專題13 直線與圓(1)以客觀題形式考查兩條直線平行與垂直的關(guān)系判斷，常常是求參數(shù)值或取值范圍，有時(shí)也與命題、充要條件結(jié)合，屬?？键c(diǎn)之一(2)與三角函數(shù)、數(shù)列等其他知識(shí)結(jié)合，考查直線的斜率、傾斜角、直線與圓的位置關(guān)系等，以客觀題形式考查(3)本部分內(nèi)容主要以客觀題形式考查，若在大題中考查，較少單獨(dú)命制試題，常常與圓錐曲線相結(jié)合，把直線與圓的位置關(guān)系的判斷或應(yīng)用作為題目條件的一部分或一個(gè)小題出現(xiàn)，只要掌握最基本的位置關(guān)系，一般都不難獲解1直線方程(1)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系傾斜角的取值范圍：0°<180°.傾斜角為(90°)的直線的斜率ktan，傾斜角為90°的直線斜率不存在當(dāng)0°<<90°時(shí)，k>0且k隨傾斜角的增大而增大當(dāng)90°<<180°時(shí)，k<0且k隨傾斜角的增大而增大(2)直線方程名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)不能表示與x軸垂直的直線斜截式y(tǒng)kxb不能表示與x軸垂直的直線兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線截距式1不能表示與坐標(biāo)軸垂直和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)適合所有的直線(3)兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行k1k2，且b1b2A1B2A2B10，且B1C2B2C10相交k1k2特別地，l1l2k1k21A1B2A2B1特別地，l1l2A1A2B1B20重合k1k2且b1b2A1B2A2B10且B1C2B2C10(4)距離公式兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P(x2，y2)間的距離|P1P2|.點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.2圓的方程(1)圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2，圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，圓心坐標(biāo)為，半徑r.(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系幾何法：利用點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的關(guān)系判斷：d>r點(diǎn)在圓外，dr點(diǎn)在圓上；d<r點(diǎn)在圓內(nèi)代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)(或一般)方程的左邊，將所得值與r2(或0)作比較，大于r2(或0)時(shí)，點(diǎn)在圓外；等于r2(或0)時(shí)，點(diǎn)在圓上；小于r2(或0)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)(3)直線與圓的位置關(guān)系直線l：AxByC0(A2B20)與圓：(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置關(guān)系如下表.方法位置關(guān)系幾何法：根據(jù)d與r的大小關(guān)系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)相交d<r>0相切dr0相離d>r<0(4)圓與圓的位置關(guān)系表現(xiàn)形式位置關(guān)系幾何表現(xiàn)：圓心距d與r1、r2的關(guān)系代數(shù)表現(xiàn)：兩圓方程聯(lián)立組成的方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解【誤區(qū)警示】1應(yīng)用點(diǎn)斜式或斜截式求直線方程時(shí)，注意斜率不存在情形的討論，應(yīng)用截距式求直線方程時(shí)，注意過原點(diǎn)的情形2判斷兩直線平行與垂直時(shí)，不要忘記斜率不存在的情形考點(diǎn)一直線及其方程例1. 【2017江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【答案】 【解析】設(shè)，由，易得，由，可得或，由得P點(diǎn)在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件 ，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為.【變式探究】【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【答案】4【變式探究】已知點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線yaxb(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0，1) B.C. D.【答案】B【解析】(1)當(dāng)直線yaxb與AB、BC相交時(shí)(如圖)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE××得b.圖圖(2)當(dāng)直線yaxb與AC、BC相交時(shí)(如圖)，由SFCG(xGxF)·|CM|得b1(0<a<1)，對于任意的a>0恒成立 ，b，即b.故選B.考點(diǎn)二兩直線的位置關(guān)系例2、【2016高考上海文數(shù)】已知平行直線，則的距離_.【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得.已知點(diǎn)O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB為直角三角形，則必有()Aba3 Bba3C(ba3)(ba3)0D|ba3|ba3|0【答案】C【變式探究】設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_【答案】5【解析】易求定點(diǎn)A(0，0)，B(1，3)當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，不難驗(yàn)證PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.考點(diǎn)三圓的方程例3【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.【答案】（1）不會(huì)；（2）詳見解析【解析】（1）不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè), ,則滿足，所以.又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國，14)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，2)三點(diǎn)，(4，0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.【答案】y2考點(diǎn)四直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例4【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】 因?yàn)?而 所以，解得m=5或m=-15.【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國，7)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，選C.1.【2017江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中, 點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【答案】 2.【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.【答案】（1）不會(huì)；（2）詳見解析【解析】（1）不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè), ,則滿足，所以.又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.（2）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），可得BC的中垂線方程為.由（1）可得，所以AB的中垂線方程為.聯(lián)立又，可得所以過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（），半徑故圓在y軸上截得的弦長為，即過A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A2.【2016高考上海文數(shù)】已知平行直線，則的距離_.【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得.3.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【答案】44.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（II）.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.5.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】1(2015·江蘇，10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【答案】(x1)2y22【解析】直線mxy2m10恒過定點(diǎn)(2，1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.2(2015·重慶，8)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2 B4 C6 D2【答案】C【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為C(2，1)，半徑為r2，因此2a×110，a1，即A(4，1)，|AB|6，選C.3(2015·山東，9)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或【答案】D【解析】圓(x3)2(y2)21的圓心為(3，2)，半徑r1.(2，3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，3)如1. 【2014高考江蘇卷第9題】在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為 .【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，所求弦長為【考點(diǎn)定位】直線與圓相交的弦長問題2. 【2014全國2高考文第16題】設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得OMN=45°，則的取值范圍是_.【答案】【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖，過OAMN，垂足為A，在中，因?yàn)镺MN=45，所以=，解得，因?yàn)辄c(diǎn)M（,1），所以，解得，故的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系3.【2014四川高考文第14題】設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是 .【答案】5【考點(diǎn)定位】直線與圓4. 【2014重慶高考文第13題】已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】由題設(shè)圓心到直線的距離為解得：所以答案應(yīng)填：【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系5.【2014陜西高考第12題】若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【答案】【考點(diǎn)定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6. 【2014高考湖北卷文第12題】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則 .【答案】2【解析】依題意，設(shè)與單位圓相交于兩點(diǎn)，則°.如圖，當(dāng)時(shí)滿足題意，所以.【考點(diǎn)定位】直線與圓7. 【2014大綱高考文第15題】直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為，則與的夾角的正切值等于 .【答案】【解析】顯然兩切線，斜率都存在設(shè)圓過的切線方程為，則圓心到直線的距離等于半徑，解得由夾角公式得與的夾角的正切值：18