第一章 集合與函數(shù)概念1聚焦“集合”雙基一、透析“集合”的基礎(chǔ)知識(shí)(一)集合的含義1集合的含義是一個(gè)描述性的，我們可以理解為一些對(duì)象組成的總體就構(gòu)成集合，其中構(gòu)成集合的每一個(gè)對(duì)象稱為集合的元素所以只要把對(duì)象看成整體就可以構(gòu)成集合2集合的元素的三個(gè)特性(1)確定性：對(duì)于一個(gè)集合中每一個(gè)元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素如“2012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”就不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤?012年中國(guó)效益較好的大型企業(yè)”中的對(duì)象是不確定的，效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法判斷一些企業(yè)是否屬于這個(gè)范圍(2)互異性：互異性是指集合中的元素必須是互不相同的如集合x|x24x402，而不能寫成2，2(3)無序性：對(duì)于一個(gè)集合中的元素?zé)o先后順序，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣，這兩個(gè)集合就是相等的(二)集合的表示1列舉法：列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合用列舉法表示集合時(shí)，首先要注意集合中元素的基本形式例如：集合1,2與(1,2)是兩個(gè)完全不同的集合，1,2是由1,2這兩個(gè)元素所構(gòu)成的集合，(1,2)是以一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(1,2)為元素構(gòu)成的集合另外，用列舉法表示由許多元素或無限個(gè)元素組成的集合時(shí)，要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律，在花括號(hào)內(nèi)列舉出部分元素，其余的元素用省略號(hào)表示例如：所有正整數(shù)構(gòu)成的集合可記為1,2,3,4，n，2描述法：它是指用集合所含元素的共同特征來表示集合的方法具體可這樣表示：在花括號(hào)“”內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素(代表元素)的一般符號(hào)及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征它的一般表示形式為xA|p(x)，豎線前的x就是代表元素對(duì)于描述法中的代表元素應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素如集合x|2x4不能寫成2x4，因?yàn)檫@樣少了代表元素(2)豎線后邊應(yīng)對(duì)代表元素的取值有準(zhǔn)確的表示，比如下面的表示方法是錯(cuò)誤的：(x，y)|(1,0)，事實(shí)上，它應(yīng)表示為(x，y)|x1，y0，或表示為(1,0)(三)集合間的基本關(guān)系1空集是不含任何元素的集合，它雖然不含任何元素，但這樣的集合是客觀存在的由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合問題時(shí)，空集還是很活躍的，一不小心就會(huì)出錯(cuò)如滿足BA，就要分B和B進(jìn)行研究2子集可以理解為集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則A是B的子集比如任何一個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)，也就是說整數(shù)集是有理數(shù)集的子集，可以表示為：ZQ.但不要理解為A是B中部分元素組成的集合，因?yàn)锳時(shí)，A也是B的子集，還有AB時(shí)，A也是B的子集3真子集可以從兩方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A.如A1,2,3,4,5，B1,2,3,4,5,6，由于6B，但6A，且有AB，則集合A是集合B的真子集4若兩個(gè)集合互相包含，即AB，且AB，則稱集合A與集合B相等，記作AB.(四)集合的基本運(yùn)算1并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作AB.符號(hào)表示：ABx|xA，或xB相關(guān)結(jié)論：AAA，AA，ABBA.AB中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起構(gòu)成的集合，要注意集合間元素的互異性，對(duì)于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次2交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB.符號(hào)表示：ABx|xA，且xB相關(guān)結(jié)論：AAA，A，ABBA.AB中的任何元素都是集合A和B的公共元素，當(dāng)集合A，B沒有公共元素時(shí)，不能說集合A，B沒有交集，而是AB.3補(bǔ)集：由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集，表示為UA，實(shí)際上UAx|xU，且xA補(bǔ)集的概念是在全集中定義的，是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構(gòu)成，集合A和它的補(bǔ)集UA都是集合U的子集，且A(UA)，A(UA)U，全集不同，則補(bǔ)集也不同二、盤點(diǎn)解集合問題的基本方法(一)列舉法對(duì)于一些有明顯特征的集合，可以將集合中的元素一一列舉出來例1 設(shè)集合M1,2,4,8，Nx|x是2的倍數(shù)，則MN_.解析因?yàn)镹x|x是2的倍數(shù)，0,2,4,6,8，所以MN2,4,8答案2,4,8評(píng)注對(duì)于元素易于列舉的集合，通?？梢灾苯恿信e(二)結(jié)構(gòu)相似法對(duì)于用描述法給出的若干集合，判斷它們的關(guān)系時(shí)，可以把它們各自的屬性化為結(jié)構(gòu)相似的表達(dá)式例2 若集合Ax|xm，mZ，Bx|x，nZ，Cx|x，pZ，則A，B，C之間的關(guān)系是_解析集合A中，x，mZ；集合B中，x，nZ；集合C中，x，pZ.不難判斷ABC.答案ABC(三)數(shù)軸法當(dāng)集合中的元素與不等式相關(guān)時(shí)，可借助于數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算具有簡(jiǎn)明的直觀效果例3 設(shè)集合Ax|1xa1，xR，Bx|1x5，xR，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由1xa1，得a1xa1.如圖，可知a11或a15.所以a0，或a6.答案a|a0或a6評(píng)注不等式型集合的交集、并集通常可以借助數(shù)軸來解，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意(四)Venn圖法借助Venn圖的直觀顯示，?？墒辜蠁栴}化難為易例4 已知A，B均為集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，則A_.解析如圖，因?yàn)锳B3，所以3A.又因?yàn)?UB)A9，所以9A.答案3,92集合的基本關(guān)系與運(yùn)算一、子集集合問題的核心一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.記作：AB或BA.當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作AB或BA.例1 設(shè)集合Ax|x23x20，Bx|(xa)·(x21)0，當(dāng)a為何值時(shí)，AB?分析集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，為了比較A和B的關(guān)系，先考慮將A和B進(jìn)行化簡(jiǎn)解易得集合A1,2當(dāng)a1或a1時(shí)，B1,1，此時(shí)AB；當(dāng)a1且a1時(shí)，B1,1，a要使AB，則a2.故當(dāng)a2時(shí)，AB.二、交集兩集合間的“且運(yùn)算”由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集，記為AB，即ABx|xA，且xB，其中關(guān)鍵詞為“且”例2 設(shè)全集UZ，集合A1,0,1,2，Bx|x2x0，則A(UB)_.分析先求出集合B，再按集合相關(guān)運(yùn)算法則求解解析因?yàn)锽x|x2x00,1，所以A(UB)1,2答案1,2三、并集兩集合間的“或運(yùn)算”由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記為AB，即ABx|xA，或xB，其中關(guān)鍵詞為“或”例3 若全集UR，集合Ax|1x2，Bx|xy1，yA，求AB.分析欲求AB，先對(duì)B進(jìn)行化簡(jiǎn)解因?yàn)閥A，即1y2，且xy1，所以0x3，即Bx|0x3所以ABx|1x3四、補(bǔ)集全集對(duì)子集的“差運(yùn)算”一般地，設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集，即AU，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集U中的補(bǔ)集，記為UA，即UAx|xU，且xA，可以理解為全集對(duì)子集的差集例4 設(shè)全集U2,9，a22a3，集合A|2a1|,2，且UA5，求實(shí)數(shù)a的值解因?yàn)閁2,9，a22a3，UA5，所以a22a35.解得a2或a4.若a2，則U2,9,5，A2,3，不合題意；若a4，則U2,9,5，A2,9，符合題意故a4.五、等集一個(gè)集合的兩種表示例5 已知集合M2，a，b與集合N2a,2，b2是同一個(gè)集合，求a、b.分析此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的性質(zhì)建立關(guān)系式解兩個(gè)集合為同一個(gè)集合，則這兩個(gè)集合的元素完全相同且與元素的順序無關(guān)，于是或解之，得或或又當(dāng)a0，b0時(shí)，不滿足互異性，應(yīng)該舍去因此或評(píng)注解決集合相等的問題，易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正.3集合中的數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法例1 已知全集為U，Ua|aN*且a9，且(UA)B1,9，AB2，(UA)(UB)4,6,8，試確定集合A，B.分析若能將題設(shè)條件中所給出的各個(gè)集合中的元素，都能在Venn圖上表示出來，那么所要確定的集合A，B中的元素，將會(huì)從Venn圖上一目了然的得出解將已知條件中的集合Ua|aN*且a91,2,3,4,5,6,7,8,9，(UA)B1,9，AB2，(UA)(UB)4,6,8，在Venn圖上表示出來，如圖所示由Venn圖可以直觀的得出A2,3,5,7，B1,2,9例2 某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生有67人，學(xué)唱歌的學(xué)生有45人，而學(xué)樂器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱歌，人數(shù)有21人，那么同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？解設(shè)只學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，只學(xué)唱歌的學(xué)生有y人，既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的學(xué)生有z人，Venn圖如圖所示解得所以同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的有33人例3 已知集合Ax|x<1，或x1，Bx|2a<x<a1，a<1，BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解a<1，2a<a1，B.畫出數(shù)軸分析，如圖所示由圖知要使BA，需2a1或a11，即a或a2.又a<1，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2，1)集合問題大都比較抽象，解題時(shí)要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解.4集合易錯(cuò)點(diǎn)剖析一、符號(hào)意義不清致錯(cuò)例1 已知集合X0,1，Yx|xX，那么下列說法正確的是_(填序號(hào))X是Y的子集；X是Y的真子集；Y是X的真子集；X是Y的元素錯(cuò)解剖析集合中符號(hào)意義必須清楚正解因?yàn)閅x|xX，0，1，0,1，所以XY.故答案為.二、代表元素意義不清致錯(cuò)例2 集合Ay|yx2，xR，B(x，y)|yx2，xR，則AB_.錯(cuò)解由得或剖析導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實(shí)數(shù)y，而B中的元素是實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，也就是說，集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，因此A、B兩個(gè)集合中沒有公共元素，從而這兩個(gè)集合的交集為空集三、忽視集合元素的互異性致錯(cuò)例3 已知集合A2,3，a24a2，B0,7，a24a2,2a，且AB3,7，求集合B.錯(cuò)解由AB3,7得a24a27，解得a1或a5.當(dāng)a1時(shí)，集合B0,7,3,1；當(dāng)a5時(shí)，集合B0,7,3綜上知集合B0,7,3,1或B0,7,3剖析由題設(shè)條件知集合B中有四個(gè)元素，集合中出現(xiàn)了相同的元素，與集合中元素的互異性矛盾，導(dǎo)致錯(cuò)解正解應(yīng)將當(dāng)a5時(shí)的集合B0,7,3舍去，故集合B0,7,3,1四、忽視空集致錯(cuò)例4 已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍錯(cuò)解由BA，得解得2m3.剖析上述解法是初學(xué)者解此類問題的典型錯(cuò)誤解法原因是考慮不全面，由集合B的含義及BA，忽略了集合為的可能而漏掉解因此題目若出現(xiàn)包含關(guān)系時(shí)，應(yīng)首先想到有沒有出現(xiàn)的可能正解Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA.若B，則m1>2m1，解得m<2，此時(shí)有BA；若B，則m12m1，即m2，由BA，得，解得2m3.由得m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m38