31等比數(shù)列(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過程知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念思考觀察下列4個(gè)數(shù)列，歸納它們的共同特點(diǎn)1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.梳理等比數(shù)列的概念和特點(diǎn)(1)如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的_一項(xiàng)的_都等于_常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的_，通常用字母q表示(q0)(2)遞推公式形式的定義q(n>1)(或q，nN)(3)等比數(shù)列各項(xiàng)均_為0.知識(shí)點(diǎn)二等比中項(xiàng)的概念思考在2,8之間插入一個(gè)數(shù)，使之成等比數(shù)列這樣的實(shí)數(shù)有幾個(gè)？梳理等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成_數(shù)列，則G叫作a與b的等比中項(xiàng)定義式AabA公式AG±個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有_個(gè)，且互為_備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)_時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式思考等差數(shù)列通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)的？你能類比推導(dǎo)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？梳理等差數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公比為q，則ana1qn1.類型一證明等比數(shù)列例1根據(jù)下面的框圖，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？反思與感悟判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即q(與n無關(guān)的常數(shù))跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列類型二等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例2一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)反思與感悟已知等比數(shù)列an的某兩項(xiàng)的值，求該數(shù)列的其他項(xiàng)或求該數(shù)列的通項(xiàng)常用方程思想，通過已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程，從而解出a1和q，再求其他項(xiàng)或通項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.命題角度2等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)？(精確到1年，放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)反思與感悟等比數(shù)列應(yīng)用問題，在實(shí)際應(yīng)用問題中較為常見，解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義跟蹤訓(xùn)練3某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個(gè)位，lg 60.778，lg 1.20.079)類型三等比中項(xiàng)例4若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為()A± B. C1 D±1反思與感悟(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一確定的等差中項(xiàng)；(2)只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有實(shí)數(shù)等比中項(xiàng)，且一定有2個(gè)跟蹤訓(xùn)練41與1的等比中項(xiàng)是()A1 B1C±1 D.1在等比數(shù)列an中，a18，a464，則a3等于()A16 B16或16C32 D32或322若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A4 B8 C6 D323已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于()A64 B81 C128 D243445和80的等比中項(xiàng)為_1等比數(shù)列的判斷或證明(1)利用定義：q(與n無關(guān)的常數(shù))(2)利用等比中項(xiàng)：aanan2(nN)2兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)a、b才有等比中項(xiàng)，而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(±)，而不是一個(gè)()，這是容易忽視的地方3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)量答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)梳理(1)2前比同一公比(3)不能知識(shí)點(diǎn)二思考設(shè)這個(gè)數(shù)為G.則，G216，G±4.所以這樣的數(shù)有2個(gè)梳理等比兩相反數(shù)ab0知識(shí)點(diǎn)三思考等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是借助累加消去中間項(xiàng)，等比數(shù)列則可用累乘根據(jù)等比數(shù)列的定義得q，q，q，q(n2)將上面n1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘，得····qn1，化簡(jiǎn)得qn1，即ana1qn1(n2)當(dāng)n1時(shí)，上面的等式也成立ana1qn1(nN)題型探究例1解若將輸出的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，.由框圖可知，a11，a2a1×，a3a2×，a4a3×，a5a4×.于是，可得遞推公式由于，因此這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式是ann1.跟蹤訓(xùn)練1(1)解a1S1(a11)，a1.又a1a2S2(a21)，a2.(2)證明Sn(an1)，Sn1(an11)，兩式相減得an1an1an，即an1an，數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列例2解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么÷，得q，將q代入，得a1.因此，a2a1q×8.綜上，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是與8.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，a63×(2)6196.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么解得所以ana1qn15×2n1.例3解設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列其中a10.84，q0.84，設(shè)an0.5，則0.84n0.5.兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg 0.84lg 0.5，用計(jì)算器算得n4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年跟蹤訓(xùn)練3解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，an，.則依題意可得a15，1.2(n2且nN)，從而an5×1.2n1，這里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.答從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸例4D跟蹤訓(xùn)練4C當(dāng)堂訓(xùn)練1C2.C3.A4.60或607