2 指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，學(xué)會(huì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化.2.了解無理數(shù)指數(shù)冪，理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).3.能用實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值知識(shí)點(diǎn)一分?jǐn)?shù)指數(shù)冪思考由a222(a>0)易得a2，由此你有什么猜想？梳理分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)定義：給定_a，對(duì)于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的_b，使得_，我們把b叫作a的_，記作b_.(2)意義正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪前提條件a>0，m，n均為正整數(shù)，m，n互素結(jié)論_，無意義知識(shí)點(diǎn)二無理數(shù)指數(shù)冪思考無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，課本中是如何用有理數(shù)指數(shù)冪來研究無理數(shù)指數(shù)冪的？梳理無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，是無理數(shù)) 是一個(gè)確定的正實(shí)數(shù)至此，指數(shù)冪a的指數(shù)取值范圍擴(kuò)充為R.知識(shí)點(diǎn)三實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)思考1在實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax中，為什么要規(guī)定a>0?梳理一般地，在研究實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，約定底數(shù)為大于零的實(shí)數(shù)思考2初中，我們知道a0，m<n時(shí)有a(nm)(其中m，n為正整數(shù))那么，當(dāng)a>0，m，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成立嗎？梳理一般地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有：(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.知識(shí)點(diǎn)四實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)思考如何化簡(jiǎn)()？梳理實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)中，先把根式、分式都化為實(shí)數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)類型一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化例1用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)(1)；(2).反思與感悟?qū)崝?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與計(jì)算中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，要切實(shí)掌握跟蹤訓(xùn)練1用根式表示 (x>0，y>0)例2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0，b>0.(1)；(2)；(3)；(4).反思與感悟指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)后，當(dāng)a0時(shí)，有時(shí)有意義，有時(shí)無意義如(1)1，但(1)就不是實(shí)數(shù)了為了保證在取任何有理數(shù)時(shí)，都有意義，所以規(guī)定a>0.當(dāng)被開方數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí)，冪指數(shù)不能隨意約分跟蹤訓(xùn)練2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .類型二運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))(1)(0.027)()(2)0.5；(2)(3)反思與感悟一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，可按系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計(jì)算；化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的跟蹤訓(xùn)練3(1)化簡(jiǎn)：()×()080.25×(×)6；(2)化簡(jiǎn)：(3)已知5，求的值類型三運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式解方程例4已知a>0，b>0，且abba，b9a，求a的值反思與感悟指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)乃至實(shí)數(shù)，給運(yùn)算帶來了方便，我們可以借助指數(shù)運(yùn)算法則輕松對(duì)指數(shù)進(jìn)行變形，以達(dá)到我們代入、消元等目的跟蹤訓(xùn)練4已知67x27,603y81，求的值1化簡(jiǎn)的值為()A2 B4C6 D82等于()A25 B. C5 D.3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示(a>b)為()A(ab) B(ba)C(ab) D(ab)4()4等于()Aa16 Ba8 Ca4 Da25計(jì)算41×222的結(jié)果是()A32 B16 C64 D1281指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是：有括號(hào)先算括號(hào)里面的；無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算，負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2指數(shù)冪的運(yùn)算原則是：一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考當(dāng)a>0，b>0時(shí)，若ambn，則a(m，n為非零整數(shù))梳理(1)正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)bnam次冪(2) 0知識(shí)點(diǎn)二思考隨著精確度越高，無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值都無限趨近于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)即為實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)三思考1把指數(shù)擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)后，若a<0，ax有時(shí)沒有意義，如(2)，為運(yùn)算方便，規(guī)定a>0.思考2因?yàn)橹笖?shù)已擴(kuò)充為實(shí)數(shù)，故有am·anamn.既不必再區(qū)分m、n的大小，也不必區(qū)分am·an和了知識(shí)點(diǎn)四思考()(a1·a·b·b1)(題型探究例1解(1).(2) .跟蹤訓(xùn)練1解·.例2解(1)(2)(3)(4)a3.跟蹤訓(xùn)練2解(1)(2)(3)b3·b3·(4)例3解(1)(0.027)()(2)0.5()2 0.090.09.(2)原式2×(6)÷(3)4ab04a.(3) .跟蹤訓(xùn)練3解(1)原式(2)5×(4)×()×(3)由5，兩邊同時(shí)平方得x2x125，整理得xx123，則有23.例4解方法一a>0，b>0，又abba，方法二abba，b9a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a.跟蹤訓(xùn)練4解由67x33，得673，由603y81，得6033，2，故2.當(dāng)堂訓(xùn)練1B2.D3.C4.D5.B10