習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)會利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(多項式次數(shù)不超過三次)知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞_f(x)<0單調(diào)遞_知識點(diǎn)二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極小值知識點(diǎn)三函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的求法1求函數(shù)yf(x)在(a，b)上的極值2將第(1)步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值類型一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例1(1)f(x)是定義在(0，)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)0，對任意正數(shù)a，b，若a<b，則必有_(填序號)af(b)bf(a)；bf(a)af(b)；af(a)bf(b)；bf(b)af(a)(2)已知函數(shù)f(x)xa(2ln x)，a>0.討論f(x)的單調(diào)性反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知f(x)x3ax2a2x2.若a1，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；若a0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)已知f(x)exax1.求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍類型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例2已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值反思與感悟(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要回代驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(fù)跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x2ln x1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(a1，a1)內(nèi)存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_類型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值反思與感悟求函數(shù)的最值的方法步驟：(1)求f(x)在(a，b)上的極值(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較得出函數(shù)f(x)在a，b上的最值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b，且a，b為實(shí)數(shù)，1<a<2，若f(x)在區(qū)間1,1上的最大值與最小值分別為1，2，則a_，b_.類型四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例4已知函數(shù)f(x)x2aln x(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x>1時，x2ln x<x3是否恒成立，并說明理由反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(如：證明不等式，比較大小等)，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，而證明不等式(或比較大小)常與函數(shù)最值問題有關(guān)因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值使問題得以求解跟蹤訓(xùn)練4證明：當(dāng)x2,1時，x34x.1若函數(shù)yx3x2mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_2設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，則當(dāng)a<x<b時，下面關(guān)系正確的是_(填序號)f(x)g(x)>f(b)g(b); f(x)g(a)>f(a)g(x)；f(x)g(b)>f(b)g(x); f(x)g(x)>f(a)g(a)3已知函數(shù)yf(x)(xR)的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集為_4已知函數(shù)f(x)x3x22x5，若對于任意x1,2，都有f(x)<m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題，都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的各種方法提醒：完成作業(yè)習(xí)題課答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一增減知識點(diǎn)二(1)f(x)>0f(x)<0(2)f(x)<0f(x)>0題型探究例1(1)解析令g(x)，則g(x)，xf(x)f(x)0，g(x)0.則g(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a<b，則g(a)>g(b)，即>，得bf(a)>af(b)(2)解由題意知，f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)<0即0<a<2時，對一切x>0都有f(x)>0，此時f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時，僅對x，有f(x)0，對其余的x>0都有f(x)>0.此時f(x)也是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)>0即a>2時，方程g(x)0有兩個不同的實(shí)根x1，x2，0<x1<x2.當(dāng)x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)遞增極大值遞減極小值遞增此時f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)0a2時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增區(qū)；當(dāng)a2時，f(x)在(0，)，(，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減跟蹤訓(xùn)練1解(1)a1，f(x)x3x2x2，f(x)3x22x1，kf(1)4，又f(1)3，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，所求切線方程為y34(x1)，即4xy10.f(x)3x22axa2(xa)(3xa)，由f(x)0，得xa或x，當(dāng)a>0時，由f(x)<0，得a<x<；由f(x)>0，得x<a或x>，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)和(，)當(dāng)a<0時，由f(x)<0，得<x<a；由f(x)>0，得x<或x>a，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(a，)綜上，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，(，)；當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(a，)(2)f(x)exax1，f(x)exa.令f(x)0，得exa，當(dāng)a0時，有f(x)>0在R上恒成立；當(dāng)a>0時，有xln a.綜上所述：當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)；當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為ln a，)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立，xR時，ex(0，)，a0.例2解(1)由f(x)x1，得f(x)1，又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時，f(x)>0恒成立，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a>0時，令f(x)0，得exa，xln a.x(，ln a)時，f(x)<0；x(ln a，)時，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值跟蹤訓(xùn)練21，)例3解(1)因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.當(dāng)0<t<2時，在區(qū)間(0，t)上f(x)<0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2t<3時，當(dāng)x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0.所以f(x)maxf(0)2.綜上，當(dāng)0t2時，f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22；當(dāng)2t3時，f(x)maxf(0)2，f(x)minf(2)2.跟蹤訓(xùn)練31例4解(1)f(x)x(x0)當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)綜上，當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(2)當(dāng)x>1時，x2ln x<x3恒成立，令g(x)x3x2ln x，g(x)2x2x，當(dāng)x>1時，g(x)>0，故g(x)在(1，)上遞增，g(x)>g(1)>0，x3x2ln x>0，即x2ln x<x3在x(1，)上恒成立跟蹤訓(xùn)練4證明令f(x)x34x，x2,1，則f(x)x24.因?yàn)閤2,1，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f(2)，最小值為f(1).所以，當(dāng)x2,1時，f(x)，即x34x成立達(dá)標(biāo)檢測1.2.3(，0)(，2)4.(7，)10