第二章 推理與證明題型一合情推理與演繹推理1歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進一步證明2演繹推理與合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式，也是公理化體系所采用的推理形式另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性例1(1)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù)1；第二組含兩個數(shù)3,5；第三組含三個數(shù)7,9,11；第四組含四個數(shù)13,15,17,19；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(nN)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為_(2)在平面幾何中，對于RtABC，ACBC，設ABc，ACb，BCa，則a2b2c2；cos2Acos2B1；RtABC的外接圓半徑為r.把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；如果你能證明，寫出證明過程；如果在直角三角形中你還發(fā)現(xiàn)了異于上面的結(jié)論，試試看能否類比到空間？(1)答案f(n)n3解析由于113,35823，79112733,131517196443，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)n3.(2)解選取3個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象設3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則SSSS2.設3個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21.設3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球的半徑為R.反思與感悟(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列的通項公式是數(shù)列中的常見方法(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性跟蹤訓練1(1)下列推理是歸納推理的是_，是類比推理的是_A、B為定點，若動點P滿足|PA|PB|2a>|AB|，則點P的軌跡是橢圓；由a11，an13an1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的通項an和Sn的表達式；由圓x2y21的面積Sr2，猜想出橢圓的面積Sab；科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn, 則T4，_，_，成等比數(shù)列答案解析等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，成等比數(shù)列題型二綜合法與分析法綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程，分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過程例2用綜合法和分析法證明已知(0，)，求證：2sin 2.證明(分析法)要證明2sin 2成立只要證明4sin cos .(0，)，sin >0.只要證明4cos .上式可變形為44(1cos )1cos >0，4(1cos )2 4，當且僅當cos ，即時取等號44(1cos )成立不等式2sin 2成立(綜合法)4(1cos )4，(1cos >0，當且僅當cos ，即時取等號)4cos .(0，)，sin >0.4sin cos .2sin 2.跟蹤訓練2求證：2cos().證明sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin 2cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，兩邊同除以sin 得2cos().題型三反證法反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論反證法的理論基礎是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則綈q”，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則綈q”為假，從而可以導出“若p則q”為真，從而達到證明的目的例3若x，y都是正實數(shù)，且xy>2，求證：<2或<2中至少有一個成立證明假設<2和<2都不成立，則有2和2同時成立因為x>0且y>0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy>2矛盾故<2與<2至少有一個成立反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時，也常用反證法跟蹤訓練3已知：ac2(bd)求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個方程有實數(shù)根證明假設兩方程都沒有實數(shù)根，則1a24b<0與2c24d<0，有a2c2<4(bd)，而a2c22ac，從而有4(bd)>2ac，即ac<2(bd)，與已知矛盾，故原命題成立題型四數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是一種邏輯推理，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當nk1時結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設”，否則就是錯誤的例4用數(shù)學歸納法證明當nN時，1·n2·(n1)3·(n2)(n2)·3(n1)·2n·1n(n1)·(n2)證明(1)當n1時，1·1·2·3，結(jié)論成立(2)假設nk時結(jié)論成立，即1·k2·(k1)3·(k2)(k2)·3(k1)·2k·1k(k1)(k2)當nk1時，則1·(k1)2·k3·(k1)(k1)·3k·2(k1)·11·k2·(k1)(k1)·2k·1123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)，即當nk1時結(jié)論也成立綜合上述，可知結(jié)論對一切nN都成立跟蹤訓練4數(shù)列an滿足：a11，an1an1.(1)寫出a2，a3，a4.(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)因為a11，an1an1，所以a2a111.a3a21·1.a4a31·1.(2)證明方法一猜想an.下面用數(shù)學歸納法證明，當n1時，a11，滿足上式，顯然成立；假設當nk時ak，那么當nk1時，ak1ak1·11滿足上式，即當nk1時猜想也成立，由可知，對于nN都有an.方法二因為an1an1，所以an12an12，即an12(an2)，設bnan2，則bn1bn，即bn是以b11，為公比的等比數(shù)列，所以bnb1·qn1，所以anbn2.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進一步證明2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性3直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學問題時，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法4數(shù)學歸納法主要用于解決與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題證明時，它的兩個步驟缺一不可它的第一步(歸納奠基)nn0時結(jié)論成立第二步(歸納遞推)假設nk時，結(jié)論成立，推得nk1時結(jié)論也成立數(shù)學歸納法是在可靠的基礎上，利用命題自身具有的傳遞性，運用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立6