11.2量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見(jiàn)的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和存在性命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞與全稱命題思考觀察下列命題：每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓；所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；對(duì)一切有理數(shù)x,5x2還是有理數(shù)以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假梳理(1)全稱量詞“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”符號(hào)全稱命題p含有_的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(2)判斷全稱命題真假性的方法：對(duì)于全稱命題“xM，p(x)”，要判斷它為真，需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個(gè)xx0，使p(x0)不成立即可知識(shí)點(diǎn)二存在量詞與存在性命題思考觀察下列命題：有些矩形是正方形；存在實(shí)數(shù)x，使x>5；至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x22x2<0.以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假梳理(1)存在量詞“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”符號(hào)存在性命題含有_的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使q(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(2)判斷存在性命題真假性的方法：要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)xx0，使q(x0)成立即可，否則，這一存在性命題是假命題類型一全稱命題與存在性命題的識(shí)別例1判斷下列語(yǔ)句是全稱命題，還是存在性命題(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有些實(shí)數(shù)a，b能使|ab|a|b|；(3)對(duì)任意a，bR，若a>b，則<；(4)有一個(gè)函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)反思與感悟(1)判斷語(yǔ)句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或存在性命題(2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是存在性命題(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并用符號(hào)“”或“”表示下列命題(1)自然數(shù)的平方大于或等于零；(2)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)；(3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；(4)對(duì)于數(shù)列，總存在正整數(shù)n，使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01.類型二全稱命題與存在性命題的真假的判斷例2判斷下列命題的真假：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P；(2)存在一個(gè)函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；(3)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來(lái)表示；(4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得等式x2x80成立；(5)xR，x23x20；(6)xR，x23x20.反思與感悟要判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題要判定存在性命題“xM，q(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題就是假命題跟蹤訓(xùn)練2有下列四個(gè)命題：xR,2x23x4>0；x1，1,0,2x1>0；xN，x2x；xN，x為29的約數(shù)，其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4類型三全稱命題與存在性命題的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，并說(shuō)明理由；(2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式mf(x)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍反思與感悟(1)一般地，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.(2)有關(guān)一元二次不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的問(wèn)題，一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解，二是分離參數(shù)法求解前者主要運(yùn)用b24ac的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，后者常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值跟蹤訓(xùn)練3(1)已知關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)令p(x)：ax22x1>0，若對(duì)xR，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍1下列命題中，不是全稱命題的是()A任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B自然數(shù)都是正整數(shù)C每一個(gè)向量都有大小D一定存在沒(méi)有最大值的二次函數(shù)2下列命題是真命題的是()Aa>b是ac2>bc2的充要條件Ba>1，b>1是ab>1的充分條件CxR,2x>x2DxR，ex<03下列存在性命題是假命題的是()A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)4若x0，tan xm是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_5用量詞符號(hào)“”“”表述下列命題，并判斷真假(1)所有的實(shí)數(shù)x都能使x2x1>0成立；(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程axb0恰有一個(gè)解；(3)一定有整數(shù)x，y，使得3x2y10成立；(4)所有的有理數(shù)x都能使x2x1是有理數(shù)1判斷全稱命題的關(guān)鍵：一是先判斷是不是命題；二是看是否含有全稱量詞2判定全稱命題的真假的方法定義法：對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x，p(x)都為真；代入法：在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)x0，使p(x0)為假，則全稱命題為假3判定存在性命題真假的方法代入法：在給定的集合中找到一個(gè)元素x0，使命題q(x0)為真，否則命題為假答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考命題分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”命題是真命題，命題是假命題，三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義，要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立，而負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，故命題為假命題梳理(1)全稱量詞xM，p(x)知識(shí)點(diǎn)二思考命題分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”命題是真命題，命題是假命題三個(gè)命題中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言，要說(shuō)明這些命題是真命題，只要舉出一個(gè)例子即可所以命題是真命題，而任意實(shí)數(shù)x，x22x2都大于0，所以命題為假命題梳理(1)存在量詞xM，q(x)題型探究例1解(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”，是全稱命題(2)含有存在量詞“有些”，故是存在性命題(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題(4)含有存在量詞“有一個(gè)”，是存在性命題跟蹤訓(xùn)練1解(1)是全稱命題，表示為xN，x20.(2)是全稱命題，xx|x是無(wú)理數(shù)，x2是無(wú)理數(shù)(3)是存在性命題，f(x)函數(shù)，f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)(4)是存在性命題，nN，|an1|0.01，其中an.例2解(1)真命題(2)真命題，如函數(shù)f(x)0，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(3)假命題，如邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度為，就不能用正有理數(shù)表示(4)假命題，方程x2x80的判別式31<0，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解(5)假命題，只有x2或x1時(shí)，等式x23x20才成立(6)真命題，x2或x1，都使得等式x23x20成立跟蹤訓(xùn)練2C例3解方法一(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對(duì)于任意xR恒成立，只需m>4即可故存在實(shí)數(shù)m使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，此時(shí)需m>4.(2)不等式mf(x)>0，可化為m>f(x)，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，所以m>4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，)方法二(1)要使不等式mf(x)>0對(duì)xR恒成立，即x22x5m>0對(duì)xR恒成立所以(2)24(5m)<0，解得m>4，所以當(dāng)m>4時(shí)，mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立(2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使mf(x)>0成立，即x22x5m<0成立只需(2)24(5m)>0即可，解得m>4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，)跟蹤訓(xùn)練3解(1)關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)對(duì)xR，p(x)是真命題對(duì)xR，ax22x1>0恒成立，當(dāng)a0時(shí)，不等式為2x1>0不恒成立，當(dāng)a0時(shí)，若不等式恒成立，則a>1.當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.B3.B4.15解(1)xR，x2x1>0，真命題(2)a，bR，axb0恰有一解，假命題(3)x，yZ,3x2y10，真命題(4)xQ，x2x1是有理數(shù)，真命題7