31.1實數(shù)系31.2復(fù)數(shù)的概念明目標(biāo)、知重點1.了解引入虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程.2.理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)定義：設(shè)a，b都是實數(shù)，形如abi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，i叫做虛數(shù)單位a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)(2)復(fù)數(shù)集定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集表示：通常用大寫字母C表示2復(fù)數(shù)的分類及包含關(guān)系(1)復(fù)數(shù)(abi，a，bR)(2)集合表示：3復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么abicdiac且bd.情境導(dǎo)學(xué)為解決方程x22，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)數(shù)的概念擴充到實數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，x21這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)就無解，那么怎樣解決方程x21在實數(shù)系中無根的問題呢？我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？本節(jié)我們就來研究這個問題探究點一復(fù)數(shù)的概念思考1為解決方程x22，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x210在實數(shù)系中無根的問題呢？答設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x210的根，即i·i1，方程x210有解，同時得到一些新數(shù)思考2如何理解虛數(shù)單位i?答(1)i21.(2)i與實數(shù)之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律(3)由于i20與實數(shù)集中a20(aR)矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中，不再成立(4)若i21，那么i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.思考3什么叫復(fù)數(shù)？怎樣表示一個復(fù)數(shù)？什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？答形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a、b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部對于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，當(dāng)b0時叫做虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時，叫做純虛數(shù)例1請說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)、虛數(shù)還是純虛數(shù)23i；3i；i；i；0.解的實部為2，虛部為3，是虛數(shù)；的實部為3，虛部為，是虛數(shù)；的實部為，虛部為1，是虛數(shù)；的實部為，虛部為0，是實數(shù)；的實部為0，虛部為，是純虛數(shù)；的實部為0，虛部為0，是實數(shù) 反思與感悟復(fù)數(shù)abi中，實數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部跟蹤訓(xùn)練1符合下列條件的復(fù)數(shù)一定存在嗎？若存在，請舉出例子；若不存在，請說明理由(1)實部為的虛數(shù)；(2)虛部為的虛數(shù)；(3)虛部為的純虛數(shù)；(4)實部為的純虛數(shù)解(1)存在且有無數(shù)個，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因為純虛數(shù)的實部為0.例2求當(dāng)實數(shù)m為何值時，z(m25m6)i分別是：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解由已知得復(fù)數(shù)z的實部為，虛部為m25m6.(1)復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是m2.當(dāng)m2時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)(2)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是m3且m2.當(dāng)m3且m2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)(3)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是m3.當(dāng)m3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)反思與感悟利用復(fù)數(shù)的概念對復(fù)數(shù)分類時，主要依據(jù)實部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù)跟蹤訓(xùn)練2實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z(m22m3)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)要使z是實數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m3.(2)要使z是虛數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m1且m3.(3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.探究點二兩個復(fù)數(shù)相等思考1兩個復(fù)數(shù)能否比較大小？答如果兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小思考2兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？答復(fù)數(shù)abi與cdi相等的充要條件是ac且bd(a，b，c，dR)例3已知x，y均是實數(shù)，且滿足(2x1)iy(3y)i，求x與y.解由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得反思與感悟兩個復(fù)數(shù)相等，首先要分清兩復(fù)數(shù)的實部與虛部，然后利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件可得到兩個方程，從而可以確定兩個獨立參數(shù)跟蹤訓(xùn)練3已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求實數(shù)m的值解MPP，MP，(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.綜上可知m1或m2.1已知復(fù)數(shù)za2(2b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是()A.，1 B.，5C±，5 D±，1答案C解析令，得a±，b5.2下列復(fù)數(shù)中，滿足方程x220的是()A±1 B±iC±i D±2i答案C3如果zm(m1)(m21)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A1 B0C1 D1或1答案B解析由題意知，m0.4下列幾個命題：兩個復(fù)數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等；兩個復(fù)數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；1ai(aR)是一個復(fù)數(shù)；虛數(shù)的平方不小于0；1的平方根只有一個，即為i；i是方程x410的一個根；i是一個無理數(shù)其中正確命題的個數(shù)為()A3 B4 C5 D6答案B解析命題正確，錯誤呈重點、現(xiàn)規(guī)律1對于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況；2兩個復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個復(fù)數(shù)的實、虛部，再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件進行判斷5