3.1.1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算3.1.2共面向量定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其性質(zhì)，理解共線(xiàn)向量定理(重點(diǎn))2.了解向量共面的含義，理解共面向量定理.3.能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線(xiàn)面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問(wèn)題自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知教材整理1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算閱讀教材P81的部分，完成下列問(wèn)題1空間向量在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量2空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算定義(或法則)加法設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn)O作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則平行四邊形OACB的對(duì)角線(xiàn)OC對(duì)應(yīng)的向量就是a與b的和，記作ab減法與平面向量類(lèi)似，a與b的差定義為a(b)，記作ab，其中b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是一個(gè)向量，記作a，滿(mǎn)足：大小：|a|a|.方向：當(dāng)0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a01判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小()(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算中，只決定向量的大小，不決定向量的方向()(3)將空間的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓()(4)若|a|b|，則ab或ab.()(5)已知四邊形ABCD，O是空間任意一點(diǎn)，且，則四邊形ABCD是平行四邊形()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)2如圖3­1­1，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是_(填序號(hào))圖3­1­1；.解析；.答案教材整理2共線(xiàn)向量閱讀教材P82例1上面的部分，完成下列問(wèn)題1共線(xiàn)向量如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，那么這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量向量a與b平行，記作ab，規(guī)定零向量與任意向量共線(xiàn)2共線(xiàn)向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a0)，b與a共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ba.教材整理3共面向量閱讀教材P84的部分，完成下列問(wèn)題1共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得pxayb.有下列命題：平行于同一直線(xiàn)的向量是共線(xiàn)向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正確的命題有_解析“共面向量一定是平行向量”不正確，即共面向量不一定共線(xiàn)均正確答案合 作 探 究·攻 重 難空間向量及有關(guān)概念下列四個(gè)命題：所有的單位向量都相等；方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；若a，b滿(mǎn)足|a|>|b|，且a，b同向，則a>b；零向量沒(méi)有方向其中不正確的命題的序號(hào)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392156】精彩點(diǎn)撥根據(jù)空間向量的概念進(jìn)行逐一判斷，得出結(jié)論自主解答對(duì)于：?jiǎn)挝幌蛄渴侵搁L(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故錯(cuò)；對(duì)于：長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故錯(cuò)；對(duì)于：向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于：零向量有方向，只是沒(méi)有確定的方向，故錯(cuò)答案名師指津1因?yàn)榭臻g任何兩個(gè)向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個(gè)向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決2對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過(guò)舉出反例而排除或否定相關(guān)命題再練一題1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是_如果a，b是兩個(gè)單位向量，則|a|b|；兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量；空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)解析正確，不正確答案3空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算化簡(jiǎn)：()()精彩點(diǎn)撥根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，也可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算自主解答法一：將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡(jiǎn)，()()0.法二：利用，化簡(jiǎn)()()()()0.法三：，()()()()0.名師指津1計(jì)算兩個(gè)空間向量的和或差時(shí)，與平面向量完全相同運(yùn)算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵2計(jì)算三個(gè)或多個(gè)空間向量的和或差時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)三角形法則和平行四邊形法則；(2)正確使用運(yùn)算律；(3)有限個(gè)向量順次首尾相連，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即表示這有限個(gè)向量的和向量再練一題2如圖3­1­2所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是正方形，若a，b，c，則_(用向量a，b，c表示). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392157】圖3­1­2解析法一：abcbbabc.法二：acb.答案abc共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用如圖3­1­3，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA13.求證：B，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)圖3­1­3精彩點(diǎn)撥要證明B，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，可證明，即證明存在實(shí)數(shù)，使.自主解答設(shè)a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)名師指津判定或證明三點(diǎn)(如P，A，B)是否共線(xiàn)：(1)考察是否存在實(shí)數(shù)，使；(2)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有t；(3)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有xy (xy1).再練一題3在例3中，若把條件“GMGA13”換為“GMGA11”把“N是面ACD的重心”換為“”，增加條件“B，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)”，其余不變，試求的值解設(shè)a，b，c，×()()(abc)a(abc)abc.()abc.B，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)k，使k，即abck，故解得k，.共面向量定理及其應(yīng)用如圖3­1­4所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)圖3­1­4(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明BD平面EFGH. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392158】精彩點(diǎn)撥(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實(shí)數(shù)x，y，使xy即可(2)要證BD平面EFGH，只需證向量與向量，共面即可自主解答(1)如圖所示，連接BG，EG，則().由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)設(shè)a，b，c，則ca.(cb)abc，c(ab)abc.假設(shè)存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共線(xiàn)解得.，是共面向量，BD不在平面EFGH內(nèi)BD平面EFGH.名師指津1空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使xy.滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式，這個(gè)充要條件常用來(lái)證明四點(diǎn)共面在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，有xyz，且xyz1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵(1)在直線(xiàn)上取一向量；(2)在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，并用這兩個(gè)不共線(xiàn)的向量表示直線(xiàn)上的向量；(3)說(shuō)明直線(xiàn)不在面內(nèi)，三個(gè)條件缺一不可再練一題4已知兩個(gè)非零向量e1，e1不共線(xiàn)，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面證明(3e13e2)(2e18e2)5(e1e2)5，又與不共線(xiàn)，共面，又它們有一個(gè)公共起點(diǎn)A，A，B，C，D四點(diǎn)共面. 共線(xiàn)、共面向量的特征探究問(wèn)題1如何理解共線(xiàn)向量及共線(xiàn)向量定理？提示(1)用共線(xiàn)向量定理證明兩直線(xiàn)平行是常用方法，但是要注意，向量平行與直線(xiàn)平行是有區(qū)別的，直線(xiàn)平行不包括共線(xiàn)的情形，如果應(yīng)用共線(xiàn)向量定理判斷a，b所在的直線(xiàn)平行，還需說(shuō)明a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上(2)用共線(xiàn)向量定理證明三點(diǎn)共線(xiàn)也是常用方法，在利用該定理證明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)，使或即可(3)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，若有(1)成立，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)2如何理解共面向量定理？提示(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式，說(shuō)明兩個(gè)不共線(xiàn)的向量能確定一個(gè)平面，它是判定三個(gè)向量是否共面的依據(jù)(2)共面向量定理的推論是判定空間四點(diǎn)共面的依據(jù)3若兩向量共線(xiàn)或共面，則這兩向量所在的直線(xiàn)有何位置關(guān)系？提示兩向量共線(xiàn)，這兩向量所在的直線(xiàn)重合或平行，兩向量共面，這兩向量所在的直線(xiàn)共面或異面如圖3­1­5所示，平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.證明：與，共面. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392159】圖3­1­5精彩點(diǎn)撥由共面向量定理，只要用，線(xiàn)性表示出即可自主解答，與，共面再練一題5如圖3­1­6，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)證明：向量，是共面向量圖3­1­6證明法一：().由向量共面的充要條件知，是共面向量法二：連接A1D，BD，取A1D中點(diǎn)G，連接FG，BG，則有FGDD1，BEDD1，F(xiàn)GBE，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BD，EF共面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都與平面A1BD平行，是共面向量當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則_.解析0.答案02已知正方體ABCD­ABCD中，設(shè)a，b，c，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AFEF，則_(用a，b，c表示)解析由條件AFEF知，EF2AF，所以abc.答案abc3ab(是實(shí)數(shù))是a與b共線(xiàn)的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)解析abab，但當(dāng)b0，a0時(shí)，則ab，ab.答案充分不必要4設(shè)e1，e2是空間中兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392160】解析e13e2，2e1e2，(2e1e2)(e13e2)e14e2.A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，k8.答案85已知ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O，引向量k，k，k，k.圖3­1­7求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)平面AC平面EG.證明(1)四邊形ABCD是平行四邊形，.k·k·k()kk()k()，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)k()k·，又k·，EFAB，EGAC，所以平面AC平面EG.12