2.2.1函數(shù)的單調(diào)性(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值知識點一函數(shù)的最大(小)值思考在如圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？梳理設(shè)yf(x)的定義域為A.如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最大值，記為ymaxf(x0)如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最小值，記為yminf(x0)知識點二函數(shù)的最大(小)值的幾何意義思考函數(shù)yx2，x1,1的圖象如下：試指出函數(shù)的最大值、最小值和相應(yīng)的x的值梳理函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點，最小值對應(yīng)圖象中的最低點知識點三函數(shù)的單調(diào)性與最值若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為yminf(a)，最大值為ymaxf(b)；若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為yminf(b)，最大值為ymaxf(a)即單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值、最小值類型一借助單調(diào)性求最值例1已知函數(shù)f(x)(x>0)，求函數(shù)的最大值和最小值反思與感悟(1)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上為單調(diào)增函數(shù)，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上為單調(diào)減函數(shù)，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)(3)若函數(shù)yf(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小)函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)最大(小)的(4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x1|x1|.(1)畫出f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的最小值類型二求二次函數(shù)的最值例2(1)已知函數(shù)f(x)x22x3，若x0,2，求函數(shù)f(x)的最值；(2)已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最值；(3)已知函數(shù)f(x)x23，求函數(shù)f(x)的最值；(4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一制造時一般是期望在它達(dá)到最高點時爆裂如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關(guān)系為h(t)4.9t214.7t18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1 m)?反思與感悟(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時要注意這兩個因素(2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴(yán)謹(jǐn)，一般用于解答題跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)x42x23，求函數(shù)f(x)的最值；(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標(biāo)系那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系式為hx22x，x0，求水流噴出的高度h的最大值是多少？類型三函數(shù)最值的應(yīng)用例3已知x2xa>0對任意x(0，)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍引申探究若將本例中“x(0，)”改為“x(，)”，再求a的取值范圍反思與感悟恒成立的不等式問題，任意xD，f(x)>a恒成立，一般轉(zhuǎn)化為最值問題：f(x)min>a來解決任意xD，f(x)<a恒成立f(x)max<a.當(dāng)最值不存在時，可求值域，但要注意a的取值的變化跟蹤訓(xùn)練3已知ax2x1對任意x(0,1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍1函數(shù)yx1在區(qū)間，2上的最大值是_2函數(shù)f(x)在1，)上的最大值為_3函數(shù)f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分別為_4已知函數(shù)f(x)則f(x)的最大值，最小值分別為_5若不等式xa10對一切x(0，恒成立，則a的最小值為_1函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系(1)對一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上單調(diào)，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根據(jù)圖象的增減性進(jìn)行研究特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點處取得答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應(yīng)，不是函數(shù)值知識點二思考x±1時，y有最大值1，對應(yīng)的點是圖象中的最高點，x0時，y有最小值0，對應(yīng)的點為圖象中的最低點題型探究例1解設(shè)x1，x2是區(qū)間(0，)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).當(dāng)x1<x21時，x2x1>0，x1x21<0，f(x1)f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(0,1上為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)1x1<x2時，x2x1>0，x1x21>0，f(x1)f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)在1，)上為單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(1)，無最小值跟蹤訓(xùn)練1解(1)f(x)的圖象如圖(2)由圖知，f(x)在(，1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,1上為常函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)，f(x)min2.例2解(1)函數(shù)f(x)x22x3開口向上，對稱軸x1，f(x)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,2上為單調(diào)增函數(shù)，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)對稱軸x1，當(dāng)1t2即t1時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.當(dāng)1<t2，即1<t0時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)t1<，即0<t1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)1<t，即t>1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為(t)，則有g(shù)(t)(t)(3)設(shè)t(t0)，則x23t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)t1即x1時，f(x)min4，無最大值(4)作出函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的圖象(如圖)顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)4.9t214.7t18，我們有：當(dāng)t1.5時，函數(shù)有最大值h29.于是，煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29 m.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)x2t(t0)，則x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1，)上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)t1即x±1時，f(x)min4，無最大值(2)函數(shù)圖象的對稱軸是xa，當(dāng)a<2時，f(x)在2,4上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)minf(2)64a.當(dāng)a>4時，f(x)在2,4上是單調(diào)減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)由函數(shù)hx22x，x0，的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點此時函數(shù)取得最大值對于函數(shù)hx22x，x0，當(dāng)x1時，函數(shù)有最大值hmax122×1.于是水流噴出的最高高度是 m.例3解方法一令yx2xa，要使x2xa>0對任意x(0，)恒成立，只需ymin>0，解得a>.實數(shù)a的取值范圍是(，)方法二x2xa>0可化為a>x2x.要使a>x2x對任意x(0，)恒成立，只需a>(x2x)max，又(x2x)max，a>.實數(shù)a的取值范圍是(，)引申探究解f(x)x2x在(，)上為單調(diào)減函數(shù)，f(x)的值域為(，)，要使a>x2x對任意x(，)恒成立，只需a，a的取值范圍是，)跟蹤訓(xùn)練3解x>0，ax2x1可化為a.要使a對任意x(0,1恒成立，只需a()min.設(shè)t，x(0,1，t1.t2t(t)2.當(dāng)t1時，(t2t)min0，即x1時，()min0，a0.a的取值范圍是(，0當(dāng)堂訓(xùn)練1.2.13.4,04.10,65.11