專題08 平面向量高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)預(yù)測2018年高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點，重點考查計算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的能力1向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長度等于1的向量叫單位向量(4)長度相等且方向相同的向量叫相等向量(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量零向量和任一向量平行2共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)，使ba.3平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.4兩向量的夾角已知兩個非零向量a和b，在平面上任取一點O，作a，b，則AOB(0°180°)叫作a與b的夾角5向量的坐標(biāo)表示及運算(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a±b(x1±x2，y1±y2)，a(x1，y1)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)6平面向量共線的坐標(biāo)表示已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a與b共線7平面向量的數(shù)量積設(shè)為a與b的夾角(1)定義：a·b|a|b|cos.(2)投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影8數(shù)量積的性質(zhì)(1)aba·b0；(2)當(dāng)a與b同向時，a·b|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時，a·b|a|·|b|；特別地，a·a|a|2；(3)|a·b|a|·|b|；(4)cos.9數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|；(3)abx1x2y1y20；(4)cos.【誤區(qū)警示】1兩向量夾角的范圍是0，a·b>0與a，b為銳角不等價；a·b<0與a，b為鈍角不等價2點共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別3a在b方向上的投影為，而不是.4若a與b都是非零向量，則ab0a與b共線，若a與b不共線，則ab00.考點一平面向量的概念及運算例1 【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】所以. 【變式探究】(2016·高考全國甲卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.解析：基本法：ab，ab即(m,4)(3，2)(3，2)故m6.速解法：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算求解：a(m,4)，b(3，2)，abm×(2)4×302m120，m6.答案：6【變式探究】(1)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案：A【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點”，結(jié)合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解(2)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A. B.C. D.解析：基本法一：設(shè)a，b，則ba，ab，從而(ab)，故選A.基本法二：如圖，()·2.答案：A考點二平面向量數(shù)量積的計算與應(yīng)用例2【2017天津，理13】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【變式探究】(2016·高考全國丙卷)已知向量，則ABC()A30° B45°C60° D120°解析：基本法：根據(jù)向量的夾角公式求解，|1，|1，·××，cosABCcos，.0°，180°，ABC，30°.速解法：如圖，B為原點，則AABx60°，CCBx30°，ABC30°.答案：A【變式探究】(1)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1 B0C1 D2答案：C【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算可利用定義法；當(dāng)向量以坐標(biāo)形式出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計算向量較簡單(2)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·_.解析：基本法：以、為基底表示和后直接計算數(shù)量積，··()|2|222×222.速解法：(坐標(biāo)法)先建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，·1×(2)2×22.答案：2考點三 平面向量的綜合應(yīng)用例3、【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系【舉一反三】【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.（2）.因為，所以，從而.于是，當(dāng)，即時， 取到最大值3；當(dāng)，即時， 取到最小值.1.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是 ，若滿足即 ， ，所以，設(shè) ，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A。2.【2017北京，理6】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A3.【2017課標(biāo)II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，以為軸， 的垂直平分線為軸， 為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則， ， ，設(shè)，所以， ， ，所以， ，當(dāng)時，所求的最小值為，故選B4.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】5.【2017天津，理13】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【解析】 ,則.6.【2017山東，理12】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是 .【答案】7【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有： ，則：，令，則，據(jù)此可得： ，即的最小值是4，最大值是8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點O，記，則A B C D【答案】C【解析】因為， ， ，所以，故選C。9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內(nèi)，向量,的模分別為1,1,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 . A C BO(第12題) 【答案】3 10.【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.（2）.因為，所以，從而.于是，當(dāng)，即時， 取到最大值3；當(dāng)，即時， 取到最小值.1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故選D.2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點， ，則 的值是 . 【答案】3.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足 =,=-2，動點P，M滿足 =1，=，則的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，故選B.4.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點， ，則 的值是 . 【答案】【2015高考福建，理9】已知 ，若 點是 所在平面內(nèi)一點，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，即，所以，因此，因為，所以 的最大值等于，當(dāng)，即時取等號【2015高考湖北，理11】已知向量，則 .【答案】9【2015高考山東，理4】已知菱形的邊長為 ， ,則（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】因為 故選D.【2015高考陜西，理7】對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B【解析】因為，所以選項A正確；當(dāng)與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；，所以選項D正確故選B【2015高考四川，理7】設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，.若點M，N滿足，則（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【2015高考安徽，理8】是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】如圖， 由題意，則，故錯誤；，所以，又，所以，故錯誤；設(shè)中點為，則，且，而，所以，故選D.【2015高考福建，理9】已知 ，若 點是 所在平面內(nèi)一點，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,動點 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 .【答案】【解析】因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時的最小值為.1. 【2014高考福建卷第8題】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（ ）A. B . C. D. 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共線的向量都可與作為基底.只有成立.故選B.【考點定位】平面向量的基本定理.2. 【2014高考廣東卷理第5題】已知向量，則下列向量中與成的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【考點定位】空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運算3. 【2014高考湖南卷第16題】在平面直角坐標(biāo)系中,為原點,動點滿足=1，則的最大值是_.【答案】【考點定位】參數(shù)方程、三角函數(shù)4. 【2014高考江蘇卷第12題】如圖在平行四邊形中，已知，則的值是 . ADCBP【答案】22【解析】由題意，所以，即，解得【考點定位】向量的線性運算與數(shù)量積5. 【2014陜西高考理第13題】設(shè)，向量，若，則_.【答案】【考點定位】共線定理；三角恒等變換.6. 【2014高考安徽卷理第10題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則( )A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，區(qū)域表示的是平面上的點到點的距離從到之間，如下圖中的陰影部分圓環(huán)，要使為兩段分離的曲線，則，故選A. 【考點定位】平面向量的應(yīng)用、線性規(guī)劃.7. 【2014高考北京卷理第10題】已知向量、滿足，且（），則 .【答案】【解析】當(dāng)，則，于是，因為，所以，又因為，所以.【考點定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷理第11題】設(shè)向量，若，則實數(shù) .【答案】【解析】因為，因為，所以，解得.【考點定位】平面向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積10. 【2014江西高考理第15題】已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則= .【答案】【考點定位】向量數(shù)量積及夾角11. 【2014遼寧高考理第5題】設(shè)是非零向量，已知命題P：若，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ）A B C D【答案】A【解析】由題意可知，命題P是假命題；命題q是真命題，故為真命題.【考點定位】命題的真假12. 【2014全國1高考理第15題】已知為圓上的三點，若，則與的夾角為_【答案】【解析】由，故三點共線，且是線段中點，故是圓的直徑，從而，因此與的夾角為【考點定位】平面向量基本定理13. 【2014全國2高考理第3題】設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【考點定位】本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量14. 【2014高考安徽卷理第15題】已知兩個不相等的非零向量兩組向量和均由2個和3個排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題的是_（寫出所有正確命題的編號）.有5個不同的值.若則與無關(guān).若則與無關(guān).若，則.若，則與的夾角為，故錯誤.所以正確的編號為 【考點定位】平面向量的運算、平面向量的數(shù)量積.15. 【2014四川高考理第7題】平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則（ ）A B C D【答案】 D.【解析】 由題意得：，選D.法二、由于OA，OB關(guān)于直線對稱，故點C必在直線上，由此可得【考點定位】向量的夾角及向量的坐標(biāo)運算. 16. 【2014浙江高考理第8題】記，設(shè)為平面向量，則（ ） A. B. C. D.【答案】【考點定位】向量運算的幾何意義.17. 【2014重慶高考理第4題】已知向量，且，則實數(shù)=（ ） D.【答案】C【解析】因為所以又因為，所以，所以，解得：故選C.【考點定位】平面向量的坐標(biāo)運算、平面向量的數(shù)量積.19. 【2014大綱高考理第4題】若向量滿足：則 （ ） A2 B C1 D【答案】B【解析】把代入得故選B【考點定位】1.向量垂直的充要條件；2. 平面向量的數(shù)量積運算20. 【2014高考陜西第18題】在直角坐標(biāo)系中，已知點，點在三邊圍成的 區(qū)域（含邊界）上 （1）若，求； （2）設(shè)，用表示，并求的最大值.【答案】（1）；（2），1.【考點定位】平面向量的線性運算、線性規(guī)劃. 21.【2014高考上海理科第16題】如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（ ）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】A【解析】如圖，與上底面垂直，因此，【考點定位】數(shù)量積的定義與幾何意義22.【2014高考上海理科第14題】已知曲線C：，直線l：x=6.若對于點A（m，0）,存在C上的點P和l上的點Q使得，則m的取值范圍為 .【答案】【考點定位】向量的坐標(biāo)運算27