突破點(diǎn)3平面向量核心知識(shí)提煉提煉1 平面向量共線、垂直的兩個(gè)充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.提煉2 數(shù)量積常見(jiàn)的三種應(yīng)用已知兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)證明向量垂直：aba·b0x1x2y1y20.(2)求向量的長(zhǎng)度：|a|.(3)求向量的夾角：cosa，b.提煉3 平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論(1)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，有，且1.(2)C是線段AB中點(diǎn)的充要條件是()(3)G是ABC的重心的充要條件為0，若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標(biāo)為.(4)···P為ABC的垂心(5)非零向量a，b垂直的充要條件：aba·b0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos ，向量a在b的方向上的投影為|a|cos .高考真題回訪回訪1平面向量的線性運(yùn)算1(2015·全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)A設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)故選A.2(2014·全國(guó)卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則()A. B.C. D.C如圖，()·2.回訪2平面向量的數(shù)量積3(2015·全國(guó)卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1B0 C.1D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故選C.4(2017·全國(guó)卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.7a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab與a垂直，(ab)·a0，即(m1)×(1)3×20，解得m7.5(2013·全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c0，則t_.2|a|b|1，a，b60°.cta(1t)b，b·cta·b(1t)b2t×1×1×(1t)×11t1.b·c0，10，t2.回訪3數(shù)量積的綜合應(yīng)用6(2012·全國(guó)卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.3a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|·|b|cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210，|b|3.熱點(diǎn)題型1平面向量的運(yùn)算題型分析：該熱點(diǎn)是高考的必考點(diǎn)之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運(yùn)算；二是以向量的共線與垂直為切入點(diǎn)，考查向量的夾角、模等【例1】(1)(2017·衡水模擬)已知平面向量m，n的夾角為，且|m|，|n|2，在ABC中，2m2n，2m6n，D為BC的中點(diǎn)，則|()A2B4C6D8(2)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024046】A B. C. D.(1)A(2)B(1)由題意得()2(mn)，所以|2222，故選A.(2)如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.方法指津1平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)2正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向變式訓(xùn)練1(1)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，則()A3 B C. D3(2)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，則c·(ab)()A(2,12) B(2,12)C14 D10(1)A(2)C(1)如圖，過(guò)D作DEAB.mn，所以n，m1，所以3.故選A.(2)易知ab(4,1)，由(ab)c，可得(4)×x1×40，即4x40，解得x1，c(1,4)而ab(2,3)，c·(ab)1×24×314.故選C.熱點(diǎn)題型2三角與向量的綜合問(wèn)題題型分析：平面向量作為解決問(wèn)題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過(guò)向量運(yùn)算作為題目條件【例2】(名師押題)已知向量a，b(cos x，1)(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024047】解 (1)ab，cos xsin x0，2分tan x，4分cos2xsin 2x6分(2)f(x)2(ab)·bsin ，8分由正弦定理得，可得sin A.9分ba，A，10分yf(x)4cossin.11分x，2x，1y，即y的取值范圍是12分方法指津平面向量與三角函數(shù)問(wèn)題的綜合主要利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問(wèn)題相結(jié)合，計(jì)算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)變式訓(xùn)練2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)m，n，且mn.(1)求角B的值；(2)若ABC為銳角三角形，且A，外接圓半徑R2，求ABC的周長(zhǎng)解 (1)由mn，得cos 2Acos 2B2coscos，2分即2sin2B2sin2A2，化簡(jiǎn)得sin B，4分故B或6分(2)由題易知B，則由A，得C(AB)8分由正弦定理2R，得a4sin2，b4sin2，c4sin4sin4×，11分所以ABC的周長(zhǎng)為2312分7