一 數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P39數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念：先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n01)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明(3)數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n01或2等)時(shí)命題正確；假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也正確由此可以斷定，對(duì)于任意不小于n0的正整數(shù)n，命題都正確 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P39利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式例1證明：當(dāng)n2，nN時(shí)，.思路點(diǎn)撥注意到這是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊.當(dāng)n2時(shí)，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)等式成立，即：(1)當(dāng)nk1時(shí)，·.當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)知，對(duì)任意n2，nN等式成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)1在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)任意的正偶數(shù)n，均有12成立時(shí)，(1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是什么？(2)第二步歸納假設(shè)n2k時(shí)(kN)等式成立，需證明n為何值時(shí)，方具有遞推性；(3)若第二步歸納假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立，需證明n為何值時(shí)，等式成立解：(1)n0為2.此時(shí)左邊為1，右邊為2×.(2)假設(shè)n2k(kN)時(shí)，等式成立，就需證明n2k2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí)，命題也成立(3)若假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí)，等式成立，就需證明nk2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí)，命題也成立2求證：1(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即1.則當(dāng)nk1時(shí)，1.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)任何xN等式都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除思路點(diǎn)撥本題是與正整數(shù)有關(guān)的命題，直接分解出因式(xy)有困難，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n1時(shí)，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，x2k2y2k2x2·x2ky2·y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時(shí)，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n命題均成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這就往往要涉及到“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證3用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)7n1(nN)能被9整除證明：當(dāng)n1時(shí)，4×7127能被9整除命題成立假設(shè)nk時(shí)命題成立，即(3k1)·7k1能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(3k3)1·7k113k13·7·7k17·(3k1)·7k121·7k(3k1)·7k118k·7k6·7k21·7k(3k1)·7k118k·7k27·7k，由歸納假設(shè)(3k1)·7k1能被9整除，又因?yàn)?18k·7k27·7k也能被9整除，所以3(k1)1·7k11能被9整除，即nk1時(shí)命題成立則可知對(duì)所有正整數(shù)n命題成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(3x)n(nN)能被x2整除證明：(1)n1時(shí)，1(3x)(x2)，能被x2整除，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，1(3x)n能被x2整除，則可設(shè)1(3x)k(x2)f(x)(f(x)為k1次多項(xiàng)式)，當(dāng)nk1時(shí)，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)nN，1(3x)n能被x2整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例3平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成(n2n2)個(gè)區(qū)域思路點(diǎn)撥用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是考慮：k條直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)與k1條直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以實(shí)施從假設(shè)到nk1時(shí)的證明證明(1)當(dāng)n1時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，又×(1212)2，n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2k2)個(gè)區(qū)域那么當(dāng)nk1時(shí)，k1條直線中的k條直線把平面分成了(k2k2)個(gè)區(qū)域，第k1條直線被這k條直線分成k1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了k1個(gè)區(qū)域，所以k1條直線把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2個(gè)區(qū)域nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)知，對(duì)一切的nN，此命題均成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，一定要清楚從nk到nk1時(shí)，新增加的量是多少一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加1法，即在原來(lái)k的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，當(dāng)然我們也可以從k1個(gè)中分出1個(gè)來(lái)，剩下的k個(gè)利用假設(shè)5求證：凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)(nN，n3)證明：(1)當(dāng)n3時(shí)，即f(3)0時(shí)，三角形沒(méi)有對(duì)角線，命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k3)時(shí)命題成立，即凸k邊形對(duì)角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak1，得到凸k1邊形A1A2AkAk1，Ak1依次與A2，A3，Ak1相連得到對(duì)角線k2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對(duì)角線，則凸k1邊形的對(duì)角線條數(shù)為：f(k)k21k1f(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任何nN，n3都成立6求證：平面內(nèi)有n(n2)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條直線不平行，彼此互相分割成4條射線，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，命題成立，即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)那么nk1時(shí)，取出其中一條直線為l，其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)直線l把這k條直線又一分為二，多出k條線段(或射線)；l又被這k條直線分成k1部分，所以這k1條直線彼此互相分割成k2kk1(k1)2條線段(或射線)，即nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)知，命題成立 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P411數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n1時(shí)命題正確，假定nk時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是()AkNBk>1，kNCk1，kN Dk>2，kN解析：數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1.答案：C2某個(gè)命題：(1)當(dāng)n1時(shí)，命題成立，(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)成立，可以推出nk2時(shí)也成立，則命題對(duì)_成立()A正整數(shù) B正奇數(shù)C正偶數(shù) D都不是解析：由題意知，k1時(shí)，k23；k3時(shí)，k25，依此類推知，命題對(duì)所有正奇數(shù)成立答案：B3設(shè)f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因?yàn)閒(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).答案：D4如果1×2×32×3×43×4×5n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，a，b的值可以等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3解析：令n1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可答案：D5觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為_答案：14916(1)n1n2(1)n1·6用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1×42×73×10n(3n1)n(n1)2.nN”時(shí)，若n1，則左端應(yīng)為_解析：n1時(shí)，左端應(yīng)為1×44.答案：47記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形故f(k1)f(k).答案：8設(shè)aN，nN，求證：an2(a1)2n1能被a2a1整除證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a3(a1)3a(a1)a2a(a1)(a1)2(2a1)(a2a1)結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即ak2(a1)2k1能被a2a1整除，那么nk1時(shí)，有a(k1)2(a1)2(k1)1a·ak2(a1)2(a1)2k1aak2(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak2(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.因?yàn)閍k2(a1)2k1，a2a1均能被a2a1整除，又aN，故a(k1)2(a1)2(k1)1能被a2a1整除，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由(1)(2)可知，原結(jié)論成立9有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，命題成立綜合(1)(2)可知，對(duì)一切nN，命題成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明nN時(shí)，(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2n1x1).證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2cos x1，右邊2cos x1，即左邊右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，命題成立，即(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1).則當(dāng)nk1時(shí)，左邊(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1)·(2cos 2kx1)·(2cos 2kx1).nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)nN時(shí)命題成立9