22.1函數(shù)的單調(diào)性(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.2.會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性.3.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性思考畫(huà)出函數(shù)f(x)x、f(x)x2的圖象，并指出f(x)x、f(x)x2的圖象的升降情況如何？梳理一般地，單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間來(lái)說(shuō)的，函數(shù)圖象在某區(qū)間上上升，則函數(shù)在該區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，該區(qū)間稱(chēng)為單調(diào)增區(qū)間反之則為單調(diào)減函數(shù)，相應(yīng)區(qū)間稱(chēng)為單調(diào)減區(qū)間因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們不知道函數(shù)圖象是什么樣的，而且用上升下降來(lái)刻畫(huà)單調(diào)性很粗糙所以有以下定義：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間IA.(1)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱(chēng)為yf(x)的單調(diào)增區(qū)間(2)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱(chēng)為yf(x)的單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考我們已經(jīng)知道f(x)x2的單調(diào)減區(qū)間為(，0，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)，這兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間的書(shū)寫(xiě)形式能不能交換？梳理一般地，有下列常識(shí)(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)(2)單調(diào)區(qū)間D定義域I.(3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大類(lèi)型一求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性例1如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？反思與感悟函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“”，可以用“和”來(lái)表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是單調(diào)增函數(shù)，要么是單調(diào)減函數(shù)，不能二者兼有跟蹤訓(xùn)練1寫(xiě)出函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性類(lèi)型二證明單調(diào)性命題角度1證明具體函數(shù)的單調(diào)性例2證明f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)反思與感悟運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意取x1，x2且x1<x2的條件下，轉(zhuǎn)化為確定f(x1)與f(x2)的大小，要牢記五大步驟：取值作差變形定號(hào)小結(jié)跟蹤訓(xùn)練2求證：函數(shù)f(x)x在1，)上是單調(diào)增函數(shù)命題角度2證明抽象函數(shù)的單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.求證：函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)反思與感悟因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(x1)f(x2)的大小，這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1.求證：f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)類(lèi)型三單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用單調(diào)性求參數(shù)范圍例4若函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍為_(kāi)反思與感悟分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，除了要保證各段上單調(diào)外，還要保證在接口處不能反超另外，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖象不一定是連續(xù)不斷的跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)命題角度2用單調(diào)性解不等式例5已知yf(x)在定義域(1,1)上是單調(diào)減函數(shù)，且f(1a)<f(2a1)，求a的取值范圍反思與感悟若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，則由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小跟蹤訓(xùn)練5在例5中若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽，且為單調(diào)增函數(shù)，f(1a)<f(2a1)，則a的取值范圍又是什么？1函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_2函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是_3在下列函數(shù)f(x)中，滿(mǎn)足對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)的是_(填序號(hào))f(x)x2；f(x)；f(x)|x|；f(x)2x1.4給出下列說(shuō)法：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)f(2)，則函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù)；若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)f(2)，則函數(shù)f(x)在R上不可能為單調(diào)減函數(shù)；函數(shù)f(x)在(，0)(0，)上為單調(diào)增函數(shù)；函數(shù)f(x)在定義域R上為單調(diào)增函數(shù)其中說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))5若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，且f(|x|)>f(1)，則x的取值范圍是_1若f(x)的定義域?yàn)镈，AD，BD，f(x)在A(yíng)和B上都為單調(diào)減函數(shù)，未必有f(x)在A(yíng)B上為單調(diào)減函數(shù)2對(duì)單調(diào)增函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1x2)f(x1)f(x2)>0或>0.對(duì)單調(diào)減函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1x2)·f(x1)f(x2)<0或<0.3熟悉常見(jiàn)的一些函數(shù)的單調(diào)性，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等4若f(x)，g(x)都是單調(diào)增函數(shù)，h(x)是單調(diào)減函數(shù)，則：在定義域的交集(非空)上，f(x)g(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(x)h(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(x)為單調(diào)減函數(shù)，為單調(diào)減函數(shù)(f(x)0)5對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商與1比較答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考兩函數(shù)的圖象如下：函數(shù)f(x)x的圖象由左到右是上升的；函數(shù)f(x)x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的知識(shí)點(diǎn)二思考f(x)x2的單調(diào)減區(qū)間可以寫(xiě)成(，0)，而f(x)的單調(diào)減區(qū)間(，0)不能寫(xiě)成(，0，因?yàn)?不屬于f(x)的定義域題型探究例1解yf(x)的單調(diào)區(qū)間有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在區(qū)間5，2，1,3上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間2,1，3,5上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練1解先畫(huà)出f(x)的圖象，如圖所以y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間有(，1，1,1，1,3，3，)，其中單調(diào)減區(qū)間是(，1，1,3；單調(diào)增區(qū)間是1,1，3，)例2證明f(x)的定義域?yàn)?，)設(shè)x1，x2是定義域0，)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).0x1<x2，x1x2<0，>0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在定義域0，)上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2證明設(shè)x1，x2是實(shí)數(shù)集R上的任意實(shí)數(shù)，且1x1<x2，則f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2)(1)(x1x2)()1x1<x2，x1x2<0,1<x1x2，>0，故(x1x2)()<0，即f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)f(x)x在區(qū)間1，)上是單調(diào)增函數(shù)例3證明方法一設(shè)x1，x2是實(shí)數(shù)集上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1>x2.令xyx1，yx2，則xx1x2>0.f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x>0，f(x)>1，f(x)1>0，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)方法二設(shè)x1>x2，則x1x2>0，從而f(x1x2)>1，即f(x1x2)1>0.f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1>f(x2)，故f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練3證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)·f(0)，當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1，f(1)0，f(0)1.令mx0，nx0，則f(mn)f(0)f(x)·f(x)1，f(x)f(x)1，又x0時(shí)，0f(x)1，f(x)1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)恒大于0.設(shè)任意x1<x2，則x2x1>0，0<f(x2x1)<1，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)1<0，f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)例4，)解析要使f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，需滿(mǎn)足：解得a.跟蹤訓(xùn)練4(，12，)解析由于二次函數(shù)開(kāi)口向上，故其單調(diào)增區(qū)間為a，)，單調(diào)減區(qū)間為(，a，而f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.例5解f(1a)<f(2a1)等價(jià)于解得0<a<，即所求a的取值范圍是0<a<.跟蹤訓(xùn)練5解yf(x)的定義域?yàn)镽，且為單調(diào)增函數(shù)，f(1a)<f(2a1)，1a<2a1，即a>，所求a的取值范圍是(，)當(dāng)堂訓(xùn)練12,12.(，0)，(0，)34解析由單調(diào)增函數(shù)的定義，可知錯(cuò)誤；由單調(diào)減函數(shù)的定義，可知正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(，0)和(0，)上為單調(diào)增函數(shù)，所以錯(cuò)誤；作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知正確5(1,1)12