11.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程1.割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，AB是過(guò)點(diǎn)A(x0，f(x0)與點(diǎn)B(x0x，f(x0x)的一條割線，此割線的斜率是.當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，這條直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線于是，當(dāng)x0時(shí)，割線AB的斜率無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即kf(x0) .2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說(shuō)，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率是f(x0)相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)情境導(dǎo)學(xué)如果一個(gè)函數(shù)是路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，那么函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)速度，這是函數(shù)的實(shí)際意義，那么從函數(shù)的圖象上來(lái)考察函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，它具有怎樣的幾何意義呢？這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容探究點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義思考1如圖，當(dāng)點(diǎn)Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(x0，f(x0)時(shí)，割線PPn的變化趨勢(shì)是什么？答當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線思考2曲線的切線是不是一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？答不一定曲線的切線和曲線不一定只有一個(gè)交點(diǎn)，和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線和曲線也不一定相切如圖，曲線的切線是通過(guò)逼近將割線趨于確定位置的直線例1如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)4.9t26.5t10的圖象根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t0，t1，t2附近的變化情況解我們用曲線h(t)在t0，t1，t2處的切線，刻畫(huà)曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況(1)當(dāng)tt0時(shí)，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于t軸所以，在tt0附近曲線比較平坦，幾乎沒(méi)有升降(2)當(dāng)tt1時(shí)，曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h(t1)<0.所以，在tt1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在tt1附近單調(diào)遞減(3)當(dāng)tt2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h(t2)<0.所以，在tt2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在tt2附近也單調(diào)遞減從圖中可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說(shuō)明曲線h(t)在t1附近比在t2附近下降得緩慢反思與感悟?qū)?shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系：若函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)存在且f(x0)>0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是上升的；若f(x0)<0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是下降的導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了曲線上升和下降的快慢跟蹤訓(xùn)練1(1)根據(jù)例1的圖象，描述函數(shù)h(t)在t3和t4附近增(減)以及增(減)快慢的情況解函數(shù)h(t)在t3、t4處的切線的斜率h(t)>0，所以，在tt3，tt4附近單調(diào)遞增，且曲線h(t)在t3附近比在t4附近遞增得快(2)若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象可能是()答案A解析依題意，yf(x)在a，b上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個(gè)選項(xiàng)的圖象，只有A滿足探究點(diǎn)二求切線的方程思考1怎樣求曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程？答根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程思考2曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線與曲線過(guò)某點(diǎn)(x0，y0)的切線有何不同？答曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線，點(diǎn)(x0，f(x0)一定是切點(diǎn)，只要求出kf(x0)，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線即可；而曲線f(x)過(guò)某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)例2已知曲線yx2，求：(1)曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程；(2)曲線過(guò)點(diǎn)P(3,5)的切線方程解(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，y|xx0 2x0，斜率k2.曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(diǎn)P(3,5)不在曲線yx2上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)由(1)知，k2x0，切線方程為yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直線上得5y02x0(3x0)再由A(x0，y0)在曲線yx2上得y0x聯(lián)立，得，x01或x05.從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為k12x02，此時(shí)切線方程為y12(x1)，即2xy10，當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為k22x010，此時(shí)切線方程為y2510(x5)，即10xy250.綜上所述，過(guò)點(diǎn)P(3,5)且與曲線yx2相切的直線方程為2xy10或10xy250.反思與感悟求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上此點(diǎn)處的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程，要先求出切點(diǎn)坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練2已知直線l：y4xa和曲線C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)解設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，f(x) 3x24x，kf(x0)3x4x0.由題意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(2,3)當(dāng)切點(diǎn)為(，)時(shí)，有4×()a，解得a.當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有34×2a，解得a5.當(dāng)a時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；當(dāng)a5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)1已知曲線f(x)2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為()A4 B16 C8 D2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.2若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由題意，知k 1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選A.3已知曲線yf(x)2x24x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)答案(3,30)解析設(shè)點(diǎn)P(x0,2x4x0)，則f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即k f(x0)，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度2“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f(x0)是其導(dǎo)數(shù)yf(x)在xx0處的一個(gè)函數(shù)值3利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)6