專題07 三角恒等變換與解三角形和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題既有選擇題、填空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運(yùn)用及三角恒等變換能力1和差角公式(1)cos(±)coscossinsin；(2)sin(±)sincos±cossin；(3)tan(±).2倍角公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.3半角公式(1)sin±；(2)cos±；(3)tan±；(4)tan.4正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.6面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解；(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一，需討論；(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解；(4)已知三邊，利用余弦定理求解8“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達(dá)形式、變換次數(shù)等比比皆是，強(qiáng)化變換意識，抓住萬變不離其宗即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律.考點一三角函數(shù)概念，同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式例1、【2017北京，理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，=_.【答案】【變式探究】 (1)(2016·高考全國乙卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.解析：基本法：將轉(zhuǎn)化為.由題意知sin，是第四象限角，所以cos>0，所以cos.tantan.答案：速解法：由題意知為第一象限角，設(shè)，tantantan.如圖，不妨設(shè)在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B. 答案：(2)若tan 0，則()Asin 0Bcos 0Csin 20 Dcos 20答案：C考點二三角函數(shù)的求值與化簡例2、(1)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()A B.C D.解析：基本法：原式sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°，故選D.速解法：從題目形式上看應(yīng)是sin()公式的展開式又20°10°30°，故猜想為sin 30°.答案：D (2)設(shè)，且tan ，則()A3 B3C2 D2速解法一：tan ，由tan 知，、應(yīng)為2倍角關(guān)系，A、B項中有3，不合題意，C項中有2.把2代入tan ，題設(shè)成立故選C.速解法二：tantan tan又，2，2.故選C.答案：C考點三 解三角形例3、(2016·天津，3，易)在ABC中，若AB，BC3，C120°，則AC()A1 B2 C3 D4【變式探究】(2016·課標(biāo)，8，易)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A()A. B. C D答案：C解析：如圖，作ADBC于D.設(shè)AD1，B，BD1.又ADBC，CD2，AC，AB，sin ，cos ，sin ，cos ，cos Acos()cos cos sin sin ××.考點四 正、余弦定理的應(yīng)用例 4、【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)； (2) b=2（2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.【變式探究】（1）在ABC中，B120°，AB，A的角平分線AD，則AC_.（2）在ABC中，A，AB6，AC3，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長【解析】(1)如圖，在ABD中，由正弦定理，得，sinADB.ADB45°，BAD180°45°120°15°.BAC30°，C30°，BCAB.在ABC中，由正弦定理，得，AC.(2)設(shè)ABC的內(nèi)角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)2622×3×6×cos1836(36)90，所以a3.【舉一反三】如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)解：在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB，又sin 15°sin(60°45°)sin 60°cos 45°cos 60°sin 45°××，所以AB，因此，BD0.33(km)故B，D的距離約為0.33 km.1.【2017山東，理9】在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，選A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，=_.【答案】3.【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2 點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】4.【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2. 1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D2.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若 ，則（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故選A3.【2016年高考四川理數(shù)】= .【答案】【解析】由二倍角公式得1.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在中，邊上的高等于,則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】設(shè)邊上的高為，則，所以，由余弦定理，知，故選C2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 【答案】【解析】因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，又因為，所以.3.【2016高考天津理數(shù)】在ABC中，若,BC=3， ,則AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】由余弦定理得,選A.4.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是 .【答案】8.1.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【答案】（）證明詳見解析；（）4.【解析】）根據(jù)正弦定理，可設(shè)=k(k>0)則a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入+=中，有+=，變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC中，由A+B+C=，有sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以sin Asin B=sin C2.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分14分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）證明：A=2B；（II）若ABC的面積，求角A的大小.【答案】（I）證明見解析；（II）或【解析】（）由正弦定理得，故，于是又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，3.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）【解析】（）由題意知，化簡得，即.因為,所以.從而.由正弦定理得.（）由（）知,所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故 的最小值為. 【2015高考四川，理12】 .【答案】.【2015高考浙江，理11】函數(shù)的最小正周期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 【答案】，.【解析】，故最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.【2015高考天津，理15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)，(I)求最小正周期；(II)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.【解析】(I) 由已知，有.所以的最小正周期.(II)因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【2015高考重慶，理18】 已知函數(shù) （1）求的最小正周期和最大值； （2）討論在上的單調(diào)性.【答案】（1）最小正周期為，最大值為；（2）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，有，從而當(dāng)時,即時，單調(diào)遞增，當(dāng)時,即時，單調(diào)遞減，綜上可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【2015高考上海，理14】在銳角三角形中，為邊上的點，與的面積分別為和過作于，于，則 【答案】【2015高考廣東，理11】設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，若， ，則 . 【答案】【解析】因為且，所以或，又，所以，又，由正弦定理得即解得，故應(yīng)填入【2015高考湖北，理12】函數(shù)的零點個數(shù)為 【答案】2【解析】因為 所以函數(shù)的零點個數(shù)為函數(shù)與圖象的交點的個數(shù)，函數(shù)與圖象如圖，由圖知，兩函數(shù)圖象有2個交點，所以函數(shù)有2個零點.【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.【2015高考福建，理12】若銳角的面積為 ，且 ，則 等于_【答案】7【解析】由已知得的面積為，所以，所以由余弦定理得， 【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍() 求；()若，求和的長 【答案】()；()【2015高考浙江，理16】在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為7，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得，又由，即，得，解得；（2）由，得，又，由正弦定理得，又，故.【2015高考安徽，理16】在中，,點D在邊上，求的長.【答案】【解析】如圖， 【2015高考陜西，理17】（本小題滿分12分）的內(nèi)角，所對的邊分別為，向量與平行（I）求；（II）若，求的面積【答案】（I）；（II）故的面積為解法二：由正弦定理，得，從而，又由，知，所以.故所以的面積為.1. 【2014高考江蘇卷第14題】 若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 .【答案】【考點】正弦定理與余弦定理2. 【2014全國1高考理第16題】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則面積的最大值為_【答案】【解析】由，且，故，又根據(jù)正弦定理，得，化簡得，故，所以，又，故【考點定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面積公式3. 【2014全國2高考理第4題】鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( )A. 5 B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】由面積公式得：，解得，所以或，當(dāng)時，由余弦定理得：=1，所以，又因為AB=1，BC=，所以此時為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故選B. 【考點定位】余弦定理及三角形的面積公式、解三角形 4. 【2014山東高考理第12題】在中，已知，當(dāng)時，的面積為_.【答案】【考點定位】 三角形的面積.5. 【2014高考廣東卷理第12題】在中，角、所對應(yīng)的邊分別為、，已知，則 .【答案】.【解析】，由邊角互化得，即，即，所以.【考點定位】正弦定理中的邊角互化思想的應(yīng)用以及兩角和的三角函數(shù)，6. 【2014全國1高考理第8題】設(shè)且則（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由已知得，去分母得，所以，又因為，所以，即，選C【考點定位】和角的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式7. 【2014高考福建卷第12題】在中，,則的面積等于_.【答案】【解析】由正弦定理可得.所以的面積等于.【考點定位】正弦定理、三角形的面積.8. 【2014江西高考理第4題】在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為，若則的面積（ ）A.3 B. C. D.【答案】C【考點定位】余弦定理9. 【2014四川高考理第13題】如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：，）【答案】60【解析】，.【考點定位】解三角形.10. 【2014浙江高考理第17題】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小.若則的最大值 .【答案】【考點定位】解三角形,求最值.11【2014重慶高考理第10題】已知的內(nèi)角，面積滿足 所對的邊，則下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】A【考點定位】兩角和與差的三角函數(shù)、正弦定理、三角形的面積公式.12. 【2014天津高考理第12題】在中，內(nèi)角所對的邊分別是已知，則的值為_【答案】【解析】代入得，由余弦定理得【考點定位】正弦定理、余弦定理的推論13. 【2014大綱高考理第3題】設(shè)則 （ ）A B C D【答案】C【解析】故選C【考點定位】三角函數(shù)基本關(guān)系式 14. 【2014高考安徽卷第16題】（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【考點定位】正、余弦定理、三角函數(shù)恒等變形. 15. 【2014高考北京理第15題】如圖，在中，點在邊上，且，.（1）求；（2）求，的長.【答案】（1）；（2）7.【考點定位】同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩個角的差的正弦公式，正弦定理與余弦定理.16. 【2014高考福建理第16題】已知函數(shù).（1） 若，且，求的值；（2） 求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】(1) ;(2) ,【考點定位】1.三角函數(shù)的性質(zhì).2.三角的恒等變形.17. 【2014高考廣東理第16題】已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以，；（2） ，則，.【考點定位】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的三角函數(shù)18. 【2014高考湖北理第17題】某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；.（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？【答案】（1）4；（2）在10時至18時實驗室需要降溫.（2）依題意，當(dāng)時實驗室需要降溫.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10時至18時實驗室需要降溫.【考點定位】兩個角的和的正弦公式、三角不等式的解法.19. 【2014高考湖南理第18題】如圖5,在平面四邊形中,.(1)求的值;(2)若,求的長.【答案】(1) (2) 【考點定位】三角形正余弦定理、正余弦之間的關(guān)系與和差角公式20. 【2014高考江蘇第15題】已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【考點】三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角和與差的正弦、余弦公式21. 【2014高考遼寧理第17題】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.【解析】（1）由得，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因為a>c, a=3，c=2.【考點定位】解三角形、三角恒等變換. 22. 【2014高考山東卷第16題】已知向量，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點和點.（）求的值；（）將的圖象向左平移（）個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點到點的距離的最小值為1，求的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（I）.（II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】（1）由題意知：.因為的圖象過點和，所以，即，解得.【考點定位】平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).23. 【2014高考四川第16題】已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若是第二象限角，求的值.【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）；（2）由題設(shè)得：，即，.若，則，若，則.【考點定位】三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換三角函數(shù)的求值.24.【2014高考浙江理第18題】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，（I）求角的大小； （II）若，求的面積. 【答案】（1）；（2）（2）由，得，由，得，從而，故，所以的面積為【考點定位】誘導(dǎo)公式，、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式 25.【2014高考重慶理科第17題】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為.（I）求和的值；（II）若，求的值.【答案】（1）；（2）（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考點定位】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).1已知2sin 21cos 2，則tan 2()A B.C或0 D.或0解析：基本法：，或tan 20或tan 2. 答案：D2若tan 2tan，則()A1 B2C3 D4答案：C3已知tan ，sin()，其中，(0，)，則sin 的值為()(導(dǎo)學(xué)號 55460112)A. B. C. D.或解析：依題意得sin，cos .注意到sin()<sin，因此有>(否則，若，則有0<<，0<sin <sin()，這與“sin()<sin ”矛盾)，則cos()，sin sin()sin()coscos()sin .答案：A4函數(shù)f(x)sin 2xtancos 2x的最小正周期為()A.BC2D 4解析：f(x)sin 2xcos 2xsin，函數(shù)f(x)的最小正周期T.答案：B5已知tan(3)，tan()，則tan _.6已知sin 2cos 0，則2sin cos cos2的值是_解析：基本法：由sin 2cos 0得tan 2.2sin cos cos21.答案：17在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asin A(2sin Bsin C)b(2cb)·sin C，則A_解析：根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又A為三角形的內(nèi)角，故A120°.答案：120°8.如圖，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為_米解析：如題圖，在ABD中，BD400米，ABD120°.ADC150°，ADB30°.DAB180°120°30°30°.由正弦定理，可得.，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理可得AC2AD2CD22·AD·CD·cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×1 3，解得AC400(米)故索道AC的長為400米答案：4009在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)證明：ab2c；(2)求cos C的最小值(2)解：由(1)知c， cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，故cos C的最小值為.41