第2課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的方差 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的方差 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列為 X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 思考1　試求EX，EY. 　 　 思考2　能否由EX與EY的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？ 　 　 思考3　試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩工人技術(shù)水平的高低？ 　 　 梳理　(1)離散型隨機(jī)變量的方差的含義 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，用E(X－EX)2來(lái)衡量X與EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，稱(chēng)E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，記為_(kāi)_______． (2)方差的大小與離散型隨機(jī)變量的集中與分散程度間的關(guān)系 方差越____，隨機(jī)變量的取值越分散；方差越____，隨機(jī)變量的取值就越集中在其均值周?chē)? (3)參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布的方差 當(dāng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布時(shí)，其方差DX＝np(1－p)． 類(lèi)型一　求離散型隨機(jī)變量的方差 命題角度1　已知分布列求方差 例1　已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)計(jì)算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 　 　 　 　 　 反思與感悟　方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式DX＝EX2－(EX)2不失為一種比較實(shí)用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2DX. 跟蹤訓(xùn)練1　已知η的分布列為 η 0 10 20 50 60 P (1)求方差； (2)設(shè)Y＝2η－Eη，求DY. 　 　 　 　 命題角度2　未知分布列求方差 例2　某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱(chēng)為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分為n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．假設(shè)n＝4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列、均值及方差． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)求離散型隨機(jī)變量X的均值和方差的基本步驟 ①理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值． ②求X取每個(gè)值的概率． ③寫(xiě)X的分布列． ④求EX，DX. (2)若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)． 跟蹤訓(xùn)練2　在一個(gè)不透明的紙袋里裝有5個(gè)大小相同的小球，其中有1個(gè)紅球和4個(gè)黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球?yàn)橹?，求摸球次?shù)X的均值和方差． 　 　 　 　 　 類(lèi)型二　方差的實(shí)際應(yīng)用 例3　某投資公司在2017年年初準(zhǔn)備將1 000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇： 項(xiàng)目一：新能源汽車(chē)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率為和. 項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和. 針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由． 　 　 　 　 反思與感悟　均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值的離散型程度，即通過(guò)比較方差，才能做出更準(zhǔn)確的判斷． 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)計(jì)算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的射擊技術(shù)狀況． 　 　 　 　 　 　 1．已知隨機(jī)變量X的分布列為 X －1 0 1 P 則下列式子：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，則D(3X＋5)等于(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 3．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________. X －1 0 1 2 P a b c 4.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X，Y，已知EX＝EY，DX>DY，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好．(填“甲”或“乙”) 5．編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求Eξ和Dξ. 1．隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度．方差越小，則隨機(jī)變量的取值越集中在其均值周?chē)?；反之，方差越大，則隨機(jī)變量的取值就越分散． 2．隨機(jī)變量的方差與樣本方差的區(qū)別：樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此，它是一個(gè)變量，而隨機(jī)變量的方差是一個(gè)常量． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 思考1　EX＝0×＋1×＋2×＝， EY＝0×＋1×＋2×＝. 思考2　不能，因?yàn)镋X＝EY. 思考3　方差． 梳理(1)平均偏離程度　均值　DX (2)大　小 題型探究 例1　解　(1)由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝，從而X2的分布列為 X2 0 1 P (2)方法一　由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝. 方法二　由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－， X2的均值EX2＝0×＋1×＝， 所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝. (3)因?yàn)閅＝4X＋3， 所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， (2)∵Y＝2η－Eη， ∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536. 例2　解　X可能的取值為0,1,2,3,4， 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2， DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝. 跟蹤訓(xùn)練2　解　X的可能取值為1,2,3,4,5. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×××＝， P(X＝5)＝××××1＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 由定義知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3. DX＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2. 例3　解　若按項(xiàng)目一投資，設(shè)獲利X1萬(wàn)元， 則X1的分布列為 X1 300 －150 P ∴EX1＝300×＋(－150)×＝200(萬(wàn)元)． DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， 若按項(xiàng)目二投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元， 則X2的分布列為 X2 500 －300 0 P ∴EX2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(萬(wàn)元)． DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000， ∴EX1＝EX2，DX1＜DX2， 這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥． 綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3. 同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4. (2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2. Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于Eξ>Eη，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，說(shuō)明在平均得分相差不大的情況下，甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人射擊技術(shù)水平都不夠優(yōu)秀，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.A　3.　　4.乙 5．解　ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生， 則P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對(duì)了， 則P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對(duì)了，即對(duì)號(hào)入座， 則P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 3 P Eξ＝0×＋1×＋3×＝1. Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. 10