1.4.2微積分基本定理(一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分1微積分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可積，則f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)2定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則(1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時(shí)，如圖(1)，則f(x)dxS上(2)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸下方時(shí)，如圖(2)，則f(x)dxS下(3)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方、x軸下方均存在時(shí)，如圖(3)，則f(x)dxS上S下，若S上S下，則f(x)dx0.情境導(dǎo)學(xué)從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，雖然被積函數(shù)f(x)x3非常簡(jiǎn)單，但直接用定積分的定義計(jì)算x3dx的值卻比較麻煩有沒有更加簡(jiǎn)便、有效的方法求定積分？另外，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的概念導(dǎo)數(shù)和定積分，這兩個(gè)概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系？我們能否利用這種聯(lián)系求定積分？探究點(diǎn)一微積分基本定理思考1如下圖，一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是yy(t)，并且y(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t的速度v(t)y(t)設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段a，b內(nèi)的位移為s，你能分別用y(t)，v(t)表示s嗎？答由物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是yy(t)知：sy(b)y(a)，通過(guò)求定積分的幾何意義，可得sv(t)dty(t)dt，所以v(t)dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)小結(jié)(1)如果f(x)在區(qū)間a，b上可積，且F(x)f(x)，則f(x)dxF(b)F(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理(2)運(yùn)用微積分基本定理求定積分f(x)dx很方便，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出滿足F(x)f(x)的F(x)思考2對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)來(lái)說(shuō)，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，會(huì)影響微積分基本定理的唯一性嗎？答不唯一，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，若F(x)f(x)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)c，F(xiàn)(x)cF(x)cf(x)不影響，因?yàn)閒(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1計(jì)算下列定積分：(1)dx；(2)(2x)dx；(3)(cos xex)dx.解(1)因?yàn)?ln x)，所以dxln x|ln 2ln 1ln 2.(2)因?yàn)?x2)2x，()，所以(2x)dx2xdxdxx2|(91)(1).(3)(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.反思與感悟求簡(jiǎn)單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)：(1)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；(2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列定積分：(1)(x1)5dx；(3)dx.解(1)因?yàn)?x1)5，所以(x1)5dx×(21)6×(11)6.(2)因?yàn)閟in3xcos x，所以sin4sin40.(3)令f(x)，取F(x)ln xln(x1)ln ，則F(x).所以dx()dxln .探究點(diǎn)二分段函數(shù)的定積分例2已知函數(shù)f(x)先畫出函數(shù)圖象，再求這個(gè)函數(shù)在0,4上的定積分解圖象如圖1(2)(40)7.反思與感悟求分段函數(shù)的定積分，分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)求f(x)dx.解f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3|(sin xx)|sin 1.探究點(diǎn)三定積分的應(yīng)用例3計(jì)算下列定積分：sin xdx，sin xdx，sin xdx.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解因?yàn)?cos x)sin x，所以sin xdx(cos x)|(cos )(cos 0)2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos )2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos 0)0.可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0：定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系：(1)位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分；(2)位于x軸下方的曲邊梯形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分的相反數(shù)；(3)定積分的值就是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積反思與感悟求平面圖形面積的步驟：(1)畫函數(shù)的圖象，聯(lián)立方程組求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)(2)將曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積(3)確定被積函數(shù)和積分區(qū)間，計(jì)算定積分，求出面積跟蹤訓(xùn)練3求曲線ysin x與直線x，x，y0所圍圖形的面積(如圖所示)解所求面積為S|sin x|dx0sin xdxsin xdxsin xdx12(1)4.1定積分(2xex)dx的值為()Ae2 Be1Ce De1答案C解析(2xex)dx(x2ex)|e.故選C.2若(2x)dx3ln 2，則a的值是()A5 B4 C3 D2答案D解析(2x)dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.3(x2x)dx_.答案解析(x2x)dxx2dxxdx|.4已知f(x)，計(jì)算f(x)dx.解取F1(x)2x22x，則F1(x)4x2；取F2(x)sin x，則F2(x)cos x.所以即f(x)dx21.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1求定積分的一些常用技巧(1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求積分(2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分2由于定積分的值可取正值，也可取負(fù)值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對(duì)應(yīng)圖形在某幾個(gè)區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù)6