專題3 不等式【2018年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C級要求，線性規(guī)劃是A級要求(2)基本不等式是C級要求，理解基本不等式在不等式證明、函數(shù)最值的求解方面的重要應用試題類型可能是填空題，同時在解答題中經(jīng)常與函數(shù)、實際應用題綜合考查，構成中高檔題.【重點、難點剖析】 1不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集(2)解含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因確定好分類標準、層次清楚地求解2基本不等式(1)基本不等式a2b22ab取等號的條件是當且僅當ab.(2)幾個重要的不等式：ab2(a，bR) (a0，b0)a2(a0，當a1時等號成立)2(a2b2)(ab)2(a，bR，當ab時等號成立)(3)最值問題：設x，y都為正數(shù)，則有若xys(和為定值)，則xy時，積xy取得最大值；若xyp(積為定值)，則當xy時，和xy取得最小值2.3不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)min>A；若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max<B；(2)能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max>A；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)min<B；(3)恰成立問題若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)>A的解集為D；若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)<B的解集為D.4使用基本不等式以及與之相關的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時，基本的技巧是創(chuàng)造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個原則對求解目標進行適當?shù)淖儞Q，使之達到能夠使用這些不等式求解最值的目的在使用基本不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時一定要注意等號成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式5平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集線性目標函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為yx，可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.【題型示例】題型1、等式的解法及應用【例1】【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D【變式探究】【2016高考新課標1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】用特殊值法，令，得，選項A錯誤，選項B錯誤，選項C正確，選項D錯誤，故選C【感悟提升】(1)對于和函數(shù)有關的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對應的一元二次方程；第三步，若有兩個不相等的實根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進行分類討論【舉一反三】(2015·江蘇，7)不等式2x2x4的解集為_解析2x2x422，x2x2，即x2x20，解得1<x<2.答案x|1x2【變式探究】(2014·山東)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關系式恒成立的是()A.> Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin y Dx3>y3【命題意圖】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，意在考查考生分析問題、解決問題的能力【方法技巧】解不等式的四種策略(1)解一元二次不等式的策略：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集(2)解簡單的分式不等式的策略：將不等式一邊化為0，再將不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解(3)解含指數(shù)、對數(shù)不等式的策略：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解(4)解含參數(shù)不等式的策略：根據(jù)題意確定參數(shù)分類的標準，依次討論求解【變式探究】 (1)若不等式x2ax10對于一切x成立，則a的取值范圍是_(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為_【答案】(1)，)(2)x|x<lg 2【解析】(1)設f(x)x2ax1，其對稱軸為x.若，即a1時，則f(x)在上是減函數(shù)，若滿足題意應有f0，即a1.若0，即a0時，則f(x)在上是增函數(shù)，又f(0)1>0成立，故a0.若0<<，即1<a<0，則應有f110成立，故1<a<0.綜上，有a.另解也可轉(zhuǎn)化為：a，x(0，)恒成立，利用單調(diào)性求解(2)依題意知f(x)>0的解為1<x<，故0<10x<，解得x<lglg 2.【規(guī)律方法】解一元二次不等式一般要先判斷二次項系數(shù)的正負也即考慮對應的二次函數(shù)圖象的開口方向，再考慮方程根的個數(shù)也即求出其判別式的符號，有時還需要考慮其對稱軸的位置，根據(jù)條件列出方程組或結合對應的函數(shù)圖象求解題型2、簡單的線性規(guī)劃問題【例2】【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如圖，畫出可行域， 表示斜率為的一組平行線，當過點時，目標函數(shù)取得最大值，故選D.【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當經(jīng)過點時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 【感悟提升】(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得【舉一反三】(2015·廣東，6)若變量x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為()A. B6 C. D4答案C【變式探究】(1)(2014·新課標全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()A10B8C3D2(2)(2014·浙江)當實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【命題意圖】(1)本題主要考查線性規(guī)劃問題的求解，意在考查考生的數(shù)形結合能力與運算求解能力(2)本題主要考查線性規(guī)則、不等式恒成立問題，考查考生的數(shù)形結合與運算求解能力【答案】(1)B(2)【解析】(1)作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2x y得y2xz，作出直線y2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當直線經(jīng)過點B(5,2)時，對應的z值最大故zmax2×528.(2)作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖中陰影部分所示，令zaxy，即yaxz.作直線l0：yax，平移l0，最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得故由1z4恒成立，可得解得1a.【感悟提升】1線性規(guī)劃問題的三種題型(1)求最值，常見形如截距式zaxby，斜率式z，距離式z(xa)2(yb)2.(2)求區(qū)域面積(3)由最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍2解答線性規(guī)劃問題的步驟及應注意的問題(1)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決(2)畫可行域時應注意區(qū)域是否包含邊界(3)對目標函數(shù)zAxBy中的B的符號，一定要注意B的正負與z的最值的對應，要結合圖形分析題型三、基本不等式及其應用例3、【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因為，且，所以 ，所以選B.【變式探究】【2016高考天津理數(shù)】設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤【舉一反三】(1)已知不等式<0的解集為x|a<x<b，點A(a，b)在直線mxny10上，其中mn>0，則的最小值為()A4 B8C9 D12(2)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_(單位：元)【命題意圖】(1)本題主要考查解分式不等式、均值不等式等基礎知識，對學生的轉(zhuǎn)化思想、運算能力有一定要求(2)本題主要考查空間幾何體的表面積、基本不等式等基礎知識，意在考查考生處理實際問題的能力、空間想象能力和運算求解能力【答案】(1)C(2)160【解析】(1)易知不等式<0的解集為(2，1)，所以a2，b1，則2mn1，(2mn)·5549當且僅當mn時取等號，所以的最小值為9.設該容器的總造價為y元，長方體的底面矩形的長為x m，因為無蓋長方體的容積為4 m3，高為1 m，所以長方體的底面矩形的寬為m，依題意，得y20×410·80208020×2160，所以該容器的最低總造價為160元【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一個一次、一個二次的分式結構的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值(2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件(3)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯題型四與線性規(guī)劃有關的綜合性問題例4【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當其經(jīng)過直線與的交點時，最大為，選C.【變式探究】【2016高考新課標1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【答案】二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當直線經(jīng)過點時, 取得最大值.解方程組,得的坐標.所以當,時,.故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為元.【舉一反三】已知x，y滿足約束條件當目標函數(shù)zaxby(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2b2的最小值為()A5 B4 C. D2解析法一不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知，目標函數(shù)在點A(2，1)處取得最小值，故2ab2，兩端平方得4a2b24ab20，又4ab2×a×2ba24b2，所以204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，即a2b2的最小值為4，當且僅當a2b，即b，a時等號成立法二把2ab2看作平面直角坐標系aOb中的直線，則a2b2的幾何意義是直線上的點與坐標原點距離的平方，顯然a2b2的最小值是坐標原點到直線2ab2距離的平方，即4.答案B【變式探究】在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1 C D解析已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當點M與點A重合時直線OM的斜率最小，由直線方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值為.答案C【舉一反三】設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D. 12