第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入章末復習課題型一分類討論思想的應(yīng)用例1實數(shù)k為何值時，復數(shù)(1i)k2(35i)k2(23i)滿足下列條件？(1)是實數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù).解(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)當k25k60，即k6或k1時，該復數(shù)為實數(shù).(2)當k25k60，即k6且k1時，該復數(shù)為虛數(shù).(3)當即k4時，該復數(shù)為純虛數(shù).反思與感悟當復數(shù)的實部與虛部含有字母時，利用復數(shù)的有關(guān)概念進行分類討論.分別確定什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).當xyi沒有說明x，yR時，也要分情況討論.跟蹤訓練1(1)若復數(shù)(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是純虛數(shù)，則()A.a1 B.a1且a2C.a1 D.a2答案C解析若一個復數(shù)不是純虛數(shù)，則該復數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實數(shù).當a2a20時，已知的復數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得a1且a2；當a2a20且|a1|10時，已知的復數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得a2.綜上所述，當a1時，已知的復數(shù)不是一個純虛數(shù).(2)實數(shù)x取什么值時，復數(shù)z(x2x6)(x22x15)i是：實數(shù)；虛數(shù)；純虛數(shù)；零.解當x22x150，即x3或x5時，復數(shù)z為實數(shù)；當x22x150，即x3且x5時，復數(shù)z為虛數(shù)；當x2x60且x22x150，即x2時，復數(shù)z是純虛數(shù)；當x2x60且x22x150，即x3時，復數(shù)z為零.題型二數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例2已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應(yīng)的復數(shù)分別為12i，26i，OABC.求頂點C所對應(yīng)的復數(shù)z.解設(shè)zxyi，x，yR，如圖.OABC，|OC|BA|，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或.|OA|BC|，x23，y24(舍去)，故z5.反思與感悟數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種常用的數(shù)學方法.本章中，復數(shù)本身的幾何意義、復數(shù)的模以及復數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).它們得以相互轉(zhuǎn)化.涉及的主要問題有復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點的位置、復數(shù)運算及模的最值問題等.跟蹤訓練2已知復數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值.解(1)|z1|i(1i)3|i|·|1i|32.(2)如圖所示，由|z|1可知，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對應(yīng)著坐標系中的點Z1(2，2).所以|zz1|的最大值可以看成是點Z1(2，2)到圓上的點的距離的最大值.由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑)21.題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例3已知z是復數(shù)，z2i，均為實數(shù)，且(zai)2的對應(yīng)點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.解設(shè)zxyi(x，yR)，則z2ix(y2)i為實數(shù)，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i為實數(shù)，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限.，解得2<a<6.實數(shù)a的取值范圍是(2,6).反思與感悟在求復數(shù)時，常設(shè)復數(shù)zxyi(x，yR)，把復數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)x，y滿足的條件，即復數(shù)問題實數(shù)化的基本思想在本章中非常重要.跟蹤訓練3已知x，y為共軛復數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.解設(shè)xabi(a，bR)，則yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或題型四類比思想的應(yīng)用復數(shù)加、減、乘、除運算的實質(zhì)是實數(shù)的加減乘除，加減法是對應(yīng)實、虛部相加減，而乘法類比多項式乘法，除法類比根式的分子分母有理化，只要注意i21.在運算的過程中常用來降冪的公式有(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1±i)2±2i；(3)設(shè)±i，則31，2，120，2，3n1，3n1(nN)等；(4)(±i)31；(5)作復數(shù)除法運算時，有如下技巧：i，利用此結(jié)論可使一些特殊的計算過程簡化.例4計算：(1)(1i)(i)(1i)；(2)()2 006.解(1)方法一(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1i.(2)()2 006iii0.反思與感悟復數(shù)的運算可以看作多項式的化簡，加減看作多項式加減，合并同類項，乘法和除法可看作多項式的乘法.跟蹤訓練4計算：.解2(i3)i12i.呈重點、現(xiàn)規(guī)律高考對本章考查的重點1.對復數(shù)的概念的考查是考查復數(shù)的基礎(chǔ)，要求準確理解虛數(shù)單位、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、實部、虛部、復數(shù)的模等概念.2.對復數(shù)四則運算的考查可能性較大，要加以重視，其中復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似；對于復數(shù)的除法運算，將分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù).最后整理成abi(a，bR)的結(jié)構(gòu)形式.3.對復數(shù)幾何意義的考查.在高考中一般會結(jié)合復數(shù)的概念、復數(shù)的加減運算考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)加減法的幾何意義.5