1.4.1曲邊梯形面積與定積分(二)明目標、知重點1.了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質定積分的概念、幾何意義及性質定積分概念定積分：設函數yf(x)定義在區(qū)間a，b上，用分點ax0<x1<x2<xn1<xnb，把區(qū)間a，b分為n個小區(qū)間，其長度依次為xixi1xi，i0,1,2，n1.記為這些小區(qū)間長度的最大者，當趨近于0時，所有的小區(qū)間長度都趨近于0，在每個區(qū)間內任取一點i，作和式In(i)xi.當0時，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx(i)xi.這里a與b分別叫作積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式幾何意義如果在區(qū)間a，b上函數f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積.基本性質kf(x)dxkf(x)dx(k為常數)；f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b).探究點一定積分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，找一下它們的共同點答兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結為一個特定形式和的極限思考2怎樣正確認識定積分f(x)dx?答(1)定積分f(x)dx是一個數值(極限值)它的值僅取決于被積函數與積分上、下限，另外f(x)dx與積分區(qū)間a，b息息相關，不同的積分區(qū)間，所得值也不同(2)定積分就是和的極限(i)·x，而f(x)dx只是這種極限的一種記號，讀作“函數f(x)從a到b的定積分”(3)函數f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(實際上，函數連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)例1利用定積分的定義，計算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在區(qū)間0,1上等間隔地插入n1個分點，把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，(i1,2，n)，每個小區(qū)間的長度為x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，則x3dxSnf()·x ()3·i3·n2(n1)2(1)2.(3)取極限x3dxSn (1)2.反思與感悟(1)利用定積分定義求定積分的數值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟(2)從過程來看，當f(x)0時，定積分就是區(qū)間對應曲邊梯形的面積跟蹤訓練1用定義計算(1x)dx.解(1)分割：將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間(i1,2，n)，每個小區(qū)間的長度為x.(2)近似代替、求和：在上取點i1(i1,2，n)，于是f(i)112，從而得(i)x(2)··n012(n1)2·2.(3)取極限：S 2.因此(1x)dx.探究點二定積分的幾何意義思考1從幾何上看，如果在區(qū)間a，b上函數f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答當函數f(x)0時，定積分f(x)dx在幾何上表示由直線xa，xb(a<b)，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積思考2 當f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)且恒有f(x)0時，f(x)dx表示的含義是什么？若f(x)有正有負呢？答如果在區(qū)間a，b上，函數f(x)0時，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖)由于>0，f(i)0，故f(i)0.從而定積分f(x)dx0，這時它等于如圖所示曲邊梯形面積的相反值，即f(x)dxS.當f(x)在區(qū)間a，b上有正有負時，定積分f(x)dx表示介于x軸、函數f(x)的圖象及直線xa，xb(ab)之間各部分面積的代數和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負)(如圖)，即f(x)dxS1S2S3.例2用定積分的幾何意義求：(1)(3x2)dx；(2)(3) (|x1|x1|4)dx；(4)dx(b>a)解(1)如圖1陰影部分面積為，從而(3x2)dx.(2)如圖2，由于A的面積等于B的面積，從而0.(3)令f(x)|x1|x1|4，作出f(x)在區(qū)間3,3上的圖象，如圖3所示，易知定積分3f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數和陰影部分的面積S1S31，S26， (|x1|x1|4)dx1164.(4)令yf(x)，則有(x)2y2()2(y0)，f(x)表示以(，0)為圓心，半徑為的上半圓，而這個上半圓的面積為Sr2()2，由定積分的幾何意義可知dx.反思與感悟利用幾何意義求定積分，關鍵是準確確定被積函數的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關的幾何知識求面積不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點的準確確定跟蹤訓練2利用幾何意義計算下列定積分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S··32.由定積分的幾何意義知dx.(2)由直線x1，x3，y0，以及y3x1所圍成的圖形，如圖所示：(3x1)dx表示由直線x1，x3，y0以及y3x1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，(3x1)dx×(3)×(3×31)(1)×216. 探究點三定積分的性質思考1定積分的性質可作哪些推廣？答定積分的性質的推廣f1(x)±f2(x)±±fn(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx±±fn(x)dx；f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nN)思考2如果一個函數具有奇偶性，它的定積分有什么性質？答奇、偶函數在區(qū)間a，a上的定積分若奇函數yf(x)的圖象在a，a上連續(xù)不斷，則f(x)dx0.若偶函數yg(x)的圖象在a，a上連續(xù)不斷，則g(x)dx2g(x)dx.例3計算(x3)dx的值解如圖，由定積分的幾何意義得dx，x3dx0，由定積分性質得(x3)dxdxx3dx.反思與感悟根據定積分的性質計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關函數的定積分，再利用函數的性質、定積分的性質結合圖形進行計算跟蹤訓練3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3×()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6×()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx3×2×7.1下列結論中成立的個數是()x3dx·；x3dx·；x3dx·.A0 B1 C2 D3答案C解析成立2定積分f(x)dx的大小()A與f(x)和積分區(qū)間a，b有關，與i的取法無關B與f(x)有關，與區(qū)間a，b以及i的取法無關C與f(x)以及i的取法有關，與區(qū)間a，b無關D與f(x)、積分區(qū)間a，b和i的取法都有關答案A3根據定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案><4若x2dx9，則常數T的值為_答案3解析令f(x)x2.(1)分割將區(qū)間0，Tn等分，則x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Sn()2·2(1222n2)·(1)(2)(3)取極限S ×29, T327，T3.呈重點、現規(guī)律1定積分f(x)dx是一個和式f(i)的極限，是一個常數2可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數，也可以利用幾何意義求定積分3定積分的幾何性質可以幫助簡化定積分運算8