dx ＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2× ＝7－＝－. 達標檢測 1．③　2.?exdx　3.5 4．解　由定積分的幾何意義得 2dx＝(－)×2＝2π. 由定積分的幾何意義得sin xdx＝0. 所以 (2－5sin x)dx＝2dx－5sin xdx＝2π. 9