第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題1求參數(shù)例1設(shè)曲線(xiàn)yf(x)ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2xy60平行，則a_.解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，2aax，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，2aax無(wú)限趨近于2a，即f(1)2a.又由曲線(xiàn)f(x)ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2xy60平行，得2a2，即a1.答案12求傾斜角例2求曲線(xiàn)yf(x)x3x25在x1處的切線(xiàn)的傾斜角分析要求切線(xiàn)的傾斜角，先要求切線(xiàn)的斜率k，再根據(jù)斜率ktan ，求出傾斜角.解設(shè)曲線(xiàn)yf(x)x3x25在x1處的切線(xiàn)的傾斜角為.(x)21，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，(x)21無(wú)限趨近于1，即tan f(1)1.因?yàn)?，)，所以.故切線(xiàn)的傾斜角為.評(píng)注切線(xiàn)的傾斜角能通過(guò)求切線(xiàn)的斜率得到，在解題過(guò)程中，一定要注意切線(xiàn)的傾斜角的取值范圍3求曲線(xiàn)的切線(xiàn)例3求在點(diǎn)P處與曲線(xiàn)yx3相切的切線(xiàn)方程分析要求直線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程，需求得過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率k，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可求得切線(xiàn)方程解因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線(xiàn)yx3上，y(2x)3×234x2(x)2(x)3，所以42x(x)2，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于4，即k4.故所求的切線(xiàn)方程為y4(x2)，即12x3y160.評(píng)注求在點(diǎn)P處與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程時(shí)，可求出切線(xiàn)的斜率，然后再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程4求切點(diǎn)的坐標(biāo)例4若曲線(xiàn)yf(x)x31在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)分析要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，x1)，然后由切線(xiàn)的斜率為3，解方程求得解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，x1)，因?yàn)?x3x0x(x)2，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，上式無(wú)限趨近于3x，所以3x3.解得x0±1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(1,0)評(píng)注值得注意的是切點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，部分同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)而出錯(cuò).2利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題是高考的常見(jiàn)題型之一而導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義為曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線(xiàn)的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問(wèn)題是常用的方法下面對(duì)“求過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)方程”的題型做以下歸納1已知切點(diǎn)，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程此類(lèi)題只需求出曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)f(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線(xiàn)f(x)x33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程為()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x，知在點(diǎn)(1，1)處的斜率kf(1)3.所以切線(xiàn)方程為y(1)3(x1)，即y3x2.故選B.答案B2已知過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)，求切線(xiàn)方程過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例2求過(guò)曲線(xiàn)f(x)x32x上的點(diǎn)(1，1)的切線(xiàn)方程解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線(xiàn)的斜率為f(x0)3x2.所以切線(xiàn)方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01，或x0.故所求切線(xiàn)方程為y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20，或5x4y10.點(diǎn)評(píng)可以發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)5x4y10并不以(1，1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，且以(，)為切點(diǎn)的直線(xiàn)這說(shuō)明過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)3已知過(guò)曲線(xiàn)外一點(diǎn)，求切線(xiàn)方程此類(lèi)題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解例3求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線(xiàn)f(x)相切的直線(xiàn)方程解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線(xiàn)的斜率為f(x0).所以切線(xiàn)方程為yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,0)，把它代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，即xy20.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線(xiàn)外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性4求兩條曲線(xiàn)的公切線(xiàn)例4已知曲線(xiàn)C1：yx2與C2：yx24x4，直線(xiàn)l與C1，C2都相切，求直線(xiàn)l的方程分析設(shè)出直線(xiàn)與兩條曲線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，再利用兩個(gè)方程所表示的直線(xiàn)重合，建立方程組求解解設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，x)，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為yx2x1(xx1)，即y2x1xx，由C2：yx24x4，得y2x4，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程為y2(x22)xx4.因?yàn)閮汕芯€(xiàn)重合，所以2x12(x22)且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直線(xiàn)l的方程為y0或y4x4.點(diǎn)評(píng)公切線(xiàn)問(wèn)題的一般解法是分別求出曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，再利用兩直線(xiàn)重合的條件建立方程組求解.3導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見(jiàn)錯(cuò)誤1對(duì)f(x0)與f(x)理解有誤例1已知函數(shù)f(x)x22xf(1)，則f(0)的值為()A0 B4 C2 D2錯(cuò)解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故選A.錯(cuò)因分析解題時(shí)沒(méi)有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值，同時(shí)要注意f(1)是常數(shù)正解由f(x)x22xf(1)得，f(x)2x2f(1)所以f(1)2×12f(1)所以f(1)2.從而f(x)2x4.所以f(0)4.故選B.2切點(diǎn)位置的確定有誤例2求過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線(xiàn)f(x)x3x相切的直線(xiàn)的方程錯(cuò)解由題意知點(diǎn)P(1,0)在曲線(xiàn)上因?yàn)閒(x)3x21，所以f(1)2.所以切線(xiàn)方程為y02(x1)，即2xy20.錯(cuò)因分析點(diǎn)P(1,0)雖然在曲線(xiàn)上，但不一定是切點(diǎn)，解題時(shí)把點(diǎn)P(1,0)當(dāng)作切點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)注意兩種“說(shuō)法”：(1)曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程(一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn))；(2)曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程(無(wú)論點(diǎn)P是否在曲線(xiàn)上，點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn))正解設(shè)切點(diǎn)為(x0，xx0)，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y(xx0)(3x1)(xx0)由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切線(xiàn)方程為2xy20或x4y10.3對(duì)切線(xiàn)定義的理解有誤例3已知曲線(xiàn)C：yf(x)x3，曲線(xiàn)C在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y4x4，試分析該切線(xiàn)與曲線(xiàn)C是否還有其他公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由錯(cuò)解由于直線(xiàn)y4x4與曲線(xiàn)C相切，因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒(méi)有其他的公共點(diǎn)錯(cuò)因分析“切線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)”，此說(shuō)法對(duì)圓、橢圓這一類(lèi)特殊曲線(xiàn)是成立的，但對(duì)一般曲線(xiàn)不一定成立正解由消去y整理得：x312x160，即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0，解得x2或x4.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)，(4，20)，所以該切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)(2,4)外還有點(diǎn)(4，20)5