第二章 圓錐曲線與方程1能夠熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓方程，能夠用“坐標(biāo)法”研究橢圓的基本性質(zhì)，能夠利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、參數(shù)法解決橢圓中的有關(guān)問(wèn)題2能夠根據(jù)所給的幾何條件熟練地求出雙曲線方程，并能靈活運(yùn)用雙曲線定義、參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題；準(zhǔn)確理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系、漸近線及其幾何意義，并靈活運(yùn)用3會(huì)根據(jù)方程形式或焦點(diǎn)位置判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其幾何性質(zhì)以及會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線的方程了解拋物線的一些實(shí)際應(yīng)用題型一圓錐曲線定義的應(yīng)用研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問(wèn)題時(shí)，常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問(wèn)題例1若點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)C是橢圓1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，則|AM|AC|的最小值是_答案82解析設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，則B(3,0)，點(diǎn)M(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|2，所以(|AM|AC|)min82.跟蹤演練1拋物線y22px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則()Ax1，x2，x3成等差數(shù)列By1，y2，y3成等差數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列Dy1，y3，y2成等差數(shù)列答案A解析如圖，過(guò)A、B、C分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，B，C，由拋物線定義：|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1，|BB|x2，|CC|x3，2(x2)x1x32x2x1x3，選A.題型二有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)的問(wèn)題有關(guān)求圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題，只要掌握好基本公式和概念，充分理解題意，大都可以順利求解例2雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是()A2B.C.D.答案C解析雙曲線1的兩條漸近線方程為y±x，依題意·() 1，故1，所以1即e22，所以雙曲線的離心率e.故選C.跟蹤演練2已知橢圓1和雙曲線1有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是()Ax±yBy±xCx±yDy±x答案D解析由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上，橢圓焦點(diǎn)(±，0)，雙曲線焦點(diǎn)(±，0)，3m25n22m23n2，m28n2，又雙曲線漸近線為y±·x，由m28n2，|m|2|n|，得y±x.題型三直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題1直線和圓錐曲線的位置關(guān)系可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)、僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)其中，直線與圓錐曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于橢圓，表示直線與其相切；對(duì)于雙曲線，表示與其相切或直線與雙曲線的漸近線平行；對(duì)于拋物線，表示與其相切或直線與其對(duì)稱軸平行2有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系中的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題、取值范圍、最值等問(wèn)題3這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，分析這類問(wèn)題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及根與系數(shù)的關(guān)系等例3已知向量a(x，y)，b(1,0)且(ab)(ab)(1)求點(diǎn)Q(x，y)的軌跡C的方程；(2)設(shè)曲線C與直線ykxm相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A(0，1)，當(dāng)|AM|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由題意，得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)·(ab)0，即(x)(x)y·y0.化簡(jiǎn)得y21，Q點(diǎn)的軌跡C的方程為y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，>0，即m2<3k21.()當(dāng)k0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xP，yP)，xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則xP，從而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN.則，即2m3k21，將代入得2m>m2，解得0<m<2，由得k2>0，解得m>，故所求的m的取值范圍是.()當(dāng)k0時(shí)，|AM|AN|，APMN，由m2<3k21，解得1<m<1.綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，m的取值范圍是，當(dāng)k0時(shí)，m的取值范圍是(1,1)跟蹤演練3已知橢圓C：1 (a>b>0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意有c，b1.所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)·當(dāng)k0時(shí)|AB|23334.當(dāng)且僅當(dāng)9k2，即k±時(shí)等號(hào)成立此時(shí)12(3k21m2)>0，當(dāng)k0時(shí)，|AB|3.綜上所述，|AB|max2.當(dāng)|AB|最大時(shí)，AOB面積取得最大值S×|AB|max×.1.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問(wèn)題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對(duì)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查；二是在選擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查3圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，高考對(duì)此進(jìn)行重點(diǎn)考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題4雖然考綱中沒(méi)有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識(shí)，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線、圓錐曲線的對(duì)稱軸等都是直線高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查，考查方式既可以是選擇題、填空題，也可以是解答題5高考對(duì)圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識(shí)的相互交匯，高考對(duì)圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問(wèn)題中的綜合運(yùn)用6