3.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念思考已知函數(shù)y2x，那么反過(guò)來(lái)，x是否為關(guān)于y的函數(shù)？梳理一般地，_叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是_知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)思考ylogax化為指數(shù)式是xay.你能用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性嗎？梳理類似地，我們可以借助指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)定義ylogax (a>0，且a1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域值域單調(diào)性在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過(guò)點(diǎn)_，即loga10函數(shù)值特點(diǎn)x(0,1)時(shí)y_；x1，)y_x(0,1)時(shí)y_；x1，)時(shí)，y_對(duì)稱性函數(shù)ylogax與yx的圖象關(guān)于_對(duì)稱類型一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例1已知對(duì)數(shù)函數(shù)yf(x)過(guò)點(diǎn)(4,2)，求f及f(2lg 2)反思與感悟一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須滿足以下條件(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？并說(shuō)明理由(1)ylogax2(a0，且a1)；(2)ylog2x1；(3)ylogxa(x0，且x1)；(4)ylog5x.類型二對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的應(yīng)用例2求下列函數(shù)的定義域(1)yloga(3x)loga(3x)；(2)ylog2(164x)引申探究1若將例2(1)中的函數(shù)改為yloga(x3)loga(x3)，求定義域2求函數(shù)yloga(x3)(x3)的定義域，相比引申探究1，定義域有何變化？反思與感悟求含對(duì)數(shù)式的函數(shù)定義域關(guān)鍵是真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.如需對(duì)函數(shù)式變形，需注意真數(shù)底數(shù)的取值范圍是否改變跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域(1)y；(2)ylog(x1)(164x)；(3)ylog(3x1)(2x3)類型三對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1比較同底對(duì)數(shù)值的大小例3比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a1)反思與感悟比較兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)大小，首先要根據(jù)對(duì)數(shù)的底數(shù)來(lái)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性；然后比較真數(shù)大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性判斷兩對(duì)數(shù)值的大小對(duì)于底數(shù)以字母形式出現(xiàn)的，需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論對(duì)于不同底的對(duì)數(shù)，可以估算范圍，如log22<log23<log24，即1<log23<2，從而借助中間值比較大小跟蹤訓(xùn)練3設(shè)alog3，blog2，clog3，則a，b，c的大小關(guān)系是_命題角度2求ylogaf(x)型的函數(shù)值域例4函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)開反思與感悟在函數(shù)三要素中，值域從屬于定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系故求ylogaf(x)型函數(shù)的值域必先求定義域，進(jìn)而確定f(x)的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的單調(diào)性求出logaf(x)的取值范圍跟蹤訓(xùn)練4函數(shù)y的值域?yàn)開類型四對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象命題角度1畫與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象例5畫出函數(shù)ylg|x1|的圖象反思與感悟現(xiàn)在畫圖象很少單純描點(diǎn)，大多是以基本初等函數(shù)為原料加工，所以一方面要掌握一些常見的平移、對(duì)稱變換的結(jié)論，另一方面要關(guān)注定義域、值域、單調(diào)性、關(guān)鍵點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練5畫出函數(shù)y|lg(x1)|的圖象命題角度2與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換例6函數(shù)f(x)4loga(x1)(a>0，a1)的圖象過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是_反思與感悟yf(x)yf(xa)，yf(x)yf(x)b.對(duì)具體函數(shù)(如對(duì)數(shù)函數(shù))仍然適用跟蹤訓(xùn)練6若函數(shù)f(x)ax1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，則函數(shù)g(x)loga的圖象是_1函數(shù)ylog2(x2)的定義域是_2函數(shù)f(x)lg(1x)的定義域是_3函數(shù)f(x)log0.2(2x1)的值域?yàn)開4已知函數(shù)yloga(xb)(a，b為常數(shù)，其中a>0，a1)的圖象如圖所示，則ab的值為_5若函數(shù)f(x)2loga(2x)3(a>0，且a1)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_1含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”的函數(shù)不一定是對(duì)數(shù)函數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，不僅要含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”，還要符合對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，即形如ylogax(a>0，且a1)的形式如：y2log2x，ylog5都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)2研究ylogaf(x)的性質(zhì)如定義域、值域、比較大小，均需依托對(duì)數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)3研究與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題，以對(duì)數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，加以平移、伸縮、對(duì)稱或截取一部分答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考由于y2x是單調(diào)函數(shù)，所以對(duì)于任意y(0，)都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，故x也是關(guān)于y的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式是xlog2y，此處y(0，)梳理函數(shù)ylogax(a>0，a1)(0，)知識(shí)點(diǎn)二思考當(dāng)a1時(shí)，若0x1x2，則ay1ay2，解指數(shù)不等式，得y1y2，從而ylogax在(0，)上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)0a1時(shí)，同理可得ylogax在(0，)上為單調(diào)減函數(shù)梳理(0，)R(1,0)(，0)0，)(0，)(，0x軸題型探究例1設(shè)ylogax(a0，且a1)，則2loga4，故a2，即ylog2x，因此flog21，f(2lg 2)log22lg 2lg 2.跟蹤訓(xùn)練1解(1)中真數(shù)不是自變量x，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(2)中對(duì)數(shù)式后減1，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(3)中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)a，不是對(duì)數(shù)函數(shù)(4)為對(duì)數(shù)函數(shù)例2解(1)由得3<x<3，函數(shù)的定義域是x|3<x<3(2)由164x>0，得4x<1642，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x<2，函數(shù)ylog2(164x)的定義域?yàn)閤|x<2引申探究1解由得x>3.函數(shù)yloga(x3)loga(x3)的定義域?yàn)閤|x>32解(x3)(x3)>0，即或解得x<3或x>3.函數(shù)yloga(x3)(x3)的定義域?yàn)閤|x<3或x>3相比引申探究1，函數(shù)yloga(x3)(x3)的定義域多了(，3)這個(gè)區(qū)間，原因是對(duì)于yloga(x3)·(x3)，要使對(duì)數(shù)有意義，只需(x3)與(x3)同號(hào)，而對(duì)于yloga(x3)loga(x3)，要使對(duì)數(shù)有意義，必須(x3)與(x3)同時(shí)大于0.跟蹤訓(xùn)練2解(1)要使函數(shù)有意義，需即即3<x<2或x2，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?3，2)2，)(2)要使函數(shù)有意義，需即所以1<x<2，且x0，故所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|1<x<2，且x0(3)要使函數(shù)有意義，需即所以x>且x，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?例3解(1)考察對(duì)數(shù)函數(shù)ylog2x，因?yàn)樗牡讛?shù)2>1，所以它在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，又3.48.5，于是log23.4<log28.5.(2)考察對(duì)數(shù)函數(shù)ylog0.3x，因?yàn)樗牡讛?shù)0<0.3<1，所以它在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，又1.82.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.(3)當(dāng)a>1時(shí)，ylogax在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，又5.15.9，于是loga5.1<loga5.9；當(dāng)0<a<1時(shí)，ylogax在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，又5.15.9，于是loga5.1>loga5.9.綜上，當(dāng)a1時(shí)，loga5.1loga5.9；當(dāng)0a1時(shí)，loga5.1loga5.9.跟蹤訓(xùn)練3a>b>c解析alog31，blog23，則b1，clog32，abc.例4(0，)解析f(x)的定義域?yàn)镽.3x>0，3x1>1.ylog2x在(0，)上單調(diào)遞增，log2(3x1)>log210，即f(x)的值域?yàn)?0，)跟蹤訓(xùn)練40，)解析當(dāng)x<1時(shí)，0<3x<31，當(dāng)x1時(shí)，log2xlog210，函數(shù)的值域?yàn)?，)0，)例5解(1)先畫出函數(shù)ylg x的圖象(如圖)(2)再畫出函數(shù)ylg|x|的圖象(如圖)(3)最后畫出函數(shù)ylg|x1|的圖象(如圖)跟蹤訓(xùn)練5解(1)先畫出函數(shù)ylg x的圖象(如圖)(2)再畫出函數(shù)ylg(x1)的圖象(如圖)(3)再畫出函數(shù)y|lg(x1)|的圖象(如圖)例6(2,4)解析因?yàn)楹瘮?shù)yloga(x1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(2,0)，所以函數(shù)f(x)4loga(x1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(2,4)跟蹤訓(xùn)練6解析代入(4,2)，得2a41，即a32，a>1.g(x)logaloga(x1)在(1，)上為單調(diào)減函數(shù)且過(guò)點(diǎn)(0,0)故填.當(dāng)堂訓(xùn)練1(2，)2(1,1)(1，)解析定義域?yàn)?1,1)(1，)3(，0)4.解析uxb為單調(diào)增函數(shù)，ylogau為單調(diào)減函數(shù)，0<a<1.又由圖象過(guò)(0,2)，(3,0)，2logab，a2b，又0loga(b)，b1，b.a，ab.5(1,3)12